函数的奇偶性周期性和对称性的关系

函数的奇偶性、周期性和对称性

函数的奇偶性、周期性和对称性的关系

055350 河北隆尧一中 焦景会

函数的性质主要是指函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性，它们准确的刻画了函数自身的规律性。掌握函数的这四个性质对于解决函数问题很有帮助。现在探讨以下函数的对称性、奇偶性及周期性这三个方面的关系。由一道高考题目说起。

（2005年广东卷I）设函数f(x)在(??,??)上满足f(2?x)?f(2?x)，f(7?x)?f(7?x)，且在闭区间［0，7］上只有f(1)?f(3)?0。（1）试判断函数y?f(x)的奇偶性；

（2）试求方程f(x)?0在闭区间［－2005，2005］上根的个数并证明你的结论。

分析：由f(2?x)?f(2?x),f(7?x)?f(7?x)可得：函数图象既关于x＝2对称，又关于x＝7对称，进而可得到函数周期，然后再继续求解，而本题关键是要首先明确函数的对称性，因此，熟悉函数对称性是解决本题的第一步。

命题1 函数y?f(x)的图像关于直线x＝a对称的充要条件是f(a?x)?f(a?x)或f(x)?f(2a?x)。

证明：设P(x0,y0)是y?f(x)上任一点，则y0?f(x0)。由P关于直线x＝a的对称点为

函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性、图象变换

壶关一中 张志朝整理 一、函数的单调性 1.单调性的定义

一般地，设函数f(x)的定义域为I：

（1）如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量值x1、x2，当x1?x2时，都有f(x1)?f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数，区间D我们称为函数f(x)的单调增区间；

（2）如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量值x1、x2，当x1?x2时，都有f(x1)?f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数，区间D我们称为函数f(x)的单调减区间。

2.函数单调的充要条件

（1）若f(x)为区间I上的单调递增函数，x1、x2为区间内两任意值，那么有：

f(x1)?f(x2)x?x1（x1?x2)[f(x1)?f(x2)]?0 ?0或

2（2）若f(x)为区间I上的单调递减函数，x1、x2为区间内两任意值，那么有：

f(x1)?f(x2)x1?x2（x1?x2)[f(x1)?f(x2)]?0 ?0或

3.函数单调性的判断(证明)

(1)定义法（作差法） (2)求导法 4.复合函数的单调性的判定

对于函数y?f(u)和

函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性

湖南祁阳四中 何双桥整理 一、函数的单调性 1.单调性的定义 一般地，设函数

f(x)的定义域为I：

如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量值x1、x2，当x1?x2时，都有

f(x1)?f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数，区间D我们称为函数f(x)的

单调增区间；

如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量值x1、x2，当x1?x2时，都有

f(x1)?f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数，区间D我们称为函数f(x)的

单调减区间。

2.单调函数与严格单调函数 设

f(x)为定义在I上的函数，若对任何x1,x2?I，当x1?x2时，总有

特别当且仅当严格不等式f(x1)?f(x2)成f(x)为I上的增函数，

(ⅰ) f(x1)?f(x2)，则称立时称

f(x)为I上的严格单调递增函数。

特别当且仅当严格不等式f(x1)?f(x2)成f(x)为I上的减函数，

(ⅱ) f(x1)?f(x2)，则称立时称

f(x)为I上的严格单调递减函数。

2.函数单调的充要条件 ★若

f(x)为区间I上的单调递增函数，x1、x2为区间内两

函数对称性、周期性和奇偶性规律

一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)

1、 周期性：对于函数

y f(x)，如果存在一个不为零的常数

T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有

f(x T) f(x)都成立，那么就把函数y f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周

期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、 对称性定义（略），请用图形来理解。 3、 对称性：

我们知道：偶函数关于y（即x=0）轴对称，偶函数有关系式

奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式

上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数

f( x) f(x)

f(x) f( x) 0

y f(x)关于x a对称 f(a x) f(a x)

f(a x) f(a x)也可以写成f(x) f(2a x) 或 f( x) f(2a x)

通过f(x) f(2a x)可知，y1 f(x1) f(2a x1)，y f(x)上，

简证：设点(x1,y1)在

即点(2a

若写成： （2）函数

x1,y1)也在y f(x)上，而点(x1,y1)与点(2a x1,y1)关于x=a对称。得证。

f(a x) f(b x)，

抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论

一、周期函数的定义：

对于f(x)定义域内的每一个x，都存在非零常数T，使得f(x?T)?f(x)恒成立，则称函数f(x)具有周期性，T叫做f(x)的一个周期，则kT（k?Z,k?0）也是f(x)的周期，所有周期中的最小正数叫

f(x)的最小正周期。

函数周期性的几个重要结论

1、f(x?T)?f(x)( T?0) ?y?f(x)的周期为T，kT(k?Z)也是函数的周期 2、f(x?a)?f(x?b)?y?f(x)的周期为 3、f(x?a)??f(x)?y?f(x)的周期为 4、f(x?a)?1

f(x)?y?f(x)的周期为 5、f(x?a)??1f(x)?y?f(x)的周期为 二、奇偶函数：设y?f(x),x??a,b?或x???b,?a???a,b?

①若f(?x)??f(x),则称y?f(x)为奇函数；②若f(?x)?f(x)则称y?f(x)为偶函数 3、函数的对称性

三、函数对称性的几个重要结论

（一）函数y?f(x)图象本身的对称性（自身对称）

若f(x?a)??f(x?b)，则f(x)具有周期性；若f(a?x)?f(b?x

函数单调性、奇偶性、周期性和对称性的综合应用

一、知识回顾：

1、对于给定区间D上的函数f(x)，如果_____，则称f(x)是区间D上的增（减）函数.

2、判断函数单调性的常用方法： 观察图像法 、定义法 3、关于函数单调性还有以下一些常见结论：

①两个增（减）函数的和为_____；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是______；

②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性；偶函数在对称的两个区间

上有_____的单调性；

4、函数的奇偶性：

（1）对于函数f(x)，其定义域关于原点对称： ．．．．．．．．． 如果______________________________________，那么函数f(x)为奇函数； 如果______________________________________，那么函数f(x)为偶函数. （2）奇函数的图象关于__________对称，偶函数的图象关于_________对称.

周期函数的定义：对于函数f?x?，存在非0常数T，使得对于其定义域

内总有f?x?T??f?x?，则称的常数T为函数的周期。 5、函数的周期性

① f?x?a???f?

函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性

湖南祁阳四中 何双桥整理 一、函数的单调性 1.单调性的定义

一般地，设函数f(x)的定义域为I：

如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量值x1、x2，当x1?x2时，都有

f(x1)?f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数，区间D我们称为函数f(x)的

单调增区间；

如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量值x1、x2，当x1?x2时，都有

f(x1)?f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数，区间D我们称为函数f(x)的

单调减区间。

2.单调函数与严格单调函数

设f(x)为定义在I上的函数，若对任何x1,x2?I，当x1?x2时，总有

(ⅰ) f(x1)?f(x2)，则称f(x)为I上的增函数，特别当且仅当严格不等式f(x1)?f(x2)成立时称f(x)为I上的严格单调递增函数。

(ⅱ) f(x1)?f(x2)，则称f(x)为I上的减函数，特别当且仅当严格不等式f(x1)?f(x2)成立时称f(x)为I上的严格单调递减函数。 2.函数单调的充要条件

★若f(x)为区间I上的单调递增函数，x1、x2为区间内两任

第三节 函数的奇偶性和周期性

姓名： 日期： 函数的奇偶性与周期性作为函数的重要性质，几乎是高考的必考内容，常结合函数单调性，多作为小题在同一个题目中出现。具有灵活性强，辐射面广等优点。在学习过程中我们要很好的把握其性质特征，抓住本质，沉着应对。

★重难点突破★

1. 函数的奇偶性的判断：

可以利用奇偶函数的定义判断或者利用定义的等价形式

f(?x)??f(x)?f(?x)?f(x)?0?的对称性去判断函数的奇偶性.注意：

f(?x)??1(f(x)?0),也可以利用函数图象f(x)①若f(x)?0,则f(x)既是奇函数又是偶函数,若f(x)?m(m?0),则f(x)是偶函数； ②若f(x)是奇函数且在x?0处有定义，则f(0)?0；

③若在函数f(x)的定义域内有f(?m)?f(m)，则可以断定f(x)不是偶函数，同样，若在函数f(x)的定义域内有f(?m)??f(m)，则可以断定f(x)不是奇函数； ④定义域对称是函数具有奇偶性的前提。如：函数f(x)?ax2?bx?3a?b是定义域为

[a?1,2a]的偶函数，则a?

高三、一轮复习、数学、函数、教案,习题,学习资料,

课题：函数的奇偶性和周期性

辅导时间：2010,7辅导学生：黄文韬 辅导教师：汪飞

★知识梳理

1．函数的奇偶性的定义：

①对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f( x) f(x)〔或f( x) f(x) 0〕，则称f(x)为奇函数. 奇函数的图象关于原点对称。

②对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f( x) f(x)〔或f( x) f(x) 0〕，则称f(x)为偶函数. 偶函数的图象关于y轴对称。

③通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称） 1． 函数的周期性命定义：

对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足

f(x T) f(x)，那么函数f(x)T

★重、难点突破

重点：函数的奇偶性和周期性，函数的奇偶性、单调性、周期性的综合应用

难点：函数的奇偶性的判断 函数的奇偶性与单调性、函数的奇偶性与周期性的综合应用 重难点：1.函数的奇偶性的判断：可以利用奇偶函数的定义判断或者利用定义的等价形式 f( x) f(x) f( x) f(x) 0

f( x)f

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课题：函数的奇偶性和周期性

辅导时间：2010,7辅导学生：黄文韬 辅导教师：汪飞

★知识梳理

1．函数的奇偶性的定义：

①对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f( x) f(x)〔或f( x) f(x) 0〕，则称f(x)为奇函数. 奇函数的图象关于原点对称。

②对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f( x) f(x)〔或f( x) f(x) 0〕，则称f(x)为偶函数. 偶函数的图象关于y轴对称。

③通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称） 1． 函数的周期性命定义：

对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足

f(x T) f(x)，那么函数f(x)T

★重、难点突破

重点：函数的奇偶性和周期性，函数的奇偶性、单调性、周期性的综合应用

难点：函数的奇偶性的判断 函数的奇偶性与单调性、函数的奇偶性与周期性的综合应用 重难点：1.函数的奇偶性的判断：可以利用奇偶函数的定义判断或者利用定义的等价形式 f( x) f(x) f( x) f(x) 0

f( x)f