高中数学排列组合经典题型

模块九 排列与组合、二项式定理 第一部分：排列、组合 一。计数原理

加法计数原理：如果完成一件事情可以分为m类，每一类的方法数分别是：N1，N2，N3，…..Nm,则完成这件事情共有N1+N2+N3+…..+Nm种方法。（又称分类计数原理）

乘法计数原理：如果完成一件事情须分为m步，每一步的方法数分别是：N1，N2，N3，…..Nm,则完成这件事情共有N1?N2?N3?…..?Nm种方法。（又称分类计数原理） 分类计数原理与分步计数原理是计数问题的基本原理，它贯穿于全章学习的始终，体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即把问题分类解决和分步解决。正确区分和使用两个原理是学好本章的关键，其核心是“完成一件事”是“分类”完成，还是“分步”完成. 二。排列数、组合数的定义

①排列数：从n个元素中取出m个排成一列（即排入m个位置），共有An种排法。

Am（n－2）?（n－m+1）.特别的：An?n! n=n（n－1）

②组合数：从n个元素中取出m个形成一个组合，共有Cn种取法。 Cmn=

mnmn!0n特别地：Cn?1,Cn?1

(n?m)!m!组合数的两个性质：

n?mmm?1（1）Cm； （2）Cmn?1=C

高中数学竞赛专题讲座之 排列组合 二项式定理和概率

一． 排列组合二项式定理

1 (2005年浙江)设1?x?x2nn??n求a2?a4???a2n的值（ ） ?a0?a1x???a2nx2n，

3n?13n?1 （A）3 （B）3?2 （C） （D）

22【解】： 令x?0 得 a0?1；（1） 令x??1 得 a0?a1?a2?a3???a2n?1； （2）

n令x?1 得 a0?a1?a2?a3???a2n?3； （3）

（2）＋（3）得 2(a0?a2?a4???a2n)?3?1，故 a0?a2?a4???a2nn3n?1?，

2再由（1）得 a2?a4???a2n3n?1?。 ?选 【 C 】

22、（2004 全国）设三位数n?abc，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n有 （ ）

A. 45个 B. 81个 C. 165个 D. 216个 解：a，b，c要能构成三角形的

排列组合问题经典题型与通用方法

1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.

例1.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果A,B必须相邻且B在A的右边，则不同的排法有（ ）

A、60种 B、48种 C、36种 D、24种

2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.

例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ）

A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种

1(,ij1,2?,3,4)例3.已知集合A?{1,2,3,?,19,20}，集合B?{a1,a2,a3,a4}，且B?A，若|ai?aj|?则满足条件的集合B有多少个？

3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.

，

例4.（1）A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）那么不同的排法有（ ）

A、24种 B、60种 C、90种 D、120种

（2）由数字0，1，2，3，4，

……………………○○……………………线线……………………○○… _……___……___…_…：订号…考订…___…_…__…_…_：……级○班…__○_…___……__：……名……姓_…_装___装…___……___…:…校学………○○……………………外内……………………○○……………………

绝密★启用前

2018年04月14日910****3285的高中数学组卷

试卷副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

题号 一 总分 得分 注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上

第Ⅰ卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

评卷人 得 分 一．选择题（共10小题）

1．在航天员进行一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有（ ） A．34种

B．48种

C．96种

D．144种

2．要排出某理科班一天中语文、数学、物理、英语、生物、化学6堂课的课程表，要求语文课排在上午（前4节），生物课排在下午（后2节），不同排法种数为（ ）

A．144 B．192 C．360 D．7

排列组合染色问题的探究

上饶县二中 徐 凯

在任教高二数学教学时，有许多同学被排列组合题的灵活性所困惑，甚至有学生向我询问有没有公式之类的解决途径，每道题都去分析似乎很累。其实就某些特殊的排列组合问题是可以抽象出数学模型来加以研究的，比如说下面我们所要提到的染色问题。

一、一个结论。

若把一个圆（除中间同心圆外的圆环部分）分成n 份( n > 1) , 每部分染一种颜色且相邻部分不能染同种颜色, 现有m (m > 1) 种不同颜色可供使用, 那么

共有S

)1()1()1(--+-=m m n n 种染色方法。 例：在一个圆形花坛种颜色花卉，现有4种颜色可供选择，要求相邻两个区域不同色，则共有多少种方法

解：从图中可以发现除同心圆部分外的圆环部分被分成了n=5份，因为有4种颜色可供选择，我们先给同心圆①染色有4种方法，那么圆环部分有3种颜色可供选择，即m=3,所以圆环部分共有S=()30232)13()1(1355

=-=--+-种染色方法，从而整个圆形花坛共有120304=?种染色方法。

用常规方法同学们是否也能做到那么快和准确呢

二、结论的证明。 把圆(除中间同心圆部分)分成n 份( n > 1) , 每部分染一种颜色且相邻。部分不能染同种颜色, 现有m

选修2-3：排列组合常见题型

可重复的排列（求幂法） 重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复。

在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数。

【例1】 （1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？ （2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？ （3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？ 【解析】：（1）3（2）4 （3）4

433相邻问题（捆绑法） 相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.高☆考♂资♀源

第十三章 排列组合与概率

一、基础知识

1．加法原理：做一件事有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，??，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m1+m2+?+mn种不同的方法。

2．乘法原理：做一件事，完成它需要分n个步骤，第1步有m1种不同的方法，第2步有m2种不同的方法，??，第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×?×mn种不同的方法。 3．排列与排列数：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，从n个不同元素中取出m个(m≤n)元素的所有排列个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用Anm表示，Anm=n(n-1)?(n-m+1)=

n!,其中m,n∈N,m≤n, (n?m)!注：一般地An0=1，0！=1，Ann=n!。

Ann4．N个不同元素的圆周排列数为=(n-1)!。

n5．组合与组合数：一般地，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，即从n个不同元素中不计顺序地取出m个构成原集合的一个子集。从n个

不同元素中取出m(m

排列组合常用方法题型总结

【知识内容】

1．基本计数原理

⑴加法原理

分类计数原理：做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N?m1?m2??mn种不同的方法．又称加法原理．

⑵乘法原理

分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n个子步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同方法，……，做第n个步骤有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N?m1?m2??mn种不同的方法．又称乘法原理．

⑶加法原理与乘法原理的综合运用

如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类

计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．

分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用．

2． 排列与组合

⑴排列：一般地，从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的

1.集合基本运算，数轴应用 已知全集

，则集合

B．

C．

D．

A．

2.集合基本运算，二次函数应用 已知集合A．

B．

C.．

，则 D．

（ ）

3.集合基本运算，绝对值运算，指数运算 设集合 A.

B.

C.

，则

D.

（ ）

4.集合基本性质，分类讨论法

已知集合A= a?2,2a?5a,12，且-3 ?A，求a的值

5.集合基本性质，数组，子集数量公式2n

.集合A=｛（x,y)|2x+y=5,x∈N,y∈N｝,则A的非空真子集的个数为（ ） Ａ ４ Ｂ ５ Ｃ ６ Ｄ ７ 6.集合基本性质，空集意识

已知集合A={x|2a-1≤x≤a+2}，集合B={x|1≤x≤5}，若A∩B=A，求实数a的取值范围．

7.函数解析式，定义域，换元法，复合函数，单调性，根式和二次函数应用，数形结合法 已知f(x?1)?x?2x，定义域为：x>0 （1）求f(x)的解析式，定义域及单调递增区间 （2）求f(x-1)解析式，定义域及最小值

?2?8.函数基本性质，整体思想

1

超全的排列组合解法

排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。

教学目标

1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。

2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力

3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固

1.分类计数原理(加法原理)

完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：

N?m1?m2??mn 种不同的方法．

2.分步计数原理（乘法原理）

完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：

N?m1?m2??mn 种不同的方法．

3.分类计数原理分步计数原理区别

分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事