抛物线所有公式总结
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抛物线焦点弦的弦长公式 2
关于抛物线焦点弦的弦长公式补充
(1)已知:抛物线的方程为
y2?2px(p?0),过焦点F的弦AB交抛物线于A B两点,
且弦AB的倾斜角为?,求弦AB的长。 解:由题意可设直线AB的方程为y?k(x?p?)(??)将其代入抛物线方程整理得:
224k2x2?(4pk?8p)x?12pk122?0 ,且k?tan?
?pk?2p,
x2设A,B两点的坐标为(x,y),(x,y) 则:x?x2212k21x2?p42
|AB|?1?k2(x1?x2)2?4x1x2?2p(sin?)2
当???2时,斜率不存在,sin??1,|AB|=2p.即为通径
而如果抛物线的焦点位置发生变化,则以上弦长公式成立吗?这只能代表开口向右时的弦长计算公式,其他几种情况不尽相同。 现在我们来探讨这个问题。
(2)已知:抛物线的方程为
x2?2py(p?0),过焦点的弦AB交抛物线于A,B两点,
直线AB倾斜角为?,求弦AB的长。
解:设A,B的坐标为(故AB的方程为y?x1,y),(x2,y),斜率为k(k?tan?),而焦点坐标为(0,),
12p2p?kx,将其代入抛物线的方程整理得: 22x2?2pkx?p?0,从而x1?x2?2pk,x1x2??p,
22弦长为:|
抛物线焦点弦问题
江夏一中2013届文科数学一轮复习专题讲座
抛物线焦点弦问题
抛物线焦点弦问题较多,由焦点引出弦的几何性较集中,现总结如下: 一.弦长问题:
2
例1 斜率为1的直线经过抛物线y 4x的焦点,与抛物线相交AB两点,求线段AB的长。
二.通径最短问题:
2
例2:已知抛物线的标准方程为y 2px,直线l过焦点,和抛物线交与A.B两点,求AB的最小值并
求直线方程。
三.两个定值问题:
2
例3:过抛物线y 2px的焦点的一条直线和抛物线相交,两个焦点的横、纵坐标为x1、x2、y1、y2,
p22
求证:x1y1 ,y1y2 p。
4
四.一个特殊直角问题:
2
例4:过抛物线y 2px(P 0)的焦点F的直线与抛物线交与A、B两点,若点A、B在抛物线的准
线上的射影分别是A1,B1求证: A1FB1 90。
五.线段AB为定长中点到y轴的最小距离问题
2
例5:定长为3的线段AB的两端点在抛物线y x上移动,设点M为线段AB的中点,求点M到y 轴
的最小距离。
六.一条特殊的平行线
例6:过抛物线焦点的一条直线与它交与两点P、Q,经过点P 和抛物线顶点的直线交准线于点M,求证:直线MQ平行于抛物线的对称轴。
七.一个特殊圆
例7:求证:以通过抛物线焦点的弦为直径的圆必与抛物线的准线相切。
八.
抛物线及其标准方程
篇一:抛物线定义及标准方程
一、 复习预习
复习双曲线的基本性质,标准方程以及方程的求法、应用
二、知识讲解
(一)导出课题
我们已学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线.今天我们将学习第四种圆锥曲线——抛物线,以及它的定义和标准方程.课题是“抛物线及其标准方程”.
请大家思考两个问题:
问题1:同学们对抛物线已有了哪些认识?
在物理中,抛物线被认为是抛射物体的运行轨道;在数学中,抛物线是二次函数的图象?
问题2:在二次函数中研究的抛物线有什么特征?
在二次函数中研究的抛物线,它的对称轴是平行于y轴、开口向上或开口向下两种情形.
引导学生进一步思考:如果抛物线的对称轴不平行于y轴,那么就不能作为二次函数的图象来研究了.今天,我们突破函数研究中这个限制,从更一般意义上来研究抛物线.
(二)抛物线的定义
1.回顾
平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹,当0<e<1时是椭圆,当e>1时是双曲线,那么当e=1时,它又是什么曲线?
2.简单实验
如图2-29,把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上,一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘;把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A,截取绳子的长等于A到直线l的距离AC,并且把绳子另一端固定在图板上的一点F;用
抛物线及其标准方程
第二章 圆锥曲线与方程
2.4.1 抛物线及其标准方程
生活中存在着各种形式的抛物线
我们对抛物线已有了哪些认识?
二次函数是开口向上或向下的抛物线。y
o
x
问题探究: 当|MF|=|MH| ,点M的轨迹是什么?
探 究 ?
H
M
·
C
·F
l
e=1
可以发现,点M随着H运动的过程中,始终|MF|=|MH|,即点M与点F和定直线l的距离相等.点M生成的轨迹是 曲线C的形状.(如图) 我们把这样的一条曲线叫做抛物线.
抛物线的定义:在平面内,与一个定点F 和一条定直线l(l不经过点F) 的距离相等的点的轨迹叫抛 物线. 点F叫抛物线的焦点,H
d M
·
C焦 点
·F
准线
l
直线l 叫抛物线的准线
e=1
d 为 M 到 l 的距离
想一想
如果点F在直线l上,满足条件的点的 轨迹是抛物线吗?
注:若F L,则满足到定点F和定直线L的距离相等的点的 轨迹是过点F且垂直于直线L的一条直线.
1.抛物线的定义 距离相等的 平面内与一个定点F和一条定直线l(不经过点F)_________ 焦点 ,直线l叫做 点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的_____ 准线 . 抛物线的_____ 试一试:在抛物线定义中,若去掉条件“l不经过点F”,点的 轨迹还
高考抛物线专题做题技巧与方法总结
高考抛物线专题做题技巧与方法总结
知识点梳理:
1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质 (p?0): 标准方程 图形 y2?2px ▲y2??2px ▲x2?2py ▲x2??2py ▲yyyyxOxOxOxO 焦点 准线 范围 对称轴 顶点 离心率
2.抛物线的焦半径、焦点弦
F(p,0) 2p 2 F(?p 2 F(0,p) 2 F(0,?p 2p,0) 2p) 2x??x?y??p 2y?x?0,y?R x?0,y?R x?R,y?0 x?R,y?0 x轴 y轴 (0,0) e?1 ①y2?2px(p?0)的焦半径PF?x?P;x2?2py(p?0)的焦半径PF?y?P;
22② 过焦点的所有弦中最短的弦,也被称做通径.其长度为2p.
p2③ AB为抛物线y?2px的焦点弦,则xAxB? ,yAyB??p2,
42|AB|=xA?xB?p
?x?2pt2?x?2pt3. y?2px的参数方程为?(t为参数),x2?2py的参数方程为?(t2y?2pty?2pt??2为参数). 重难点突破
重点:掌握抛物线的定义和标准方程,会运用定义和会求抛物线的标准方程,能
通过方程研究抛物线的几
与抛物线有关的结论
与抛物线有结论
抛物线中有一些常见、常?y?k(x?p?)用的结论,了解这些结论后在做选择题、填空题2??y2?2px?时可迅速解答相关问题,在做解答题时也可迅速打开思路。
p2结论一:若AB是抛物线y?2px(p?0)的焦点弦(过焦点的弦),且A(x1,y1),B(x2,y2),则:x1x2?,
42y1y2??p2。
证明:因为焦点坐标为F(
22pp,0),当AB不垂直于x轴时,可设直线AB的方程为: y?k(x?), 222y12y22p4p2由得: ky?2py?kp?0 ∴y1y2??p,x1x2?。 ???2p2p4p24当AB⊥x轴时,直线AB方程为x?p2x1x2?。
4p,则y1?p,y2??p,∴y1y2??p2,同上也有:2例:已知直线AB是过抛物线y2?2px(p?0)焦点F,求证:
11?AFBF为定值。
pp,BF?x2?,又22证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线的定义知:AF?x1?p2。 AF+BF=AB,所以x1+x2=AB-p,且由结论一知:x1x2?4则:1?1?AF?BF?AFBFAF?BFABABAB2 =?(常数) ?222ppppp
2.4.1抛物线及其标准方程
高二数学选修2-1,三维设计,三章全部。
2.4.1 抛物线及其标准方程
如图,我们在黑板上画一条直线EF,然后取一个三角板,将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上,并将拉链下边一半的一端固定在C点,将三角板的另一条直角边贴在直线EF上,在拉锁D处放置一支粉笔,上下拖动三角板,粉笔会画出一条曲线.
问题1:画出的曲线是什么形状? 提示:抛物线
问题2:|DA|是点D到直线EF的距离吗?为什么?
提示:是.AB是直角三角形的一条直角边. 问题3:点D在移动过程中,满足什么条件? 提示:|DA|=|DC|.
抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点Fl.
平面直角坐标系中,有以下点和直线:A(1,0),B(-1,0),C(0,1),D(0,-1);l1:x=-1,l2:x=1,l3:y=-1,l4:y=1.
问题1:到定点A和定直线l1距离相等的点的轨迹方程是什么? 提示:y2=4x.
问题2:到定点B和定直线l2距离相等的点的轨迹方程是什么? 提示:y2=-4x.
问题3:到定点C和定直线l3,到定点D
和定直线l4距离相等的点的轨迹方程分别是什么?
提示:x2=4y,x2=-4y.
高二数学选修2-1,三维设计,三
抛物线的几何性质(2)
选修2-1 第二章 圆锥曲线 2.4抛物线 2.4.2抛物线的简单几何性质
普通高中课程标准实验教材选修( ) 普通高中课程标准实验教材选修(2-1)
抛物线习题课( ) 抛物线习题课(1)
选修2-1 第二章 圆锥曲线 2.4抛物线 2.4.2抛物线的简单几何性质
复习
一、抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线 平面内与一个定点 和一条定直线l 和一条定直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 抛物线. 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 定点F叫做抛物线的焦点 定点 叫做抛物线的焦点 叫做抛物线的焦点. 定直线l 叫做抛物线的准线 准线. 定直线 叫做抛物线的准线N lM
· ·F
即:
MF ︳ ︳ , 则点 M 的轨迹是抛物线。 若 =1 MN ︳ ︳
注意:定点不在定直线上。 注意:定点不在定直线上。
选修2-1 第二章 圆锥曲线 2.4抛物线 2.4.2抛物线的简单几何性质
练习4.到定点(3,5)与定直线2x+3y-21=0的距离相等的点的轨迹 4.到定点(3,5)与定直线2x+3y-21=0的距离相等的点的轨迹 到定点(3,5)与定直线2x+3y 是( A.圆 A.圆 C.线段 C.线段
D)B.抛物线 B
抛物线的定义和标准方程
抛物线的定义和标准方程
抛物线的定义和标准方程
教学目标:
1、使学生掌握抛物线的定义,开口向右的抛物线的标准方程的推导过程。进一步得出开口向左、向上、向下的抛物线的标准方程。
2、熟练掌握抛物线的四种标准方程及其所对应的开口方向、焦点坐标、准线方程之间的关系;
3、能根据已知条件熟练地求出抛物线的标准方程,进一步培养学生在解决数学问题时进行观察、类比、猜想、分析、计算的能力。 教学重点和难点:
重点:抛物线的定义;根据具体条件求出抛物线的标准方程;根据抛物线的标准方程求出焦点坐标、准线方程。
难点:抛物线的标准方程的推导。 教学过程: 一、复习提问:
1、已知轨迹条件,怎样建立轨迹方程? (答:已知曲线,求方程的一般步骤如下:
(1)建立适当的直角坐标系,用(x,y)表示曲线上任一点M的坐标; (2)写出曲线上的点M所要适合的条件 ;
(3)用点M的坐标表示这个条件,得出方程f (x,y)=0; (4)把方程f (x,y)=0化简;
(5)证明化简后的方程就是所求的曲线方程。
如果方程化简的每一步都同解,那么最后一步证明可以省略。)
2、在平面内到一定点的距离和到一条定直线距离的比是常数e 的点的轨迹, 当e < 1时是什么图形?(椭圆) 当e > 1时是什么图形?
抛物线与面积专题复习8
【学习目标】(1)熟练掌握抛物线中特殊点的求法; (2)已知点的坐标,会求抛物线中有关图形面积; (3)已知抛物线中图形的面积关系,求点的坐标; (4)体会数形结合、化归等数学思想; (5)培养发散思维,一题多解,多解归一.
【自主探究】一、已知点的坐标,求抛物线中有关图形的面积
y x2 2x 3 与 x 轴交于A、B 已知二次函数两点(A在B的左边),与y轴交于点C,顶点为P. (1)请求出A、B、C、P的坐标; (2)求 A C 的面积; BA(-1,0),B(3,0) C(0,-3), P(1, - 4)
【反思归纳】已知点的坐标,如何求抛物线中图形的面积?
(1)一般取 平行于坐标轴
上的线段为底边.
(2)三边均不在坐标轴上的三角形及不规则 多边形,需把图形 转化 .(割补法)
【尝试探索】二、已知抛物线中图形的面积关系,求点的坐标
y x2 2x 3 与 x 轴交于A、B 已知二次函数两点(A在B的左边),与y轴交于点C,顶点为P.A(-1,0),B(3,0) C(0,-3), P(1,-4) N2y
N3
在抛物线上(除点C外), 是否存在点N,使得 S△NAB = S△ABC, 若存在,求出点N的坐标, 若不存在,请说