矢量代数公式

矢量代数

一、矢量及其运算

? 同时给出大小和注明方向才能完全确定的的，在相加时服从平行四边形法则的物理量称

为矢量或向量。

? 矢量的几何表示方法：画一条带有箭头的直线段，以一定的比例令其长度代表矢量的大

小，并令直线段的方位及箭头的指向代表矢量的方向。矢量的大小（即直线段的长度）是正的标量（绝对值）。

? 若一矢量v的大小为0，则称该矢量为零矢量。

? 两个矢量相等，表示它们的大小相等，共线或相互平行，指向相同。 ? F1=-F2表示F1和F2大小相等，共线或相互平行，指向相反。

二、矢量相加（或称矢量的合成）和相减

? 以两个矢量为边作一个平行四边形，则从两矢量始端的交点O引出的该平行四边形的

对角线OQ就代表矢量和C

? C的大小√A^2+B^2+2ABcosφ tanγ=Bsinφ/A+Bcosφ ? 多边形法则：求多个矢量的和时，可以从第一个矢量出发，首尾相接地写出以后的矢量，

最后从第一个矢量的始端到最后一个矢量的终端画出一个矢量，即为矢量和。 ? 矢量也可以相减，所得差称为矢量差，可以看做是一个矢量与另一个矢量的负矢量的和。 即：任选一点，将两个矢量平移到同一点，从减矢量末端到被减矢量末端画一个矢量，即为矢量差。

? 矢量加法

线性代数全公式

基本运算

①A?B?B?A

②?A?B??C?A??B?C?

③c?A?B??cA?cB ?c?d?A?cA?dA ④c?dA???cd?A

⑤cA?0?c?0或A?0。 AT??T?A

T ?A?B??AT?BT

?cA?TT?cAT。

?? ?AB??BTAT

??n?n?1??21??Cn2?n?n?1? 2D?a21A21?a22A22???a2nA2n

转置值不变AT?A 逆值变A?1?1 AcA?cnA

?,?1??2,???,?1,???,?2,? A???1,?2,?3?，3阶矩阵 B???1,?2,?3? A?B?A?B

A?B???1??1,?2??2,?3??3?

A?B??1??1,?2??2,?3??3 A?A0??AB 0B?BE?i,j?c???1

有关乘法的基本运算

Cij?ai1b1j?ai2b2j???ainbnj 线性性质 ?A1?A2?B?A1B?A2B， A?B1?B2??AB1?AB2 ?cA?B?c?AB??A?cB?

线性代数

①A?B?B?A

②?A?B??C?A??B?C?

③c?A?B??cA?cB ?c?d?A?cA?dA ④c?dA???cd?A

⑤cA?0?c?0或A?0。 AT??T?A

T ?A?B??AT?BT

?cA?TT?cAT。

?? ?AB??BTAT

??n?n?1??21??Cn2?n?n?1? 2D?a21A21?a22A22???a2nA2n

T转置值不变A?A

逆值变A?1?1 AcA?cnA

?,?1??2,???,?1,???,?2,?

A???1,?2,?3?，3阶矩阵 B???1,?2,?3? A?B?A?B

A?B???1??1,?2??2,?3??3?

A?B??1??1,?2??2,?3??3 A?A0??AB 0B?BE?i,j?c???1

有关乘法的基本运算

Cij?ai1b1j?ai2b2j???ainbnj 线性性质 ?A1?A2?B?A1B?A2B， A?B1?B2??AB1?AB2 ?cA?B?c?AB??A?cB? 结合

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第一章 行列式

1．逆序数 1.1 定义

n个互不相等的正整数任意一种排列为：i1i2???in，规定由小到大为标准次序，当某两个元素的先后次序与标准次序不

同时，就说有一个逆序数，该排列全部逆序数的总合用?数字的个数之和。 1.2 性质

一个排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性，即 ?2证明如下：

设排列为a1?alab1?bmbc1?cn，作m次相邻对换后，变成a1?alabb1?bmc1?cn，再作m?1次相邻对换后，变成a1?albb1?bmac1?cn，共经过2m?1次相邻对换，而对不同大小的两元素每次相邻对换逆序数要么增加1 ，要么减少1 ，相当于?2故原命题成立。

2．n阶行列式的5大性质

性质1：转置（行与列顺次互换）其值不变。 性质2：互换任意两行（列）其值变号。

性质3：任意某行（列）可提出公因子到行列式符号外。 性质4：任意行列式可按某行（列）分解为两个行列式之和。 性质5：把行列式某行（列）?倍后再加到另一行（列），其值不变。

行列式的五大性质全部可通过其定义证明；而以后对行列式的运算主要是利用这五个性质。

评 注 对性质4的重要拓展： 设n阶同型矩阵，

n?i1i2???in?表示，??

第一章

1．逆序数 1.1 定义

行列式

n个互不相等的正整数任意一种排列为：i1i2???in，规定由小到大为标准次序，当某两个元素的先后

次序与标准次序不同时，就说有一个逆序数，该排列全部逆序数的总合用??i1i2???in?表示，

??i1i2???in?等于它所有数字中后面小于前面数字的个数之和。

1.2 性质

一个排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性，即 ?22．n阶行列式的5大性质

性质1：转置（行与列顺次互换）其值不变。 性质2：互换任意两行（列）其值变号。

性质3：任意某行（列）可提出公因子到行列式符号外。 性质4：任意行列式可按某行（列）分解为两个行列式之和。 性质5：把行列式某行（列）?倍后再加到另一行（列），其值不变。

行列式的五大性质全部可通过其定义证明；而以后对行列式的运算主要是利用这五个性质。

评 注 对性质4的重要拓展： 设n阶同型矩阵，以，

???1??1。

A??aij?; B??bij??A?B??aij?bij?，而行列式只是就某一列分解，所

nA?B应当是2个行列式之和，即A?B?A?B

。

评 注 韦达定理的一般形式为：

anx?an?1xnn?1?an?2xn?2nan?1a

线性代数公式大全

1、行列式

1. n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式； 2. 代数余子式的性质：

①、Aij和aij的大小无关；

②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A； 3. 代数余子式和余子式的关系：Mij?(?1)i?jAij4. 设n行列式D：

将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D1，则D1?(?1)?Aij?(?1)i?jMij

n(n?1)2D； D；

将D顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为D2，则D2?(?1)将D主副角线翻转后，所得行列式为D4，则D4?D； 5. 行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

②、副对角行列式：副对角元素的乘积??(?1)n(n?1)2n(n?1)2将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D3，则D3?D；

；

③、上、下三角行列式（?◥???◣?）：主对角元素的乘积； ④、?◤?和?◢?：副对角元素的乘积??(?1)⑤、拉普拉斯展开式：

n(n?1)2；

AOACCAOA??AB、??(?1)m?nAB CBOBBOBC⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；

概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确

?A可逆 ??r(A)?n ?A的列（行）向量线性无关 ??A的特征值全不为0 ??Ax??只有零解 ? ?x??，Ax?? A?0?? n???R,Ax??总有唯一解 ??ATA是正定矩阵 ??A?E ?A?pp???p p是初等阵12si???存在n阶矩阵B,使得AB?E 或 AB?E注：全体n维实向量构成的集合R叫做n维向量空间. ○

n?A不可逆 ?r(A)?n ??A?0??A的列（行）向量线性相关

?0是A的特征值 ???Ax??有

线代公式

线性代数公式大全——最新修订

1、行列式

1. 个元素，展开后有n!项，可分解为22. 代数余子式的性质：

①、Aij和aij的大小无关；

②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A； 3. 代数余子式和余子式的关系：Mij ( 1)4. 设

将将将

i j

n行列式共有n

2

n

行列式；

AijAij ( 1)

n(n 1)

i j

Mij

n行列式D

DD

：

上、下翻转或左右翻转，所得行列式为

D1，则D1 ( 1)

2

D；

2

n(n 1)

顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为主对角线翻转后（转置），所得行列式为

D2，则D2

( 1)D；

D

D3，则D3 D；

；

将D主副角线翻转后，所得行列式为

D4，则D4 D

5. 行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

n(n 1)

②、副对角行列式：副对角元素的乘积 ( 1)

2

；

③、上、下三角行列式（ ◥ ◣ ）：主对角元素的乘积；

n(n 1)

④、 ◤ 和 ◢ ：副对角元素的乘积 ( 1)

A

OB

2

；

C

AO OB

AC ( 1)

m n

⑤、拉普拉斯展开式：C

AO

C

AB、BB

AB

⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n阶行

线性代数公式大全

1、行列式

1. n行列式共有n个元素，展开后有n!项，可分解为2行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、A和a的大小无关；

2nijij②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A； 3. 代数余子式和余子式的关系：M?(?1)A4. 行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

i?jijijAij?(?1)i?jMij

②、副对角行列式：副对角元素的乘积??(?1)n(n?1)2n(n?1)2；

③、上、下三角行列式（?◥???◣?）：主对角元素的乘积； ④、?◤?和?◢?：副对角元素的乘积??(?1)A⑤、拉普拉斯展开式：C；

AOA??(?1)m?nABOBCOAC??ABBOB、CB

⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；

5. 对于n阶行列式A，恒有：?E?A????(?1)nk?1nkSk?n?k，其中S为k阶主子式；

k6. 证明A?0的方法： ①、A??A； ②、反证法；

③、构造齐次方程组Ax?0，证明其有非零解； ④、利用秩，证明r(A)?n； ⑤、证明0是其特征值；

2、矩阵

1.

A是n阶可逆矩阵：

篇一：photoshop素材(矢量图)

篇二：Photoshop精彩手绘精美秋天矢量图

Photoshop精彩手绘精美秋天矢量图 这个教程用Photoshop绘制一幅精美的秋天风景矢量图 首先创建一个文档：

使用渐变工具绘制：

我们利用钢笔工具绘制一个轮廓，然后设置选区：

然后使用渐变工具填充，注意颜色：

然后使用渐变工具填充，注意颜色：

创建一个新图层，按住Shift绘制一个太阳：

Ctrl+J，复制图层，执行高斯模糊：

降低可见度：

之后选择画笔，在树的周围绘制叶子图案：

篇三：photoshop素材(高清风景图片1)