哈工大集合论与图论课后答案

?顶点连通度和边连通度第三章 连通度、匹配? ?门格尔定理??匹配、霍尔定理本章的特点：（1）理论深；（2）本科基本用不上（计算机体系结构上用到一点），只有

研究生才能用上；（3）只介绍这个领域最基本的概念和一些有用的结果。

一个图是否是连通的，这是图的一个重要性质。

内容：本章首先引入图的顶点连通度和边连通度，由此可以比较两个图中哪个“更加连通”；

接着讨论了它们的一些简单性质； 然后讨论偶图的匹配问题。

?动机和目的?顶点连通度（G)、边连通度（G)???第一节 顶点连通度和边连通度?

?（G)、（G)、（G)关系?????n-顶点连通、n-边连通

1.1 动机和目的

一个图是否是连通的，是图的一个重要性质。于是，我们就想来刻画两个图“连通程

度”的大小，但是刻画两个图“连通程度”的大小方法很多，我们只介绍两个常用的方法：顶点连通度和边连通度

例：树的每个度大于1的顶点都是割点。一个具有割点的连通图，当去掉这个割点时，就产生了一个不连通图。对于一个没有割点的连通图，必须去掉多于一个顶点才有可能得到一个不连通图。于是，具有割点的连通图较之没有割点的连通图的“连通程度”要低。

类似地，树的每条边的都是桥。有桥的连通图，当去掉桥时，就产生

例：

1、设A,B是两个集合,B≠￠,试证:若A×B=B×B, 则A=B。

2、设A,B,C,D是任意四个集合，证明： （A∩B)×(C∩D)=(A×C)∩(B×D)

3、某班30名学生中学英语有7人，学日语有5人，这两科都选有3人，问两科都不选的有多少人？

(|AC∩BC|+|A∪B|=30, |AC∩BC|=21人)

4、令N={1,2,3,…}，S:N→N，则

(1)?n?N,S(n)=n+1,Ｓ称为自然数集N上的后继函数。

(2)S(1)=1,?n?N,S(n)=n-1,n≥2,Ｓ称为自然数集N 上的前仆函数。

5、设f:N×N ?N,f((x,y))=xy。则 （1）说明f是否是单射、满射或双射？ （2）求f(N×{1}),f-1({0})。

(1,4)≠(2,2),f((1,4))=f((2,2))=4；

?y?N,f((1,y))=1·y=y,任一元都有原象； [f不是单射,f是满射]

f(N×{1})={n·1|n ?N}=N；

f-1({0})={(x,y)|xy=0}={N×{0}}?{{0}×N}。

6、设R、I、N是实数、整数、自然数集合，下面定义映射f1,f2,f

例：

1、设A,B是两个集合,B≠￠,试证:若A×B=B×B, 则A=B。

2、设A,B,C,D是任意四个集合，证明： （A∩B)×(C∩D)=(A×C)∩(B×D)

3、某班30名学生中学英语有7人，学日语有5人，这两科都选有3人，问两科都不选的有多少人？

(|AC∩BC|+|A∪B|=30, |AC∩BC|=21人)

4、令N={1,2,3,…}，S:N→N，则

(1)?n?N,S(n)=n+1,Ｓ称为自然数集N上的后继函数。

(2)S(1)=1,?n?N,S(n)=n-1,n≥2,Ｓ称为自然数集N 上的前仆函数。

5、设f:N×N ?N,f((x,y))=xy。则 （1）说明f是否是单射、满射或双射？ （2）求f(N×{1}),f-1({0})。

(1,4)≠(2,2),f((1,4))=f((2,2))=4；

?y?N,f((1,y))=1·y=y,任一元都有原象； [f不是单射,f是满射]

f(N×{1})={n·1|n ?N}=N；

f-1({0})={(x,y)|xy=0}={N×{0}}?{{0}×N}。

6、设R、I、N是实数、整数、自然数集合，下面定义映射f1,f2,f

集合论与图论试题 题号 分数 一 二 三 四 五 哈工大 2009 年 秋季学期

学号 总分 姓名 本试卷满分90分-参考答案

（计算机科学与技术学院08级）

一、填空（本题满分20分，每空各1分）

1．设A,B为集合，若(A\\B)?B?(A?B)\\B，则B等于什么？ （B?? ） 2．设f:X?Y,A?X，则f?1(f(A))与A有何关系？ (f?1(f(A))?A ) 3．给定集合S??1，2，3，4，5?，找出S上的等价的关系R，此关系R能产生划分

2?，5??。 （{(1,1),(2,2),(1,2),(2,1),(3,3),(4,4),(5,5),(4,5),(5,4)}） ?3?，?4，??1，4．设R,I,N分别表示实数，整数，自然数集（包括0），定义映射f1,f2,f3， 试确定它们的性质（单射、满射、双射）。

（1）f1:R?R,f1(x)?2x； （f1 是单射 ） （2）f2:I?N,f2(x)?x ； （f2 是满射 ） （3）f3:R?R,f3(x)?x?2。 （f

一．列式题。用谓词表示法表示如下集合： 1． 所有偶数组成的集合A

A={x| x∈Z ∧ x mod 2 =0}. 2． 所有奇数组成的集合B

B={x| x∈Z ∧ x mod 2 =1}. 3． 10的整倍数组成的集合A

A={x| x∈Z ∧x mod 10 =0}. 4． 5的整倍数组成的集合B

A={x| x∈Z ∧x mod 5 =0}.

5． 方程x2-1=0的所有实数解的集合B。

B={x|x∈R ∧x2-1=0}

6． 小于5的非负整数组成的集合A：A={x | x ∈ N ∧ x < 5 }.

二．判断题 1．（ F ）包含三个元素的集合A表示成：A=（1，2，3）。 2．（ F ）集合A ={1，2，3}与集合B ={2，3，1}是两个不同的集合。 3．（ T ）R=Φ是一个二元关系。 4．（ T ）设A= {1, 2, 3}，R= {<1, 1>, <2, 2>, <3, 3>, <1, 2>}，则R是A上自反的关系。 5．（ T ）设A= {1, 2, 3}，R= {<1, 1>, <1, 2>, <2, 1>}，则R是A上对称的关系。 6．（ T ）设A= {1, 2, 3}，R= {<1, 2>,<1, 3>}，则R是A上反对称的关系。 7．（ T ）设A= {1, 2, 3}，R= {<1, 1>,<2, 2>}，则R是A上

普迪思

PRO DESIGN 源自丹麦的灵感，2004年欧洲最受欢迎设计师品牌。

2005年 PRO DESIGN延续其“时尚与科技”结合，“野性与魅力”交融的风格。 [个性色彩随意配] 是2005年PRO DESIGN 设计的主题思想

这项设计刚刚在日本的IOFT被授予“Eyewear if the year 2005”奖。 Pro Design 在钛合金的设计上有了重大的新进展：

由三面柔软的铝做面加上纯钛做底, Pro Design 在保证镜框美观的同时开放了让顾客自选色调组合定做. 而且你无论使用任何颜色的搭配你都能得到隐蔽螺丝及焊接点流线型的一流镜架.

[个性色彩随意配]系列，这个新的概念更多用于镜框上的色调组合。每一个配戴者都会成为特殊镜框创作的个性化设计师。在此系列里，使用了多种顔色，如在在镜框的上部，使用了紫色铝材料，而在镜框的下部，采用了浅绿色的钛金属，上下形成强烈的色彩对比, 取而代之用粉色钛合金底的话又别有一番风格了，在05年的PRO DESIGN 的这个系列里，这样的色彩配搭无穷无尽，令你个性无限。

女性有36种色调组合，男性有24种色调组合，概念提供了大量的色

Kettle学习大集合

1. 什么Kettle？

Kettle是一个开源的ETL（Extract-Transform-Load的缩写，即数据抽取、转换、装载的过程）项目，项目名很有意思，水壶。按项目负责人Matt的说法：把各种数据放到一个壶里，然后呢，以一种你希望的格式流出。Kettle包括三大块： Spoon——转换/工作(transform/job)设计工具 (GUI方式) Kitchen——工作(job)执行器 (命令行方式) Span——转换(trasform)执行器 (命令行方式)

Kettle是一款国外开源的etl工具，纯java编写，绿色无需安装，数据抽取高 效稳定。Kettle中有两种脚本文件，transformation和job，transformation完成针对数据的基础转换，job则完成整个工作流的控制。

2. Kettle简单例子 2.1 下载及安装Kettle

下载地址：http://sourceforge.net/projects/pentaho/files

现在最新的版本是3.6，为了统一版本，建议下载3.2，即下载这个文件pdi-ce-3.2.0-stable.zip。 解压下载下来的文件，把

第一章 习 题

1．画出具有4个顶点的所有无向图(同构的只算一个)。 2．画出具有3个顶点的所有有向图(同构的只算一个)。 3．画出具有4个、6个、8个顶点的三次图。 4．某次宴会上，许多人互相握手。证明：握过奇数次手的人数为偶数(注意，0是偶数)。 5．证明：哥尼斯堡七桥问题无解。

6．设u与v是图G的两个不同顶点。若u与v间有两条不同的通道(迹)，则G中是否有回路？

7．证明：一个连通的(p，q)图中q ≥p-1。

8．设G是一个(p，q)图，δ(G)≥[p/2]，试证G是连通的。 9．证明：在一个连通图中，两条最长的路有一个公共的顶点。

10．在一个有n个人的宴会上，每个人至少有m个朋友(2≤m≤n)。试证：有不少于m+1个人，使得他们按某种方法坐在一张圆桌旁，每人的左、右均是他的朋友。

11．一个图G是连通的，当且仅当将V划分成两个非空子集V1和V2时，G总有一条联结V1的一个顶点与V2的一个顶点的边。

12．设G是图。证明：若 δ(G)≥ 2，则G包含长至少是δ(G)+1的回路。 13．设G是一个(p，q)图，证明：

(a)q≥p，则G中有回路；

(b)若q≥p+4，则G包含两个边不重的回路。

14．证明：若图G不是

康托尔集合论 集合论是19世纪70-80年代由德国数学家康托尔创立，它建立在一种无限观——“实无限”的基础上。所谓“实无限”，即把“无限”作为一个已经完成了的观念实体来看待。例如，在集合论中用N={n：n是自然数}表示全体自然数的集合就是如此。需要指出的是，在此之前的几千年数学发展史中，占主导地位的是另一种无限观，即古希腊哲学家亚里士多德所主张的“潜无限”观念。所谓“潜无限”，是把“无限”作为一个不断发展着的、又永远无法完成的过程来看待。例如，把自然数看成一个不断延伸的无穷无尽的序列1，2，3，…，n，…就是如此。 集合论是数学观念和数学方法上的一次革命性变革，由于它在解释旧的数学理论和发展新的数学理论方面都极为方便，因而逐渐为许多数学家所接受。实数理论奠定在集合论的基础上，而且各种复杂的数学概念都可以用“集合”概念定义出来，而各种数学理论又都可以“嵌入”集合论之内。因此，集合论就成了全部数学的基础，而且有力地促进了各个数学分支的发展。现代数学几乎所有的分支都会用到集合这个概念。 康托尔集， 格奥尔格·康托尔在1883年引入，是位于一条线段上的一些点的集合，具有许多显著和深刻的性质。通过考虑这个集合，康托尔和其他数学家奠定了现代点集拓扑学的基

盘发，可能是很多女生挺烦恼的一件事情。看似简单，实际盘起来很容易变得一团糟。要么盘了很久还没定型，要么很容易就变形。但盘发又是出席各种场合就得当的发型之一，无论可爱、复古、优雅还是俏皮，盘发都可以做到。如何才能盘出一个美丽的盘发发型呢？

（请各位买下的姐妹注意了，所有分解图都可以放大的，为了排版方便和好看，本人将其缩小，如有看不清楚的自己把它放大就行了）

一、如何简单盘发

(1) (2)

(3) (4)

1.抓两侧的头发，往中间缠绕从两耳上方，有点像绑公主头一样，抓一半的发量，一边互相

交叉缠绕，一边用黑色小发夹稍微固定。 2.将发束盘到差不多耳朵的高度将留下的头发也缠绕成为一个发束，与步骤1的发束相互缠绕。 3.将发束盘到差不多耳朵的高度将发束一边扭转，一边盘到差不多耳朵的高度，发尾处不要

固定，自然垂下即可。