复数解几何题

解复数题的“思维策略”

上海市卢湾高级中学 赵杨柳

复数集是实数集的扩充，实数集上的运算律仍适用．单纯的复数加、减、乘、除理解起来并不是太难，但若涉及到复数方程，复数求最值等问题，则需要我们根据不同题型，选择恰当的思维策略来解决．下面列举的几种思维策略，希望在解复数题时对同学们有所帮助． 一、化虚为实的思维策略

利用复数的代数形式将复数问题转化为实数问题是一种最常见的解题策略． 例１ 求同时满足下列两个条件的所有复数z：

10（1）1?z??6；

z（2）z的实部和虚部都是整数. 解 设z?a?bi（a,b?R)

101010(a?bi)则1?z??6?1?a?bi??6?1?a?bi?2?6

za?bia?b210b?22b?0?b??0a?b?10?22????a?b??or?10a?10a10a1?a??61?a??6?1?a???2222?6a?b?a?b?? a2?b2?b?0??a2?b2?10???or?;由a,b?Z101?a??6?1?2a?6?a??a?1?a?3,?得出；无解或? 即z?1?3i,z?3?i b??3b??1??点评：本题将Z设为a?bi(a,b?R)，虚化实，因为只有实数才能比较大小，可得

复数的几何意义教案

3.1.3 复数的几何意义

1．复数的几何意义

(1)复平面的定义

建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面 ，x轴叫做实轴 ，y轴叫做 虚轴 ．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．

(2)复数与点、向量间的对应

①复数z＝a＋bi(a，b∈R)

复平面内的点 Z(a，b) ；

→

平面向量____OZ＝(a，b)_____． ②复数z＝a＋bi(a，b∈R)

2．复数的模

→→

22复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为OZ，则OZ的模叫做复数z的模，记作|z|，且|z|＝_a＋b_____.

3．共轭复数

当两个复数实部 相等 ，虚部互为相反数 时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数用z表示，即z＝a＋bi，那么z＝a－bi ，当复数z＝a＋bi的虚部b＝0时，有__ z＝z__，也就是说，任一实数的共轭复数仍是 它本身 .

小结 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．

问题2 怎样定义复数z的模？它有什么意义？

→

答 复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模就是向量

新课导入实数的几何意义？在几何 上，我们用 什么来表示 实数?

实数可以用数轴 上的点来表示.

实数 一一对应 数轴上的点 (数 ) (形 )

类比实数的几何意义，复数的几何意义是什么呢？

回 忆

… 复数的 一般形 式？

Z=a+bi(a, b∈R)实部 虚部

一个复数 由什么确 定？

3.1.2y b y

z=a+bi Z(a,b)b

z=a+bi Z(a,b)

o

a

x

o

a

x

教学重难点重点 对复数几何意义的理解以及复数的向 量表示.

难点 由于理解复数是一对有序实数不习惯，对 于复数几何意义理解有一定困难.

对于复数向量表示的掌握有一定困难.

探究

复数的实质是什么？

任何一个复数z=a+bi,都可以由一个 有序实数对(a,b)唯一确定.由于有序实数 对(a,b)与平面直角坐标系中的点一一对 应，因此复数集与平面直角坐标系中的 点集之间可以建立一一对应.

可用下图表示出他们彼此的关系. 有序实数对(a,b)

复数z=a+bi

一一对应

直角坐标系中的点Z(a,b)

那么现在复数z=a+bi可以在平面直 角坐标系中表示出来，如图所示： y

z=a+bib

Z(a,b)

建立了平面直角 坐标系来表示复数的 平面 ------复数平面 (简称复平面)x

o

a

x轴------实轴 y轴----

351484271.doc

巧添辅助线 解证几何题

[引出问题] 在几何证明或计算问题中，经常需要添加必要的辅助线，它的目的可以归

纳为以下三点：一是通过添加辅助线，使图形的性质由隐蔽得以显现，从而利用有关性质去解题；二是通过添加辅助线，使分散的条件得以集中，从而利用它们的相互关系解题；三是把新问题转化为已经解决过的旧问题加以解决。值得注意的是辅助线的添加目的与已知条件和所求结论有关。

一、倍角问题

1∠α问题通称为倍角问题。倍角问题分两种情形： 211、∠α与∠β在两个三角形中，常作∠α的平分线，得∠1=∠α，然后证明∠1=∠β；或把

2 研究∠α＝2∠β或∠β=

∠β翻折，得∠2=2∠β，然后证明∠2=∠α（如图一）

2、 ∠α与∠β在同一个三角形中，这样的三角形常称为倍角三角形。倍角三角形问题常用构

造等腰三角形的方法添加辅助线（如图二）

α 12图一 β β 图二 α

[例题解析]

例1：如图1，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D。

求证：∠DBC=

A D B C 1∠BAC. 2分析：∠DBC、∠BAC所在的两个三角形有公共角∠C，可利用

三角形内角和来沟通∠DBC、∠BAC和∠C的关系。 证

第27讲 三角法与向量法解平面几何题

相关知识

在?ABC中,R为外接圆半径,r为内切圆半径,p?1,正弦定理:

a?b?c,则 2abc???2R, sinAsinBsinC2,余弦定理:a2?b2?c2?2bccosA,b2?a2?c2?2accosB,c2?a2?b2?2abcosC. 3,射影定理:a?bcosC?ccosB,b?acosC?ccosA,c?acosB?bcosA. 4,面积:S?11abcaha?absinC??rp?2R2sinAsinBsinC 224R = rR(sinA?sinB?sinC)= ?p(p?a)(p?b)(p?c) coCt.

)122(acotA?b2coBt?c4A类例题 例1．在ΔABC中，已知b=asinC ,c=asin(90-B)，试判断ΔABC的形状。 分析 条件中有边、角关系, 应利用正、余弦定理, 把条件统一转化为边或者是角的关系, 从而判定三角形的形状。

0

a2?c2?b2a2?c2?b2?解 由条件c = asin(90 - B) = acosB = a

2ac2c0

2222 ?a?c?b?2c ?a?c?b?A是直角

222ac??c?

1.[2012·全国卷] 如图1－1，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC＝22，PA＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC.

(1)证明：PC⊥平面BED； (2)设二面角A－PB－C为90°

解 ：(1)因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC， 又PA⊥底面ABCD，所以PC⊥BD.

设AC∩BD＝F，连结EF.因为AC＝2，

3

PA＝2，PE＝2EC，故PC＝23，EC＝，FC2，

3

PCAC

从而6＝6.

FCECPCAC

因为＝，∠FCE＝∠PCA，

FCEC

所以△FCE∽△PCA，∠FEC＝∠PAC＝90°， 由此知PC⊥EF.

PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，所以PC⊥平面BED. (2)在平面PAB内过点A作AG⊥PB，G为垂足． 因为二面角A－PB－C为90°，所以平面PAB⊥平面PBC. 又平面PAB∩平面PBC＝PB， 故AG⊥平面PBC，AG⊥BC.

BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直，故BC⊥平面PAB，于是BC⊥AB，所以底面ABCD为正方形，AD＝2，PDPA＋AD＝2.

设D到平面PBC的距离为d.因为AD∥BC，且AD 平面PBC，BC

考场精彩（9）

(9) 专题精解“立体几何”题

1.（2007年湖北卷第4题）平面α外有两条直线m和n，如果m和n在平面α内的射影分别是m＇和n＇，给出下列四个命题：

①m＇⊥n＇?m⊥n; ②m⊥n? m＇⊥n＇

③m＇与n＇相交?m与n相交或重合； ④m＇与n＇平行?m与n平行或重合. 其中不正确的命题个数是 ．．．A.1 B.2 C.3 D.4

【解析】D 以教室空间为长方体模型，m＇,n＇作地面墙根线，m,n在墙壁上选择，易知

m＇⊥n＇是m⊥n的不必要不充分条件.故①②为假命题.m＇,n＇相交或平行，m,n可以异面；故③④也是假命题.

【说明】 抽象的线线（面）关系具体化.就是寻找空间模型，长方体教室是“不需成本”的立几模型.必要时，考生还可用手中的直尺和三角板作“图形组合”.

2.（2007年北京卷第3题）平面α∥平面β的一个充分条件是

A. 存在一条直线a,a∥α,a∥β B. 存在一条直线a,a??，a∥β

C. 存在两条平行直线a,b,a??，b??,a∥β,b∥α

关于立体几何解答题一题多解与多题一解的探索 ──从2011年高考数学谈起

贵州省遵义市习水县第一中学 袁嗣林

摘 要:纵观近年高考数学试题，可以看出，立体几何解答题是历年高考的必考题型。分值一般12分，难度属容易或中档题。学生得分率较高，但失分率也高。本文就2011年高考数学真题为例，对立体几何解答题作一些归类。关于立体几何解答题可以归类为一题多解与多题一解，即一类题有多种解法，多种题型可以用一种解法完成。

关键词：一题多解；多题一解；立体几何

一、一题多解

例1 （安徽理17）如图，直，点

在线段

上，

为多面体，平面△OAB，,△

，△

与平面，△

垂都是

正三角形。

（Ⅰ）证明直线

∥

；

（II）求棱锥F—OBED的体积。

分析：本题考查空间直线与直线，直线与平面、平面与平面的位置关系，空间直线平行的证明，多面体体积的计算等基本知识，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力.通常解法是传统法和向量法。

（I）解法一（传统法）： 证明：设G是线段DA与EB延长线的交点. 由于△OAB与△ODE都是正三角形，所以

∥，OG=OD=2，

同理，设

又由于G和

是线段DA与线段FC延长线的交点，有

都在线段DA的延长线上，所以G与重合.

在△GED和△GFD中，由∥和OC∥，可知B和

“设而不求”巧解立体几何题

广州市75中学 卢云凌

对于某些立几题，巳知量很少，在解题过程中要设很多的未知量，如果将这些未知量一一求出是不明智的。通常采用“设而不求”的方法，则往往会起到事半功倍之效果。请看下面几例：

例1 半圆O的直径为直角梯形垂直于两底的腰，且切于AB、BC、CD分别于A、E、D点，将其图形绕AD所在直线旋转一周，得到一个球与一个圆台，若球的表面积与圆台的侧面积的比为3：4，求球的体积与圆台的体积之比。

解： 如左图所示，设球的半径为R，则圆台的高为2R，设圆台上、下底半径为意得

、，母线为依题

。

评注：设圆台的上下底面半径为高为，母线为，以及内切球半径R，借助于轴截面将它们集中在一个平面，运用平面几何知识把圆

台的体积用R表示，是解决此题的基本思想。像这样一类求比值的问题，可用“设而不求”的方法。

例2 巳知A、B、C、D四点共面且AB∥平面，CD∥平面，AC=E，AD=F, BD

=H, BC =G,若AB=CD=a试求四边形EFHG的周长。

解： ∵AB∥α，面ABC∩α=EG，∴AB∥EG。同理AB∥FH，∴EG∥FH。同理可证EF∥GH，∴四边形EFHG是平行四边形。

设在中，∥即，

。在，∥，即

， 的周长为。

附录I 截面的几何性质 习题选解

习 题

[I-1] 试求图示各截面的阴影线面积对x轴的静积。 [I-1(a)]

解：Sx?A?yc?(40?20)?(20?10)?24000?2.4?104(mm3) [I-1(b)]

解：Sx?A?yc?(20?65)?6542?42250?4.225?10(mm3)

[I-1(c)]

解：Sx?A?yc?(100?20)?(150?10)?280000?2.8?105(mm3)作者：嘉应学院土木工程系力学与结构教研室 梁昌俊

1

附录I 截面的几何性质 习题选解

[I-1(d)]

解：Sx?A?yc?(100?40)?(150?20)?520000?5.2?105(mm3) [I-3(c)] 试确定图示图形的形心位置。

解：查教材第370页附录III 槽钢表得，20号槽钢的几何参数如下：

A1?32.837cm2，xC1??1.95cm，yC1?10cm。

查教材第359页附录III 等边角钢表得，∟80?10等边角钢的几何参数如下：

A2?15.126cm2，xC2?2.35cm，yC2?2.35cm。

由20号槽钢和∟80?10等边角钢组成的组合截面的形心为：

xC?xC1A1?xC2A2A1?