实变函数第一章题库及答案

复变函数第一章学习指导

一 知识结构

复数的定义???有序实数对???代数式???复数的五种表示?三角式???指数式 1. 复数?????向量??复数的模、辐角、共轭复数?棣莫夫公式??复数的n次方根???平面点集??预备知识?区域??曲线????2. 复变函数数?复变函数的概念及其集合意义

?复变函数的极限与连续概念与性质?????

二 学习要求

⒈了解复数定义及其几何意义； ⒉熟练掌握复数的运算； ⒊知道无穷远点邻域；

⒋了解单连通区域与复连通区域； ⒌理解复变函数；

⒍理解复变函数的极限与连续。 三 内容提要

复数是用有序数对(x,y)定义的，其中x,y为实数。要注意，因为复数是“有

序数对”，所以一般地讲，(x,y)?(y,x)。

正如所有实数构成的集合用R表示，所有复数构成的集合用C表示，即

C?{z?(a,b):a,b?R}

复数的四则运算定义为

(a,b)?(c,d)?(a?c,b?d) (a,b)?(c,d)?(a?c,b?d) (a,b)?(c,d)?(ac?bd,bc?ad)

1

ac?bdbc?ad,2),c2?d2?0 222c?dc?d

第一章 函数

一、填空

1、设f?t??t??x?，则f?1??f?0?? 。

2、设f?x????xx?1?1x?1 ，则f?sinx??f?1?ex?= 。 3、y?x2?4?arcsin2x?17的定义域为 。 4、f?x??2f??1??x???2x ，则f?x?= 。 ?5、f?x???x?1x?0? ，则f?f?x??? 。

?xx?06、已知

f?x??sinx,f???x???1?x2，则??x?= 。

7、设函数f?x?满足关系式：f?1?x??2f?1?x??3ex，则函数f?x?= 。8、已知f???x???1?cosx,??x??sinx2，则f?x?= 。 ??3?x?09、已知f?x???3x?1?3x0?x?1，则其反函数f?1?x?= 。 ??x2?21?x?310、函数y?lgcos3arcsinx由 复合而成。

二、选择

1、函数f?x??3x，则f?x?y?

实变函数试题库及参考答案 本科

一、题

1．设A,B为集合，则?A\\B??B?A?B（用描述集合间关系的符号填写） 2．设A是B的子集，则A?B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E中聚点都属于E，则称E是闭集 4．有限个开集的交是开集

5．设E1、E2是可测集，则m?E1?E2??mE1?mE2（用描述集合间关系的符号填写） 6．设E??是可数集，则mE=0

17．设f?x?是定义在可测集E上的实函数，如果?a??，E??xf?x??a??是可测集，则称f?x?在E上可测

n*8．可测函数列的上极限也是可测函数

9．设fn?x??f?x?，gn?x??g?x?，则fn?x??gn?x??f?x??g?x? 10．设f?x?在E上L可积，则f?x?在E上可积

11．设A,B为集合，则?B\\A??A?A（用描述集合间关系的符号填写） 12．设A?2k?1k?1,2,?，则A=a（其中a表示自然数集N的基数） 13．设E??，如果E中没有不属于E，则称E是闭集 14．任意个开集的并是开集

15．设E1、E2是可测集，且E1?E2，则mE1?mE2 16．设E中只有孤立点，则mE=0

117．设f?x?是定义在可测集E上的实函数，如

第一章 教育与教育学

一、选择题

1．“以僧为师”，“以吏为师”是古代什么时期的教育特征？ ( ) A．中国 B．埃及 C．希腊 D．罗马

2．以培养有文化修养和多种才能的政治家和商人为教育目的的是古代 ( ) A．斯巴达 B．埃及 C．希腊 D．雅典

3．以培养忠于统治阶级的强悍的军人为教育目的是古代 ( ) A．希腊 B．埃及 C．斯巴达 D．雅典

4．以注重身心的和谐发展，教育内容比较丰富，教育方法比较灵活为特征的 是古代 ( ) A．希腊 B．埃及 C．斯巴达 D．雅典

5．以强调军事体育训练和政治道德灌输，教育内容单一，教育方法比较严厉为特征 是古代 ( ) A．希腊 B．埃及 C．斯巴达 D．雅典

6．初等义务教育普遍实施于 ( )

A．古代 B．文艺复兴后的欧洲 C．近代 D．现代 7．以“教育的终身化”为教育特征的是 ( )

A．古代 B．文艺复兴后的欧洲 C．近代 D．现代 8．以“教育的民主化”为教育特征的是 ( )

A．古代 B．文艺复兴后的欧洲 C．近代 D．现代 9．以“教育的多元化”是为教育特征的是 ( ) A．古代 B．文艺复兴后的欧洲 C．近代 D．现代 10．反映孔子教育思想的文献是 ( )

A．《学记》 B

热力学第一定律

22. 某双原子理想气体1mol从始态350K，200Kpa经过如下四个不同的过程到达各自的平衡态。求各过程的功： （1）恒温可逆膨胀至50Kpa；

（2）恒温反抗50 Kpa恒外压膨胀50Kpa； （3）绝热可逆膨胀至50Kpa；

（4）绝热反抗50Kpa恒外压膨胀到50Kpa。 解：（1） W=-?V1V2PdV???V2V1RT/VdV=RTlnV1/V2=RTlnP2/P1

W=8.314*350ln(50/200)=-4.034KJ

(2) W=-P2*（V2-V1）=-P2*(RT/P2-RT/P1)=P2/P1*RT-RT

=-3/4RT=-3/4*8.314*350=-2.183KJ (3) γ=Cpm/Cvm=7/2R/5/2R=1.4

绝热过程方程：（T2/T1）*(P2/P1)(1-γ)/γ=1 T2/350=(200/50)-0.4/1.4

T2=350*(1/4)0.4/1.4=235.5K

W=△U=Cvm*(T2-T1)=5/2*R*(235.5-350)=-2.38KJ

习题1.1

1、写出下列随机试验的样本空间.

（1）生产产品直到有4件正品为正，记录生产产品的总件数. （2）在单位园中任取一点记录其坐标. （3）同时掷三颗骰子，记录出现的点数之和. 解：（1）??{4,5,6,7,8?} （2）??{(x.y)x2?y2?1} （3）??{3,4,5,6,7,8,9,10,?,18}

2、同时掷两颗骰子，x、y分别表示第一、二两颗骰子出现的点数，设事

C表示件A表示“两颗骰子出现点数之和为奇数”，B表示“点数之差为零”，“点

数之积不超过20”，用样本的集合表示事件B?A，BC，B?C.

解：B?A?{(1.1),(2.2),(3.3),(4.4),(5.5),(6.6)}

BC?{(1.1),(2.2),(3.3),(4.4)}

B?C?{(1.1),(2.2),(3.3),(4.4),(5.5),(6.6),(4.6),(6.4),(5.6),(6.5)}

3、设某人向靶子射击3次，用Ai表示“第i次射击击中靶子”（i?1,2,3），试用语言描述下列事件.

（1）A1?A2 （2）(A1?A2)A3 （3）A1A2?A2A2 解：（1）第1，2次都没有中靶

（2）第三次中靶且第1

第一章 静力学公理和物体的受力分析

思考题解答

1-2

1-3

1

1-4 刚体上A点受力F作用，如图1-24所示，问能否在B点加一个力使刚体平衡?为什么?

答：不能。

2

1-5 如图l-25所示结构，若力F作用在B点，系统能否平衡?若力F仍作用在B点，但可任意改变力F的方向，F在什么方向上结构能平衡?

答：若力F作用在B点，系统不能平衡；

F 在指向A方向上结构能平衡。

1-6 将如下问题抽象为力学模型，充分发挥你们的想象、分析和抽象能力，试画出它们的力学简图及受力图。

(1)用两根细绳将日光灯吊挂在天花板上； (2)水面上的一块浮冰；

(3)一本打开的书静止于桌面上；

(4)一个人坐在一只足球上。 答： （1） （2） （3） （4）

3

1-7 图1-26中力F作用于三铰拱的铰链C处的销钉上，所有物体重量不计。 (1)试分别画出左、右两拱及销钉C的受力图；

(2)若销钉C属于AC，分别画出左、右两拱的受力图； (3)若销钉C属于BC，分别画出左、右两拱的受力图。

4

习题

b

g i k

5

c

h

j

第一章 函数·极限·连续

知识点：

?义域?函数的定义和函数的定??函数的简单性质???函数??基本初等函数??复合函数与初等函数?????简单的经济函数模型???定义?数列极限与函数极限的???函数的左、右极限????极限?无穷大量和无穷小量??极限的四则运算法则?????两个重要极限????函数连续的定义??间??函数的间断点与连续区?连续?初等函数的连续性????质 ?闭区间上连续函数的性??教学目的要求：

（1）理解函数的概念，会求函数的定义域及函数值；理解并掌握函数的简单性质；熟练掌握基本初等函数的表达式、定义域、图形和特性；理解复合函数的概念，会正确分析复合函数的复合过程；理解初等函数的概念；能建立简单实际问题的函数关系式。

（2）理解数列和函数极限的描述性定义；理解函数左、右极限的定义，理解函数极限存在的充分必要条件；理解无穷小量和无穷大量的概念及相互关系，理解与掌握无穷小量的性质，了解无穷小量的比较；熟练掌握极限四则运算法则和两个重要极限，会求极限。

（3）理解函数连续与间断的概念，掌握判断函数连续性的方法；理解函数连续和极限存在之间的关系；会求函数的间断点与连续区间；理解初等函数的连续性，并能利用函数连续性求极限；

考

试卷三（参考答案及评分标准）

生一、一 单项选择题（3分×5=15分）

答11、设An?[,2?(?1)n],n?1,2,?，则（ B ）

n(A) limAn?[0,1] （B）limAn?(0,1]

n??n??(C) limAn?(0,3] （D）limAn?(0,3)

n??n??题2、设E是?0,1?上有理点全体，则下列各式不成立的是（ D ） （A）E?[0,1] (B) E?? (C) E=[0，1] (D) mE?1

'o不3、下列说法不正确的是（ C ）

(A) 若A?B，则m*A?m*B （B） 有限个或可数个零测度集之和集仍 为零测度集 (C) 可测集的任何子集都可测 （D）凡开集、闭集皆可测 4、设{En}是一列可测集，E1?E2???En??，且mE1???，则有（ A ）

得??????（A）m??En??limmEn (B) m??En??limmEn

?n?1?n???n?1?n????? （C）m??En??limmEn;（D）以上都不对

?n?1?n??超5、设f(x)是[a,b]上绝对连续函数，则下面不成立的是（ B

（数学1必修）第一章（中） 函数及其表示

[基础训练A组] 一、选择题

1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）

⑴y1?⑵y1?(x?3)(x?5)x?3x?1，y2?x?5；

(x?1)(x?1)；

x?1，y2?2x；

⑶f(x)?x，g(x)?⑷f(x)?3x4?x3，F(x)?x3x?1； ⑸f1(x)?(2x?5)2，f2(x)?2x?5。 A．⑴、⑵ B．⑵、⑶ C．⑷ D．⑶、⑸

2．函数y?f(x)的图象与直线x?1的公共点数目是（ ） A．1 B．0 C．0或1 D．1或2

3．已知集合A??1,2,3,k?,B??4,7,a4,a2?3a?，且a?N*,x?A,y?B

使B中元素y?3x?1和A中的元素x对应，则a,k的值分别为（ ） A．2,3 B．3,4 C．3,5 D．2,5

?x?2(x??1)?4．已知f(x)??x2(?1?x?2)，若f(x)?3，则x的值是（ ）

?2x(x?2)?A．1 B．1或

32 C．1，

32或?3 D．3

5．为了得到函数y?f(?2x)的图象，可以把函数y?f(1?2x)的图象适当平