离散数学数理逻辑思维导图

第一篇 数理逻辑

数理逻辑是应用数学方法引进一套符号系统来研究思维的形式结构和规律的学科，它起源于公元十七世纪。十九世纪英国的德·摩根和乔治·布尔发展了逻辑代数，二十世纪三十年代数理逻辑进入了成熟时期，基本内容（命题逻辑和谓词逻辑）有了明确的理论基础，成为数学的一个重要分支，同时也是电子元件设计和性质分析的工具。冯·诺意曼，图灵，克林，? 等人研究了逻辑与计算的关系。基于理论研究和实践，随着1946年第一台通用电子数字计算机的诞生和近代科学的发展，计算技术中提出了大量的逻辑问题，逻辑程序设计语言的研制，更促进了数理逻辑的发展。除古典二值（真，假）逻辑外，还研究了多值逻辑、模态逻辑、概率逻辑、模糊逻辑、非单调逻辑等。不仅有演绎逻辑，也还有归纳逻辑。计算机科学中还专门研究计算逻辑、程序逻辑、时序逻辑等。现代数理逻辑分为四论：证明论，递归论（它们与形式语言语法有关），模型论，公理化集合论（它们与形式语言的语义有关）。

第1-1章 命题逻辑

学习要求: 掌握命题，命题公式，重言式，等价式，蕴涵式等基本概念，能利用逻辑联结词或真值表，等价式与蕴涵式进行命题演算和推理；学习范式时与集合的范式进行对比。

表述客观世界的各种现象，表述人们的思想，表

第一篇 数理逻辑

数理逻辑是应用数学方法引进一套符号系统来研究思维的形式结构和规律的学科，它起源于公元十七世纪。十九世纪英国的德·摩根和乔治·布尔发展了逻辑代数，二十世纪三十年代数理逻辑进入了成熟时期，基本内容（命题逻辑和谓词逻辑）有了明确的理论基础，成为数学的一个重要分支，同时也是电子元件设计和性质分析的工具。冯·诺意曼，图灵，克林，? 等人研究了逻辑与计算的关系。基于理论研究和实践，随着1946年第一台通用电子数字计算机的诞生和近代科学的发展，计算技术中提出了大量的逻辑问题，逻辑程序设计语言的研制，更促进了数理逻辑的发展。除古典二值（真，假）逻辑外，还研究了多值逻辑、模态逻辑、概率逻辑、模糊逻辑、非单调逻辑等。不仅有演绎逻辑，也还有归纳逻辑。计算机科学中还专门研究计算逻辑、程序逻辑、时序逻辑等。现代数理逻辑分为四论：证明论，递归论（它们与形式语言语法有关），模型论，公理化集合论（它们与形式语言的语义有关）。

第1-1章 命题逻辑

学习要求: 掌握命题，命题公式，重言式，等价式，蕴涵式等基本概念，能利用逻辑联结词或真值表，等价式与蕴涵式进行命题演算和推理；学习范式时与集合的范式进行对比。

表述客观世界的各种现象，表述人们的思想，表

第一篇 数理逻辑

数理逻辑是应用数学方法引进一套符号系统来研究思维的形式结构和规律的学科，它起源于公元十七世纪。十九世纪英国的德·摩根和乔治·布尔发展了逻辑代数，二十世纪三十年代数理逻辑进入了成熟时期，基本内容（命题逻辑和谓词逻辑）有了明确的理论基础，成为数学的一个重要分支，同时也是电子元件设计和性质分析的工具。冯·诺意曼，图灵，克林，? 等人研究了逻辑与计算的关系。基于理论研究和实践，随着1946年第一台通用电子数字计算机的诞生和近代科学的发展，计算技术中提出了大量的逻辑问题，逻辑程序设计语言的研制，更促进了数理逻辑的发展。除古典二值（真，假）逻辑外，还研究了多值逻辑、模态逻辑、概率逻辑、模糊逻辑、非单调逻辑等。不仅有演绎逻辑，也还有归纳逻辑。计算机科学中还专门研究计算逻辑、程序逻辑、时序逻辑等。现代数理逻辑分为四论：证明论，递归论（它们与形式语言语法有关），模型论，公理化集合论（它们与形式语言的语义有关）。

第1-1章 命题逻辑

学习要求: 掌握命题，命题公式，重言式，等价式，蕴涵式等基本概念，能利用逻辑联结词或真值表，等价式与蕴涵式进行命题演算和推理；学习范式时与集合的范式进行对比。

表述客观世界的各种现象，表述人们的思想，表

《数理逻辑》课程作业参考答案

周晓聪(isszxc@89d6bc01b52acfc789ebc917)

中山大学计算机科学系,广州510275

2010年1月11日

第一章命题逻辑的基本概念

作业1.1判断下列语句是否是命题，并对命题确定其真值：

(1)火星上有生命存在.

(2)12是质数。

(3)香山比华山高。

(4)x+y=2。

(5)这盆茉莉花真香！

(6)结果对吗？

(7)这句话是错的。

(8)假如明天是星期天，那么学校放假。

解答：

(1)“火星上有生命存在”是命题，但现在不能确定其真值；

(2)“12是质数”是命题，其真值为假；

(3)“香山比华山高”是命题，其真值为假；

(4)“x+y=2”不是命题，因为含有公认是变量的东西，从而不具有确定的真值；

(5)“这盆茉莉花真香！”是感叹句，因而不是命题；

(6)“结果对吗？”是疑问句，因而不是命题；

(7)“这句话是错的”是语义悖论，因而不是命题；

(8)“假如明天是星期天，那么学校放假”是命题，其真值为真。

点评：实际上，确定一个具体命题的真值不是数理逻辑研究的内容，但是不能说一个命题没有真值。

作业1.2令p表示今天很冷，q表示正在下雪，将下列命题符号化：

(1)如果正在下雪，那么今天很冷。

(2)今天很冷当且仅当正在下雪。

(3)

作业答案：数理逻辑部分

P14：习题一

1、下列句子中，哪些是命题？在是命题的句子中，哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？ （3）5是无理数。 答：简单命题，真命题。 （9）吸烟请到吸烟室去！ 答：不是命题。

（12）8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。 答：复合命题，假命题。

14、讲下列命题符号化。 （6）王强与刘威都学过法语。

答：p:王强学过法语；q:刘威学过法语。

符号化为：p?q

（10）除非天下大雨，他就乘班车上班。 答：p:天下大雨；q:他乘班车上班。

符号化为：p?q

（13）“2或4是素数，这是不对的”是不对的。 答：p:2是素数；q:4是素数。

15、设p:2+3=5.

q:大熊猫产在中国。 r:太阳从西方升起。 符号化为：?(?(p?q))

求下列复合命题的真值。 （2）(r?(p?q))??p

（4）(p?q??r)?((?p??q)?r) 解答： p真值为1；q真值为1；r真值为0.

（2）p?q真值为1；r?(p?q)真值为1；?p真值为0；

所以(r?(p?q))??p真值为0.

（4）p?q??r真值为1，?p??q真值为0，(?p??q)?r真值为1；

所以(

逻辑思维

逻辑思维的重要性

人类的活动离不开思维，思维能力的发展程度是整个智力发展的缩影和标志。由于数学自身的特点，数学教育承载着“发展儿童的思维”的重任，现代教育观点认为，数学教学就是指数学思维活动的教学，数学教学实质上就是学生在教师指导下，通过数学思维活动，学习数学家思维活动的成果，并发展数学思维，使学生的数学思维结构向数学家的思维结构转化的过程。

逻辑思维对学习的影响

《小学数学教学大纲》中明确规定，要“使学生具有初步的逻辑思维能力。”这一条规定是很正确的。下面试从两方面进行一些分析。首先从数学的特点看。数学本身是由许多判断组成的确定的体系，这些判断是用数学术语和逻辑术语以及相应的符号所表示的数学语句来表达的。并且借助逻辑推理由一些判断形成一些新的判断。而这些判断的总和就组成了数学这门科学。小学数学虽然内容简单，没有严格的推理论证，但却离不开判断推理，这就为培养学生的逻辑思维能力提供了十分有利的条件。再从小学生的思维特点来看。他们正处在从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段。这里所说的抽象逻辑思维，主要是指形式逻辑思维。因此可以说，在小学特别是中、高年级，正是发展学生抽象逻辑思维的有

利时期。由此可以看出，《小学数学教学大纲》中把培养初步

逻辑思维

逻辑思维的重要性

人类的活动离不开思维，思维能力的发展程度是整个智力发展的缩影和标志。由于数学自身的特点，数学教育承载着“发展儿童的思维”的重任，现代教育观点认为，数学教学就是指数学思维活动的教学，数学教学实质上就是学生在教师指导下，通过数学思维活动，学习数学家思维活动的成果，并发展数学思维，使学生的数学思维结构向数学家的思维结构转化的过程。

逻辑思维对学习的影响

《小学数学教学大纲》中明确规定，要“使学生具有初步的逻辑思维能力。”这一条规定是很正确的。下面试从两方面进行一些分析。首先从数学的特点看。数学本身是由许多判断组成的确定的体系，这些判断是用数学术语和逻辑术语以及相应的符号所表示的数学语句来表达的。并且借助逻辑推理由一些判断形成一些新的判断。而这些判断的总和就组成了数学这门科学。小学数学虽然内容简单，没有严格的推理论证，但却离不开判断推理，这就为培养学生的逻辑思维能力提供了十分有利的条件。再从小学生的思维特点来看。他们正处在从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段。这里所说的抽象逻辑思维，主要是指形式逻辑思维。因此可以说，在小学特别是中、高年级，正是发展学生抽象逻辑思维的有

利时期。由此可以看出，《小学数学教学大纲》中把培养初步

《数理逻辑》教案

许道云

(2011.8)

教 材：《面向计算机科学的数理逻辑》(第二版)

(陆钟万著)

出版社：科学出版社

版 本：2006年6月第8次印刷

绪言（课程介绍）

什么是逻辑？命题（判断）对象、以及对象间的（推理）关系。 数理逻辑：用数学的方法研究逻辑。

数理逻辑研究分支：模型论、集合论、递归论、证明论。 数理逻辑研究什么？

逻辑推理：当前提为真时，保证结论为真。

逻辑研究这样的可推理关系。即，前提和结论之间的推理关系是否正确。演绎推理---演绎逻辑。

它不同于归纳逻辑。归纳逻辑是从前提出发，使用归纳推理，得到的结论与自身协调，或与前提协调。

数理逻辑属于演绎逻辑范围。只研究推理及可推理关系，不关心前提与结论中各个命题的真假。

例1. 前提：所有大于2不被自身整除的自然数为素数。 7不被自身整除。 结论：7不是素数。 例2. 前提：所有中学生打网球。 王君不打网球。 结论：王君不是中学生。

命题有内容和形式：内容决定命题的真或假。决定前提和结论之间的可推导关系，是命题逻辑形式。如：

前提：集合S中的所有元素具有R性质。 a不具有R性质。

结论

数理逻辑部分

一、 填空题

1、将几个命题联结起来，形成一个复合命题的逻辑联结词主要有 、 、 、 和 。 2、命题公式G=（P?Q）?R，则G共有 个不同的解释；把G在其所有解释下所

取真值列成一个表，称为G的 ；解释（?P，Q，?R）或（0，1，0）使G的真值为 。 3、 已知命题公式G?(?P?Q)?R，则G的主析取范式是 。

4、 求公式?(P?Q)?(P?Q)的析取范式

合取范式是 。

5、 设命题公式G?P??(Q?R)，则使公式G为假的解释是 、 和

《数理逻辑》教案

许道云

(2011.8)

教 材：《面向计算机科学的数理逻辑》(第二版)

(陆钟万著)

出版社：科学出版社

版 本：2006年6月第8次印刷

绪言（课程介绍）

什么是逻辑？命题（判断）对象、以及对象间的（推理）关系。 数理逻辑：用数学的方法研究逻辑。

数理逻辑研究分支：模型论、集合论、递归论、证明论。 数理逻辑研究什么？

逻辑推理：当前提为真时，保证结论为真。

逻辑研究这样的可推理关系。即，前提和结论之间的推理关系是否正确。演绎推理---演绎逻辑。

它不同于归纳逻辑。归纳逻辑是从前提出发，使用归纳推理，得到的结论与自身协调，或与前提协调。

数理逻辑属于演绎逻辑范围。只研究推理及可推理关系，不关心前提与结论中各个命题的真假。

例1. 前提：所有大于2不被自身整除的自然数为素数。 7不被自身整除。 结论：7不是素数。 例2. 前提：所有中学生打网球。 王君不打网球。 结论：王君不是中学生。

命题有内容和形式：内容决定命题的真或假。决定前提和结论之间的可推导关系，是命题逻辑形式。如：

前提：集合S中的所有元素具有R性质。 a不具有R性质。

结论