幂函数经典例题及解析

幂函数的概念

例1、下列结论中，正确的是( ) A．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1) B．幂函数的图象可以出现在第四象限

1

C．当幂指数α取1,3，2时，幂函数y＝xα是增函数

D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数

解析 当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不通过原点，故选项A不正确；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα (α∈R)，y>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B不正确；而当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但它在定义域上不是减函数．

答案 C

1

例2、已知幂函数f(x)＝(t3－t＋1)x5(7＋3t－2t2) (t∈Z)是偶函数且在(0，＋∞)上为增函数，求实数t的值．

p

分析 关于幂函数y＝xα (α∈R，α≠0)的奇偶性问题，设q (|p|、|q|互质)，

pp

当q为偶数时，p必为奇数，y＝xq是非奇非偶函数；当q是奇数时，y＝xq的奇偶性与p的值相对应．

解 ∵f(x)是幂函数，∴t3－t＋1＝1， ∴t＝－1,1或0.

7

当t＝0时，f(x)＝x5是奇函数；

2

当t＝－1时，f(x)＝x5是偶函数；

828

当t＝1时，f

1

例、已知幂函数f(x)＝(t－t＋1)x5(7＋3t－2t2) (t∈Z)是偶函数且在(0，＋∞)上为增函数，求实数t的值．

p

分析 关于幂函数y＝xα (α∈R，α≠0)的奇偶性问题，设q (|p|、|q|互质)，

pp

当q为偶数时，p必为奇数，y＝xq是非奇非偶函数；当q是奇数时，y＝xq的奇偶性与p的值相对应．

解 ∵f(x)是幂函数，∴t3－t＋1＝1， ∴t＝－1,1或0.

7

当t＝0时，f(x)＝x5是奇函数；

2

当t＝－1时，f(x)＝x5是偶函数；

828

当t＝1时，f(x)＝x5是偶函数，且5和5都大于0， 在(0，＋∞)上为增函数．

82

故t＝1且f(x)＝x5或t＝－1且f(x)＝x5.

PS: 如果题中有参数出现，一定要注意对参数的分类讨论，尤其对题中的条件t∈Z给予足够的重视．

例、如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则( )

3

A．-11 D．n<－1，m>1

解析 在(0,1)内取同一值x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0

PS:在区间(0,1)上，幂函数的指数越大，图象越靠近x轴；在区间(1，＋∞)上，幂函数的指数越大，图象越远离x轴．

例、已知x>x3，求

幂函数 分数指数幂

正分数指数幂的意义是：（，、，且） 负分数指数幂的意义是：（，、，且） 幂函数的图像与性质 幂函数随着的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握，当的图像和性质，列表如下． 从中可以归纳出以下结论：

它们都过点，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限．

时，幂函数图像过原点且在上是增函数． 时，幂函数图像不过原点且在上是减函数． 任何两个幂函数最多有三个公共点．

奇函数 偶函数

非奇非偶函数

幂函数基本性质

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数 （3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.

规律总结

1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论；

2．对于幂函数y＝，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象

的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即＜0，0＜＜1和＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函

1

幂函数及函数应用（讲义）

? 知识点睛

一、幂函数

1. 定义：一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．

2. 函数图象及图象性质

（1）在同一平面直角坐标系内作出幂函数y =x ，y =x 2，y =x 3

，12

y x =，1y x -=的图象：

（2）图象性质

（3）幂函数图象的画法

第一步：根据单调性判断函数y x α=的图象变化趋势．

①当1α>时，函数y x α=在第一象限内的图象呈快速上升趋势，比如y =x 2； ②当01α<<时，函数y x α=在第一象限内的图象呈缓慢上升趋势，比如

1

2

y x =；

③当0α<时，函数y x α=在第一象限内的图象呈下降趋势，比如1y x -=． 第二步：根据函数的奇偶性判断图象整体分布情况．

2

① 当m n

α=（m ，n ∈N *，且互质）时： 若m ，n 均为奇数，则函数y x α=是奇函数，其图象关于原点对称； 若m 为偶数，n 为奇数，则函数y x α=是偶函数，其图象关于y 轴对称； 若m 为奇数，n 为偶数，则函数y x α=是非奇非偶函数，只在第一象限内有图象．

② 当m n

α=-（m ，n ∈N *，且互质）时： 若m ，n 均为奇数，则函数y x α=是奇函数，其图象关于原点对称； 若m 为偶数，n 为奇数，则函数y x α=是偶函数，其图象关于y 轴对称； 若m 为奇数，n 为偶数，则函数y x α=是非奇非偶函数，只在第一象限内有图象．

3. 幂函数

三人行数理化特训数学教研中心 数学■高中 内部使用 外传必究教学地点：园南村居委会二楼 主讲：陈文飞 电话：13875223389

函数的应用（含幂函数）

[基础训练A组]

一、选择题

1 若y?x,y?(),y?4x,y?x?1,y?(x?1),y?x,y?a(a?1)

212x252x上述函数是幂函数的个数是（ ）

A 0个 B 1个 C 2个 D 3个

2 已知f(x)唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，那么下面命题错误的（ ）

A 函数f(x)在(1,2)或?2,3?内有零点 B 函数f(x)在(3,5)内无零点

C 函数f(x)在(2,5)内有零点 D 函数f(x)在(2,4)内不一定有零点

3 若a?0,b?0,ab?1，log1a?ln2，则logab与log1a的关系是（ ）

22A logab?log B loglog 1aab?1a22C logab?log D loglog 1aab?1a224 求函数f(x)?2x3?3x?1零点的个数为 （ ） A

三人行数理化特训数学教研中心 数学■高中 内部使用 外传必究教学地点：园南村居委会二楼 主讲：陈文飞 电话：13875223389

函数的应用（含幂函数）

[基础训练A组]

一、选择题

1 若y?x,y?(),y?4x,y?x?1,y?(x?1),y?x,y?a(a?1)

212x252x上述函数是幂函数的个数是（ ）

A 0个 B 1个 C 2个 D 3个

2 已知f(x)唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，那么下面命题错误的（ ）

A 函数f(x)在(1,2)或?2,3?内有零点 B 函数f(x)在(3,5)内无零点

C 函数f(x)在(2,5)内有零点 D 函数f(x)在(2,4)内不一定有零点

3 若a?0,b?0,ab?1，log1a?ln2，则logab与log1a的关系是（ ）

22A logab?log B loglog 1aab?1a22C logab?log D loglog 1aab?1a224 求函数f(x)?2x3?3x?1零点的个数为 （ ） A

必修1幂函数、指数函数和对数函数基础训练题

一、选择题

1、若函数y?(a2?3a?3)?ax是指数函数，则有 （ ） A、a?1或a?2 B、a?1 C、a?2 D、a?0且a?1 2、下列所给出的函数中，是幂函数的是 A．y??x3

B．y?x?3

（ ）

D．y?x3?1

C．y?2x3

3、1．指数式bc=a（b>0，b≠1）所对应的对数式是 （ ） A．logca=b B．logcb=a C．logab=c D．logba=c

4、若100?5,10?2，则2a?b= （ ） A、0 B、1 C、2 D、3

235、若xy?0，那么等式4xy??2xyaby成立的条件是 （ ）

A、x?0,y?0 B、x?0,y?

中科教育2010年高中数学秋季讲义

指数函数、对数函数及幂函数

Ⅰ.指数与指数函数

1.指数运算法则：（1）aras?ar?s； （2）?ar??ars； （3）?ab??arbr；

srmn（4）a?a；

nm（5）a?mn?1nama,n奇 （6）nan????|a|,n偶

2. 指数函数：

指数函数 01 图 象 y?ax 表达式 定义域 值 域 过定点 单调性 【基础过关】

类型一：指数运算的计算题

我们关注每一位学生！

R (0,??) (0,1) 单调递减 单调递增 - 1 -

中科教育2010年高中数学秋季讲义

此类习题应牢记指数函数的基本运算法则，注意分数指数幂与根式的互化，在根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数运算较为方便 1、5?26的平方根是______________________

mn2、 已知a?2，a?16，则m的值为??????????????????( )

nA．3 B．4 C．a D．a

36b?(a?b)3、化简

1?a2?2ab?b2b?a的结果是????????????

2.3 幂函数

教学分析

一、 教学目标：

1、掌握幂函数的概念；熟悉α=1,2,3，?，

-1时的1幂函数的图象和性质；能利用幂函数的性质 解决实际问题。

2、通过学生对情境的观察、思考、归纳、总结形成结论，

培养学生的发现问题，解决问题的力。

二、教学重难点：

重点：幂函数的定义，图象与性质。

难点：幂函数的图象与性质。

三、教学准备：

1 教师：将幂函数y?x,y?x,y?x,y?x2,y?x图象提前画

在小黑板上。

23?1四、教学导图:

情境引入 函数的概念幂 课堂练习 画出α=1,2,3，?，-1图象

师生交流归纳出五个具体幂函数的性质

课堂练习 例题分析 课堂小结 课后作业 教学设计

一、 教学过程：

（一）教学内容：幂函数概念的引入。

设计意图：从学生熟悉的背景出

指数函数

1．指数函数的定义：

函数)1

(≠

>

=a

a

a

y x且叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R

2.指数函数的图象和性质：

在同一坐标系中分别作出函数y=x2，y=

x

?

?

?

?

?

2

1

，y=x

10，y=

x

?

?

?

?

?

10

1

的图象. 我们观察y=x2，y=

x

?

?

?

?

?

2

1

，y=x

10，y=

x

?

?

?

?

?

10

1

图象特征，就可以得到)1

(≠

>

=a

a

a

y x且的图象和性质。

a>1 0<a<1

图

象

6

5

4

3

2

1

-1

-4-2246

1

6

5

4

3

2

1

-1

-4-2246

1

性

质

(1)定义域：R

（2）值域：（0，+∞）

（3）过点（0，1），即x=0时，y=1

（4）在 R上是增函数（4）在R上是减函数

指数函数是高中数学中的一个基本初等函数，有关指数函数的图象与性质的题目类型较多，同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨．

1．比较大小

例1已知函数2

()

f x x bx c

=-+满足(1)(1)

f x f x

+=-，且(0)3

f=，则()x

f b与

()x f c 的大小关系是_____．

分析：先求b c ，的值再比较大小，要注意x x b c ，的取值是否在同一单调区间内．

解：∵(1)(1)f