概率论与数理统计魏宗舒答案第六章

第一章 事件与概率

1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。 (1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。

(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。 解 (1)记9个合格品分别为 正1,正2，?，正9，记不合格为次，则

(正2，正4)，?，(正2，正9)，(正2，次)， ??{(正1，正2)，(正1，正3)，?，(正1，正9)，(正1，次)，(正2，正3)，(正3，正4)，?，(正3，正9)，(正3，次)，?，(正8，正9)，(正8，次)，(正9，次)} A?{(正1，次)，(正2，次)，?，(正9，次)}

(2)记2个白球分别为?1，?2，3个黑球分别为b1，b2，b3，4个红球分别为r1，r2，r3，r4。则??{?1，

?2，b1，b2，b3，r1，r2，r3，r4}(ⅰ) A?{?1，?2} (ⅱ) B?{r1，r2，r3，r4}

1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A表示被选学生是男生，事件B表示被选学生是三年级学生，事件C表示该生是运动员。(1) 叙述ABC的意义。(2)在什么条件下ABC?C成立？(3)什么时候关系式C?B是正确

第七章 假设检验

7.1 设总体??N(?,?2)，其中参数?，?2为未知，试指出下面统计假设中哪些是简单假设，哪些是复合假设：

（1）H0:??0,??1； （2）H0:??0,??1； （3）H0:??3,??1； （4）H0:0???3； （5）H0:??0.

解：（1）是简单假设，其余位复合假设

7.2 设?1,?2,?,?25取自正态总体N(?,9)，其中参数?未知，x是子样均值，如对检验问题

H0:???0,H1:???0取检验的拒绝域：

c?{(x1,x2,?,x25):|x??0|?c}，试决定常数c，使检验的显著性水平为0.05

解：因为??N(?,9)，故??N(?,在H0成立的条件下，

9) 25P0(|???0|?c)?P(|???035c|?)53

5c???2?1??()??0.053???(5c5c)?0.975,?1.96，所以c=1.176。 3322)，?07.3 设子样?1,?2,?,?25取自正态总体N(?,?0已知，对假设检验

c?{(x1,x2,?,xn):|??c0}， H0:???0,H1:???，取临界域0（1）求此检验犯第一类错误概

第七章 假设检验

7.1 设总体 N( , 2)，其中参数 ， 2为未知，试指出下面统计假设中哪些是简单假设，哪些是复合假设：

（1）H0: 0, 1； （2）H0: 0, 1； （3）H0: 3, 1； （4）H0:0 3； （5）H0: 0.

解：（1）是简单假设，其余位复合假设

7.2 设 1, 2, , 25取自正态总体N( ,9)，其中参数 未知，是子样均值，如对检验问题

H0: 0,H1: 0

取检验的拒绝域：

c {(x1,x2, ,x25):| 0| c}，试决定常数c，使检验的显著性水平为0.05 解：因为 N( ,9)，故 N( ,在H0成立的条件下，

P0(| 0| c) P(| 0

35c

| )53

5c

2 1 () 0.05

3 9

) 25

(

5c5c

) 0.975, 1.96，所以c=1.176。 33

227.3 设子样 1, 2, , 25取自正态总体N( , 0已知，对假设检验)， 0

H0: 0,H1: ，取临界域c {(x1,x2, ,xn):| c0}， 0

（1）求此检验犯第一类错误概率为 时，犯第二类错误的概率 ，并讨论它

第一章 事件与概率

1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。 (1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。

(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。 解 (1)记9个合格品分别为 正1,正2，?，正9，记不合格为次，则

(正2，正4)，?，(正2，正9)，(正2，次)， ??{(正1，正2)，(正1，正3)，?，(正1，正9)，(正1，次)，(正2，正3)，(正3，正4)，?，(正3，正9)，(正3，次)，?，(正8，正9)，(正8，次)，(正9，次)} A?{(正1，次)，(正2，次)，?，(正9，次)}

(2)记2个白球分别为?1，?2，3个黑球分别为b1，b2，b3，4个红球分别为r1，r2，r3，

r4。则??{?1，?2，b1，b2，b3，r1，r2，r3，r4}

(ⅰ) A?{?1，?2} (ⅱ) B?{r1，r2，r3，r4}

1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A表示被选学生是男生，事件B表示被选学生是三年级学生，事件C表示该生是运动员。

(1) 叙述ABC的意义。(2)在什么条件下ABC?C成立？(3)什么时候关系式C?B是

第六章 样本及抽样分布 总体与个体：

我们将试验的全部可能的观察值称为总体，这些值不一定都不相同，数目上也不一定是有限的，每一个可能观察值称为个体 总体中所包含的个体的个数称为总体的容量 容量为有限的称为有限总体 容量为无限的称为无限总体

设X是具有分布函数F的随机变量，若X1,X2,…,Xn是具有同一分布函数F的、相互独立的随机变量，则称X1,X2,…,Xn为从分布函数F（或总体F、或总体X）得到的容量为n的简单随机样本，简称样本，它们的观察值x1,x2,…,xn称为样本值，又称为X的n个独立的观察值

由定义得：若X1,X2,…,Xn为F的一个样本，则X1,X2,…,Xn相互独立，且它们的分布函数都是F，所以（X1,X2,…,Xn）的分布函数为

F(x1,x2,…,xn)??F(xi)

*i?1n又若X具有概率密度f，则（X1,X2,…,Xn）的概率密度为

f(x1,x2,…,xn)??f(xi).

*i?1n

设X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个样本，g(X1,X2,…,Xn)是X1,X2,…,Xn的函数，若g中不含未知参数，则称g(X1,X2,…,Xn)是一统计量

设X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个样本，x1,x2,^,x

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第一章 事件与概率

1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。 (1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。

(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。

解 (1)记9个合格品分别为 正1,正2， ，正9，记不合格为次，则

(正2，正4)，(正2，正9)，(正2，次)， ， ={(正1，正2)， ，(正1，正3)，(正1，正9)，(正1，次)，(正2，正3)，

(正3，正4)， ，(正3，正9)，(正3，次)， ，(正8，正9)，(正8，次)，(正9，次)}

A={(正1，次)，(正2，次)， ，(正9，次)}

(2)记2个白球分别为ω1，ω2，3个黑球分别为b1，b2，b3，4个红球分别为r1，r2，r3，r4。则 ={ω1，ω2，b1，b2，b3，r1，r2，r3，r4}

(ⅰ) A={ω1，ω2} (ⅱ) B={r1，r2，r3，r4}

1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A表示被选学生是男生，事件B表示被选学生是三年级学生，事件C表示该生是运动员。

(1) 叙述ABC的意义。

(2)在什么条件下ABC=C成立？ (3)什么

第一章 事件与概率

1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。 (1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。

(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。

解 (1)记9个合格品分别为 正1,正2，?，正9，记不合格为次，则

(正2，正4)，?，(正2，正9)，(正2，次)， ??{(正1，正2)，(正1，正3)，?，(正1，正9)，(正1，次)，(正2，正3)，(正3，正4)，?，(正3，正9)，(正3，次)，?，(正8，正9)，(正8，次)，(正9，次)} A?{(正1，次)，(正2，次)，?，(正9，次)}

(2)记2个白球分别为?1，?2，3个黑球分别为b1，b2，b3，4个红球分别为r1，r2，r3，r4。则??{?1，?2，b1，b2，b3，r1，r2，r3，r4}

(ⅰ) A?{?1，?2} (ⅱ) B?{r1，r2，r3，r4}

1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A表示被选学生是男生，事件B表示被选学生是三年级学生，事件C表示该生是运动员。

(1) 叙述ABC的意义。

(2)在什么条件下ABC?C成立？ (3)什么时候关系式C?

第六章 样本及抽样分布 总体与个体：

我们将试验的全部可能的观察值称为总体，这些值不一定都不相同，数目上也不一定是有限的，每一个可能观察值称为个体 总体中所包含的个体的个数称为总体的容量 容量为有限的称为有限总体 容量为无限的称为无限总体

设X是具有分布函数F的随机变量，若X1,X2,…,Xn是具有同一分布函数F的、相互独立的随机变量，则称X1,X2,…,Xn为从分布函数F（或总体F、或总体X）得到的容量为n的简单随机样本，简称样本，它们的观察值x1,x2,…,xn称为样本值，又称为X的n个独立的观察值

由定义得：若X1,X2,…,Xn为F的一个样本，则X1,X2,…,Xn相互独立，且它们的分布函数都是F，所以（X1,X2,…,Xn）的分布函数为

F(x1,x2,…,xn)??F(xi)

*i?1n又若X具有概率密度f，则（X1,X2,…,Xn）的概率密度为

f(x1,x2,…,xn)??f(xi).

*i?1n

设X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个样本，g(X1,X2,…,Xn)是X1,X2,…,Xn的函数，若g中不含未知参数，则称g(X1,X2,…,Xn)是一统计量

设X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个样本，x1,x2,^,x

第三章 连续型随机变量

3.1 设随机变数?的分布函数为F(x)，试以F(x)表示下列概率： （1）P(??a)；（2）P(??a)；（3）P(??a)；（4）P(??a) 解：（1）P(??a)?F(a?0)?F(a)； （2）P(??a)?F(a?0)； （3）P(??a)=1-F(a)； （4）P(??a)?1?F(a?0)。 3.2 函数F(x)?11?x2是否可以作为某一随机变量的分布函数，如果

（1）???x???

（2）0?x??，在其它场合适当定义； （3）-??x?0，在其它场合适当定义。

解：（1）F(x)在（-?,?）内不单调，因而不可能是随机变量的分布函数； （2）F(x)在（0，?）内单调下降，因而也不可能是随机变量的分布函数； （3）F(x)在（-?,0)内单调上升、连续且F(??,0)，若定义

?F(x)~F(x)???1???x?0x?0则F(x)可以是某一随机变量的分布函数。

3.3 函数sinx是不是某个随机变数?的分布密度？如果?的取值范围为 （1）[0,?2]；（2）[0,?]；（3）[0,32~?]。

?解：（1）当x?[0,布密度；

?2]时，sinx?0且?2sinx

习题15（参数估计）

一．填空题

1. 设X~e(),X1,X2,?,Xn为来自X的样本，则?的矩估计为 ．

1?2. 设X~N(?,?2),X1,X2,?,Xn为来自X的样本,则?的无偏估计量为 ．

2?1?3. 设X1,X2,X3是总体X的样本，?11?2?(bX1?X2?X3)是总体(X1?aX2?X3)，?46均值的两个无偏估计，则a? ，b? ，这两个无偏估计量中较有效的是 ．二．判断题

1. 参数矩估计是唯一的。（ ）

2. 用距估计和最大似然估计对某参数估计所得的估计一定不一样。（ ） 3. 一个未知参数的无偏估计一定唯一。（ ）

4. 设总体X的数学期望为?,X1,X2,?,Xn为来自X的样本，则X1是?的无偏估计量。（ 三．解答题

1. 设总体的密度为

f(x;?)????(??1)x?,0?x?1,??0,其他.

试用样本X1,X2,?,Xn求参数?的距估计量和最大似然估计量.

1

）

?a?x?xe?,x?02. 设总体X的概率密度为f(x)??2，其中??0，且?为未知参数，

?0,x?0??. （1）试求常数a； （2）求?的最大似然估计量?