平面向量高考真题

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2012年高考数学全国各地高考真题专题分类汇编——平面向量

F1 平面向量的概念及其线性运算

4．H1、F1[2012·上海卷] 若d＝(2,1)是直线l的一个方向向量，则l的倾斜角的大小为________(结果用反三角函数值表示)．

1

4．arctan [解析] 考查直线的方向向量、斜率与倾斜角三者之间的关系，关键是求

2

出直线的斜率．

11

由已知可得直线的斜率k＝，k＝tanα，所以直线的倾斜角α＝arctan. 2220．H5、F1、H1[2012·陕西卷] 已知椭圆C1：＋y＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，

4

且与C1有相同的离心率．

(1)求椭圆C2的方程；

→→

(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，OB＝2OA，求直线AB的方程．

x2

2

y2x2

20．解：(1)由已知可设椭圆C2的方程为2＋＝1(a＞2)，

a4

3a2－43

其离心率为，故＝，则a＝4，

2a2

y2x2

故椭圆C2的方程为＋＝1.

164

(2)解法一：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)， →→

由OB＝2OA及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上， 因此可设直线AB的方程为y＝kx.

第26讲 平面向量的数量积与平面向量应用举例

考纲要求 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． 6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.

1．平面向量的数量积

若两个__非零__向量a与b，它们的夹角为θ，则__|a||b|cos θ__叫做a与b的数量积(或内积)，记作__a·b＝|a||b|cos θ__.

规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.

两个非零向量a与b垂直的充要条件是__a·b＝0__，两个非零向量a与b平行的充要条件是__a·b＝±|a||b|__.

2．平面向量数量积的几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影__|b|cos θ__的乘积． 3．平面向量数量积的重要性质 (1)e·a＝a·e＝__|a|cos〈a，e〉__； (2)非零向量a，b，a⊥b?__a·b＝0__；

(3)当a与b同向时，a·b＝__|a||b|__；当a与b反向时，a·b＝_

一、选择题

1. (2014北京文 3已知向量 (2,4=

a , (1,1=-b ,则 2-=a b ( . A. (5,7 B. (5,9 C. (3,7 D. (3,9

2. (2014大纲文 6已知 , a b 为单位向量,其夹角为 60,则 (2 -?=a b b ( . A . 1- B . 0 C . 1 D . 2

3. (2014福建文 10设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点, O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点, 则 OA OB OC OD +++等于( .

A. OM B. 2OM C. 3OM D. 4OM 4. (2014广东文 3已知向量 ((1,2, 3,1= =a b ,则 -=b a ( . A. (2,1- B. (2, 1- C. (2,0 D. (4,3 5. (2014新课标Ⅱ文 4设向量 , a b 满足 +=a b -=a b ?=a b (

A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 6. (2014山东文 7

已知向量 ((, 3, m ==a b . 若向量 , a b 的夹角为 π6,则实数 m =( .

A. B. C. 0 D.

7. (2014新课标Ⅰ文

一、选择题

1. (2014北京文 3已知向量 (2,4=

a , (1,1=-b ,则 2-=a b ( . A. (5,7 B. (5,9 C. (3,7 D. (3,9

2. (2014大纲文 6已知 , a b 为单位向量,其夹角为 60,则 (2 -?=a b b ( . A . 1- B . 0 C . 1 D . 2

3. (2014福建文 10设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点, O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点, 则 OA OB OC OD +++等于( .

A. OM B. 2OM C. 3OM D. 4OM 4. (2014广东文 3已知向量 ((1,2, 3,1= =a b ,则 -=b a ( . A. (2,1- B. (2, 1- C. (2,0 D. (4,3 5. (2014新课标Ⅱ文 4设向量 , a b 满足 +=a b -=a b ?=a b (

A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 6. (2014山东文 7

已知向量 ((, 3, m ==a b . 若向量 , a b 的夹角为 π6,则实数 m =( .

A. B. C. 0 D.

7. (2014新课标Ⅰ文

1 平面向量的数量积

【考点梳理】

1．平面向量的数量积

(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量的数量积为0.

(2)几何意义：数量积a 2b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．

2．平面向量数量积的运算律

(1)交换律：a 2b ＝b 2a ；

(2)数乘结合律：(λa )2b ＝λ(a 2b )＝a 2(λb )；

(3)分配律：a 2(b ＋c )＝a 2b ＋a 2c .

3．平面向量数量积的性质及其坐标表示

设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ＝〈a ，b 〉.

考点一、平面向量数量积的运算

【例1】(1)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →2BC →的值为( )

A ．－58

B ．18

C ．14

D ．118

(2)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2，0)，O 为原点，则AO →2AP →的最大值为

________.

[答案] (1)B (2) 6

2 [解析] (

2014高考题平面向量

1. 【2014高考福建卷第8题】在下列向量组中，可以把向量a??3,2?表示出来的是（ ） A.e1?(0,0),e2?(1,2) B .e1?(?1,2),e2?(5,?2) C.e1?(3,5),e2?(6,10) D.e1?(2,?3),e2?(?2,3)

2. 【2014高考广东卷理第5题】已知向量a??1,0,?1?，则下列向量中与a成60的是（ ） A.??1,1,0? B. ?1,?1,0? C.?0,?1,1? D.??1,0,1?

3. 【2014高考湖南卷第16题】在平面直角坐标系中,O为原点,A??1,0?,B(0,3),C(3,0),动点D满足

CD=1，则OA?OB?OD的最大值是_________.

【答案】1?7 【解析】因为C坐标为?3,0?且CD?1,所以动点D的轨迹为以C为圆心的单位圆,则D满足参数方程

1

4. 【2014高考江苏卷第12题】如图在平行四边形ABCD中，已知AB?8,AD?5，

CP?3PD,AP?BP?2，则AB?AD的

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向量

1、在△ABC中，AB=AC，D、E分别是AB、AC的中点,则（ ）

???????1??????????????????????????A、AB与AC共线 B、DE与CB共线C、ADsin?与AE相等 D、AD与BD相等

2、下列命题正确的是（ ）

????????A、向量AB与BA是两平行向量

????aaB、若、b都是单位向量,则=b

????????C、若AB=DC,则A、B、C、D四点构成平行四边形

D、两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 3、在下列结论中，正确的结论为（ ）

????????????(1)a∥b且|a|=|b|是a=b的必要不充分条件；(2)a∥b且|a|=|b|是a=b的既不充分也不必要条件；????????????(3)a与b方向相同且|a|=|b|是a=b的充要条件；(4)a与b方向相反或|a|≠|b|是a≠b的充分不必要条

件A、(1)(3) B、(2)(4) C、(3)(4) D、(1)(3)(4)

4、把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点,则终点所构成的图形是 ；若这些向量为单位向

x

测试1 平面向量1

1．若＝(2，4)，AC＝(1，3)，则＝ ( )

A．(1，1) B．(－1，－1)

C．(3，7) D．(－3，－7)

2．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|＝ ( )

A．1 B．2

C．2 D．4

3．已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝ ( )

A．(－5，－10) B．(－4，－8)

C．(－3，－6) D．(－2，－4)

4．在△ABC中， c, b．若点D满足 2，则 ( )

21b c 33

21C．b c 33A． 52b 3312D．b c 33B．c

5．已知平面向量a＝(x，1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b ( )

A．平行于x轴 B．平行于第一、三象限的角平分线

C．平行于y轴 D．平行于第二、四象限的角平分线

测试2 平面向量2

1．向量a²c＝b²c是a＝b的 ( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2．已知D、E、F分别是三角形ABC的边长的边BC、CA、AB的中点，且

11111则①

解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：

（1） 给出直线的方向向量或；

（2）给出与相交,等于已知过的中点;

（3）给出,等于已知是的中点;

（4）给出,等于已知与的中点三点共线;

（5） 给出以下情形之一：①；②存在实数

,等于已知

；③若存在实数

三点共线.

（6） 给出，等于已知是的定比分点，为定比，即

（7） 给出钝角, 给出

,等于已知,等于已知

,即是锐角。

是直角,给出,等于已知是

（8）给出,等于已知是的平分线/

（9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;

（10） 在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;

（11）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三

角形三边垂直平分线的交点）；

（12） 在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；

（13）在形三条高的交点）；

中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角

（14）在中，给出等于已知通过的内心；

（15）在中，给出等于已知是的内心（三角形内切圆的圆心，三角

形的内心是三角形三条角平分线的交点）；

解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：

（1） 给出直线的方向向量或；

（2）给出与相交,等于已知过的中点;

（3）给出,等于已知是的中点;

（4）给出,等于已知与的中点三点共线;

（5） 给出以下情形之一：①；②存在实数

,等于已知

；③若存在实数

三点共线.

（6） 给出，等于已知是的定比分点，为定比，即

（7） 给出钝角, 给出

,等于已知,等于已知

,即是锐角。

是直角,给出,等于已知是

（8）给出,等于已知是的平分线/

（9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;

（10） 在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;

（11）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三

角形三边垂直平分线的交点）；

（12） 在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；

（13）在形三条高的交点）；

中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角

（14）在中，给出等于已知通过的内心；

（15）在中，给出等于已知是的内心（三角形内切圆的圆心，三角

形的内心是三角形三条角平分线的交点）；