四阶行列式技巧总结

四阶行列式的计算；

N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；

矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）； 求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程； 含参数的线性方程组解的情况的讨论；

齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）； 讨论一个向量能否用和向量组线性表示； 讨论或证明向量组的相关性；

求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示； 将无关组正交化、单位化； 求方阵的特征值和特征向量；

讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵； 通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化； 写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵； 判定二次型或对称矩阵的正定性。 第二部分：基本知识 一、行列式 1．行列式的定义

用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。

（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和； （2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算

一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则；

N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法

定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。

方法：选取比

9.3 二阶行列式

一、新课引入：

问题1：解二元一次方程组：（*）??a1x?b1y?c1

?a2x?b2y?c2同加减消元法：①×b2-②×b1得?a1b2?a2b1?x?c1b2?c2b1 ②×a1-①×a2得?a1b2?a2b1?y?a1c2?a2c1 当?a1b2?a2b1??0，方程组有唯一解

c1b2?c2b1?x??a1b2?a2b1? ??y?a1c2?a2c1?a1b2?a2b1?

二、新课讲授 1、二阶行列式 （1）定义：我们用记号

a1b1a2b2表示算式a1b2?a2b1,即

a1b1a2b2 = a1b2?a2b1,

其中记号教育网

a1b1a2b2叫做行列式，因为它只有两行、两列，所以把它叫做二阶行列式。21世纪（2）展开式：a1b2?a2b1,叫做行列式

a1b1a2b2b1的展开式，其计算结果叫做行列式的值。

（3）元素：a1,b2,a2,b1,叫做行列式

2、二阶行列式的计算

a1a2b2的元素。

a1三角形法则：

b1实线表示的对角线叫主对角线，虚线表示的对角线叫副对角线。二

a2b2阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)

上两个元素的乘

9.3 二阶行列式

一、新课引入：

问题1：解二元一次方程组：（*）??a1x?b1y?c1

?a2x?b2y?c2同加减消元法：①×b2-②×b1得?a1b2?a2b1?x?c1b2?c2b1 ②×a1-①×a2得?a1b2?a2b1?y?a1c2?a2c1 当?a1b2?a2b1??0，方程组有唯一解

c1b2?c2b1?x??a1b2?a2b1? ??y?a1c2?a2c1?a1b2?a2b1?

二、新课讲授 1、二阶行列式 （1）定义：我们用记号

a1b1a2b2表示算式a1b2?a2b1,即

a1b1a2b2 = a1b2?a2b1,

其中记号教育网

a1b1a2b2叫做行列式，因为它只有两行、两列，所以把它叫做二阶行列式。21世纪（2）展开式：a1b2?a2b1,叫做行列式

a1b1a2b2b1的展开式，其计算结果叫做行列式的值。

（3）元素：a1,b2,a2,b1,叫做行列式

2、二阶行列式的计算

a1a2b2的元素。

a1三角形法则：

b1实线表示的对角线叫主对角线，虚线表示的对角线叫副对角线。二

a2b2阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)

上两个元素的乘

课题1 二阶与三阶行列式；全排列及其逆序数；n 阶行列式的定义；对换.

1、二阶行列式

ax?ax?b?1111212?把二元线性方程组（1）

ax?ax?b?2212212的四个系数按它们在方程组（1）中的位置，排成二行二列的数表

aa1211（2）aa2212aa?aa称为

数表（2其运算表达式）的二阶行列式，21221112记为aa

1112D?aa?aa? 3 （）

21111222aa2122a(i?1,2;j?1,2)称为行列式（31理解：（）数）的元素ij j?1,2)a(i?1,2;）的元素可表为或元，即行列式（3，ij iia j行的第3元素为列标。）位于该行列式（其中为行标，ij j),(ij元.

第列或称为行列式（3）的第aaaa的联的联线称为主对角线，）把（2到到21122211线称为副对角线，二阶行列式等于各

元素主对角线之积减去副对角线各元素之积.

（3）行列式表示按某种法则运算的结果.

利用行列式的概念，二元线性方程组（1）的求解过程- 3 - / 7 可写为

aaabab1121111112?D?D?D?0. ，，

21bbaaaa2222122222DD21?xx?.

所以，21DD1. 例自学P2、三阶行列式2 9个数排成3行3列

第一章 行列式

行列式的概念是在研究线性方程组的解的过程中产生的. 它在数学的许多分支中都有着非常广泛的应用，是常用的一种计算工具。特别是在本门课程中，它是研究后面线性方程组、矩阵及向量组的线性相关性的一种重要工具。

§1.1 n阶行列式定义和性质

1.二阶行列式

定义1 二阶行列式 由22个数排成2行2列所组成下面的式子（或符号）

a11a21a12?a11a22?a12a21 a22称为二阶行列式，行列式中每一个数称为行列式的元素，数aij称为行列式的元素,它的第一个下标i称为行标,表明该元素位于第i行,第二个下标j称为列标, 表明该元素位于第

2j列.位于第i行第j列的元素称为行列式的(i,j)元。2阶行列式由2个数组成，两行两列；展开式是一个数或多项式；若是多项式则必有2!?2项，且正负项的各数相同。

应用：解线性方程

例1：二阶线性方程组

?a11x1?a12x2?b1??a21x1?a22x2?b2 且a11a22?a12a21?0. 解：D?

a11a21a11a12a22b1D1,D?a11a22?a12a21，D1??a11b2?b1a21

x2?D2. Db1b2a12a22?b1a22?a12b2，

D2

WORD 格式整理

专业技术参考资料 计算技巧及方法总结

一、 一般来说，对于二阶、三阶行列式，可以根据定义来做

1、二阶行列式

2112221122

211211a a a a a a a a -= 2、三阶行列式

33

3231232221

131211

a a a a a a a a a =.332112322311312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++ 例1计算三阶行列式601504

3

21-

解 =-6

015043

21601??)1(52-?+043??+)1(03-??-051??-624??-

4810--=.58-=

但是对于四阶或者以上的行列式，不建议采用定义，最常采用的是行列式的性质以及降价法来做。但在此之前需要记忆一些常见行列式形式。以便计算。

计算上三角形行列式 nn nn n n a a a a a a a a a ΛΛ

ΛΛΛΛ

Λ

Λ221122*********= 下三角形行列式 nn

n n a a a a a a ΛΛΛ

ΛΛΛ

Λ

21222111000.2211nn a a a Λ=

行列式的几种常见计算技巧和方法

2.1 定义法

适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性．

00例1 计算行列式

040030020010. 00?24项，但由解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有4！于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是a1j1a2j2a3j3a4j4．显然，如果j1?4，那么a1j1?0，从而这个项就等于零．因此只须考虑j1?4的项，同理只须考虑

j2?3,j3?2,j4?1的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有

??6，所以此项取正号．故 a14a23a32a41，而??432100040030020010??4321?=??1?a14a23a32a41?24. 002.2 利用行列式的性质

即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式． 2.2.1 化三角形法

上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：

1

a1100?0a11a21a31?an1a12a220?00a22a32?an21a13?a1na23?a2na33?a3n?a11a22?ann，?00???ann?000?a11a22?ann.

行列式的几种常见计算技巧和方法

2.1 定义法

适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性．

00例1 计算行列式

040030020010. 00?24项，但由解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有4！于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是a1j1a2j2a3j3a4j4．显然，如果j1?4，那么a1j1?0，从而这个项就等于零．因此只须考虑j1?4的项，同理只须考虑

j2?3,j3?2,j4?1的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有

??6，所以此项取正号．故 a14a23a32a41，而??432100040030020010??4321?=??1?a14a23a32a41?24. 002.2 利用行列式的性质

即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式． 2.2.1 化三角形法

上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：

1

a1100?0a11a21a31?an1a12a220?00a22a32?an21a13?a1na23?a2na33?a3n?a11a22?ann，?00???ann?000?a11a22?ann.

线性代数

第一章

行列式

行列式是一个重要的工 具，它在数学的各个领 域及其它各学科都有着 广泛的应用

内容提要§1 §2 §3 §4 n阶行列式的定义 行列式的性质 行列式按行(列)展开 克拉默法则

§1● ● ●

n阶行列式的定义二阶与三阶行列式 排列与逆序 n阶行列式的定义

一、二阶与三阶行列式1.二阶行列式二元线性方程组 由消元法，得

a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2

(a11a22 a12a21 ) x1 b1a22 a12b2 (a11a22 a12a21 ) x2 a11b2 b1a21

当 a11a22 a12a21 0 时，该方程组有唯一解

b1a22 a12b2 x1 a11a22 a12a21

a11b2 b1a21 x2 a11a22 a12a21

二元线性方程组

a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2求解公式为 请观察，此公式有何特点？ 分母相同，由方程组的四个系数确定. 分子、分母都是四个数分成两对相乘再 相减而得.

第一章 行列式

1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：

201abc111xyx?yx?yx. （1）1?4?1； （2）bca; （3）abc； （4）y?183caba2b2c2x?yxy201解 （1）1?4?1?2?(?4)?3?0?(?1)?(?1)?1?1?8?0?1?3?2?(?1)?8?1?(?4)?(?1)

?183=?24?8?16?4=?4

abc333（2）bca?acb?bac?cba?bbb?aaa?ccc?3abc?a?b?c

cab

111222222（3）abc?bc?ca?ab?ac?ba?cb?(a?b)(b?c)(c?a)

a2b2c2

xyx?yx?yx?x(x?y)y?yx(x?y)?(x?y)yx?y3?(x?y)3?x3 （4）yx?yxy?3xy(x?y)?y3?3x2y?3y2x?x3?y3?x3

??2(x3?y3)

2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … (2n?1) 2