三角函数的周期性教案

精 品

三角函数的周期性

一、考点突破 知识点 课标要求 1. 理解周期函数的定义； 2. 知道正弦函数、余弦函三角函数数的最小正周期； ＋φ）和y＝cos（ωx＋φ）的周期。

二、重难点提示

重点：求函数的周期、利用周期求函数值。 难点：对定义的理解及定义的简单应用。

一、周期函数的定义

一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f（x＋T）＝

填空 解答 的周期性 3. 会求函数y＝sin（ωx题型 说明 高考必考 周期性是三角型函数的重要性质，也是我们在所学的基本初等函数中唯一具备这一特性的函数。在解答题中往往出现在第1步，较为简单。客观题往往与图象等结合考查。 f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。

【要点诠释】函数周期性的理解：

①定义应对定义域中的每一个x值来说，只有个别的x值满足f（x＋T）＝f（x）或不满足，都不能说T是f（x）的周期。

②从f（x＋T）＝f（x）来看，应强调是自变量x本身加的常数才是周期，如f（2x＋T）＝f（2x）中，T不是周期，而应写成f(2x?T)?f?2(x?)??f(2x)，则是f（x）的周期。

2?2?③对于一个周期函数

三角函数的诱导公式(第一课时)

(一)复习提问，引入新课 思考 如何求 cos150 ?150 y

30 想到150 的三角函数值与 30 角的三角函数值可能存在一定 x 的关系 为了使讨论具有一般性，我们来 研究任意角 的三角函数值的求 法.

O

(二)新课讲授由三角函数的定义我们可以知道：

终边相同的角的同一三角函数值相同sin ( 2k ) sin ( k Z) cos( 2k ) cos (k Z) tan( 2k ) tan (k Z)

(公式一)

我们来研究角 与 的三角函数值之间的关系 y

因为r=1,所以我们得到：y x sin ______, cos ______, P(x,y) -y x , sin( ) _____, cos( ) ____ x 由同角三角函数关系得 sin ( ) sin tan( ) tan cos( ) cos

M

O

P' (x, y)

sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan

(公式二)

思考 P '

典例分析

【例1】 ⑴在0?与360?范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角：

①?120?；②640?；③?950?12?.

⑵分别写出与下列各角终边相同的角的集合S， 写出S中满足不等式?360?≤?≤720?的元素?： ①80?；②?51?；③367?34?.

【例2】 ⑴把67?30'化成弧度；

3⑵把πrad化成度.

5

9【例3】 ⑴把157?30?化成弧度；⑵把πrad化成度.

5

【例4】 将下列各角化为2kπ??(0≤??2π,k?Z)的形式，并判断其所在象限.

19π； 3(2)-315°； (3)-1485°.

(1)

【例5】 下面四个命题中正确的是（）

A.第一象限的角必是锐角 C.终边相同的角必相等

B.锐角必是第一象限的角

D.第二象限的角必大于第一象限的角

【例6】 把下列各角写成k?360???(0≤??360?)的形式，并指出它们所在的象限或终边位置.

⑴?135?；⑵1110?；⑶?540?.

【例7】 已知角?的终边经过点P(?3，3)，则与?终边相同的角的集合是

.

2π??k?Z? A.?xx?2kπ?，3??5π??k?Z? C.?xx?kπ?，

典例分析

【例1】 ⑴在0?与360?范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角：

①?120?；②640?；③?950?12?.

⑵分别写出与下列各角终边相同的角的集合S， 写出S中满足不等式?360?≤?≤720?的元素?： ①80?；②?51?；③367?34?.

【例2】 ⑴把67?30'化成弧度；

3⑵把πrad化成度.

5

9【例3】 ⑴把157?30?化成弧度；⑵把πrad化成度.

5

【例4】 将下列各角化为2kπ??(0≤??2π,k?Z)的形式，并判断其所在象限.

19π； 3(2)-315°； (3)-1485°.

(1)

【例5】 下面四个命题中正确的是（）

A.第一象限的角必是锐角 C.终边相同的角必相等

B.锐角必是第一象限的角

D.第二象限的角必大于第一象限的角

【例6】 把下列各角写成k?360???(0≤??360?)的形式，并指出它们所在的象限或终边位置.

⑴?135?；⑵1110?；⑶?540?.

【例7】 已知角?的终边经过点P(?3，3)，则与?终边相同的角的集合是

.

2π??k?Z? A.?xx?2kπ?，3??5π??k?Z? C.?xx?kπ?，

1．2.1 任意角的三角函数

整体设计

教学分析

学生已经学过锐角三角函数，它是用直角三角形边长的比来刻画的．锐角三角函数的引入与“解三角形”有直接关系．任意角的三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，它与“解三角形”已经没有什么关系了．因此，与学习其他基本初等函数一样，学习任意角的三角函数，关键是要使学生理解三角函数的概念、图象和性质，并能用三角函数描述一些简单的周期变化规律，解决简单的实际问题．

本节以锐角三角函数为引子，利用单位圆上点的坐标定义三角函数．由于三角函数与单位圆之间的这种紧密的内部联系，使得我们在讨论三角函数的问题时，对于研究哪些问题以及用什么方法研究这些问题等，都可以从圆的性质(特别是对称性)中得到启发．三角函数的研究中，数形结合思想起着非常重要的作用．

利用信息技术，可以很容易地建立角的终边和单位圆的交点坐标、单位圆中的三角函数线之间的联系，并在角的变化过程中，将这种联系直观地体现出来，所以信息技术可以帮助学生更好地理解三角函数的本质；激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境．

三维目标

1．通过借助单位圆理

三角函数单调性的教案

【篇一：三角函数的诱导公式教案设计】

一、指导思想与理论依据

数学是一门培养人的思维，发展人的思维的重要学科。因此，在教学中，不仅要使学生“知其然”而且要使学生“知其所以然”。所以在学生为主体，教师为主导的原则下，要充分揭示获取知识和方法的思维过程。因此本节课我以建构主义的“创设问题情境——提出数学问题——尝试解决问题——验证解决方法”为主，主要采用观察、启发、类比、引导、探索相结合的教学方法。 二．教材分析

三角函数的诱导公式是普通高中课程标准实验教科书（人教a版）数学必修四，第一章

第三节的内容，其主要内容是三角函数诱导公式中的公式（二）至公式（六）。本节是第一课时，教学内容为公式（二）、（三）、（四）.教材要求通过学生在已经掌握的任意角的三角函数的定义和诱导公式（一）的基础上， 进而发现他们的三角函数值的关系，即发现、掌握、应用三角函数的诱导公式，公式（二）、（三）、（四）。同时教材渗透了转化与化归等数学思想方法，为培养学生养成良好的学习习惯提出了要求。为此本节内容在三角函数中占有非常重要的地位。 三．学情分析

本节课的授课对象是本校高一（x）班全体同学，本班学生水平处于中等偏下，但本班学生具有善于动手

函数的周期性

1．周期函数的定义

对于函数f(x)，如果存在一个非．零．常．数．T，使得当x取定义域内的每．一．个．值．时，都有

f(x?T)?f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。

说明：（1）T必须是常数，且不为零；

（2）对周期函数来说f(x?T)?f(x)必须对定义域内的任意x都成立。 问题1 ①若常数T（≠0）为f (x)周期，问nT( n∈ N)为f (x)周期吗？为什么？ ②周期函数的周期有多少个？（是有限个还是无限个）？

2 常见函数的最小正周期

正弦函数 y=sin（ωx+φ）（w>0）最小正周期为T= y=cos（ωx+φ）（w>0）最小正周期为T=

2π2π? y=tan（ωx+φ）（w>0）最小正周期为T=

?π

π?y=|sin（ωx+φ）|（w>0）最小正周期为T=

? f(x)=C(C为常数)是周期函数吗？有最小正周期吗？ y=Asinw1 x+Bcosw2x 的最小正周期问题

结论：有的周期函数没有有最小正周期

3抽象函数的周期总结

1、f(x?T)?f(x)

?y?f(x)的周期为T

2、f(x?a)?f(b?x) (a?b)

《三角函数》专题复习

【知识网络】

应用 弧长公式 同角三角函数诱导 计算与化简 应用 的基本关系式 公式 证明恒等式 应用 三角函数的 已知三角函角度制与 任意角的 应用 任意角的概念 图像和性质 数值求角 弧度制 三角函数 和角公式 应用 倍角公式 应用 差角公式 应用

学法：

1．注重化归思想的运用．如将任意角的三角函数值的问题化归为锐角的三角函数的问题，将不同名的三角函数问题化成同名的三角函数的问题，将不同角的三角函数问题化成同角的三角函数问题等

2．注意数形结合思想的运用．如讨论函数性质等问题时，要结合函数图象思考，便易找出解题思路和问题答案．

第1课 三角函数的概念

考试注意：

理解任意角的概念、弧度的意义． 能正确地进行弧度与角度的换算． 掌握终边相同角的表示方法． 掌握任意角的正弦、余弦、正切的意义．了解余切、正割、余割的定义． 掌握三角函数的符号法则． 知识典例：

1．角α的终边在第一、三象限的角平分线上，角α的集合可写成 ． 2．已知角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边 ( ) A．在x轴上 B．在y轴

三角函数

一、周期性

周期函数：函数f(x)，在x?R上，f(x+T)=f(x)，则函数f(x)为周期函数。 T为周期

最小正周期：T大于0的最小正数。

例1：若f(x)是R上周期是5的奇函数，且满足f(x)=1，f(2)=2，则f(3)-f(4)= -1

例2：已知函数f(x)定义域R，f(x)为奇函数且满足f(-x)=f(2+x)，则方程f(x)=0在区间[-4，4]上的解最少有几个？ T=4，5个

二、角的推广

1. 角的定义：一条射线OA由原来的位置OA，绕着它的端点O按一定方向旋转到另一位置OB，就形成了角α。其中射线OA叫角α的始边，射线OB叫角α的终边，O叫角α的顶点。 2. 正角：按逆时针方向旋转所形成的角； 负角：按顺时针方向旋转所形成的角；

零角：如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。

3. 象限角：角?的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称?为第几象限角。

第一象限角的集合为：?k?360

三角函数 第一教时

教材：角的概念的推广

目的：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象

限角”“终边相同的角”的含义。 过程：一、提出课题：“三角函数”

回忆初中学过的“锐角三角函数”——它是利用直角三角形中两边的比值来定义的。相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”，它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术中都有广泛应用。 二、角的概念的推广

1．回忆：初中是任何定义角的？（从一个点出发引出的两条射线构成的几

何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”

2．讲解：“旋转”形成角（P4）

突出“旋转” 注意：“顶点”“始边”“终边” “始边”往往合于x轴正半轴

3．“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。

记法：角?或?? 可以简记成?

4．由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。 1? 角有正负之分 如：?=210? ?=?150? ?=?660? 2? 角可以任意大

实例：体操动作：旋转2周（360?×2=720?） 3周（360?×3=1080?） 3? 还有零角 一条射线，没有