高一数学抽象函数题100道

抽象函数专题讲座

郑严

抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊条件的函数。 一.抽象函数定义域

1．已知f(x)的定义域，求f g(x) 的定义域

其解法是：若f(x)的定义域为a≤x≤b，则在f g(x) 中，a≤g(x)≤b，从中解得x的取值范围即为f g(x) 的定义域．

例1.已知函数f(x)的定义域为 15， ，求f(3x 5)的定义域． 解： f(x)的定义域为 15， ， 1≤3x 5≤5，

故函数f(3x 5)的定义域为 ．

332、已知f g(x) 的定义域，求f(x)的定义域

其解法是：若f g(x) 的定义域为m≤x≤n，则由m≤x≤n确定的g(x)的范围即为f(x)的定义域．

例2 已知函数f(x2 2x 2)的定义域为 0，3 ，求函数f(x)的定义域． 解：由0≤x≤3，得1≤x 2x 2≤5．

2

令u x 2x 2，则f(x 2x 2) f(u)，1≤u≤5．

2

2

410≤x≤． 33

410

故f(x)的定义域为 15， ． 二.抽象函数表达式与函数值

1. 换元法.

例3. 已知f(1+ x2)=2+ x2+x4, 求f(x)

解:令t=1+ x2 t 1x=t-1

原式即为：f(t)=2+t-1+(t-1)

抽象函数常见题型解法综述

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：

一、定义域问题

例1. 已知函数f(x2)的定义域是［1，2］，求f（x）的定义域。

22解：f(x2)的定义域是［1，2］，是指1?x?2，所以f(x2)中的x满足1?x?4

从而函数f（x）的定义域是［1，4］

评析：一般地，已知函数f(?(x))的定义域是A，求f（x）的定义域问题，相当于已知f(?(x))中x的取值范围为A，据此求?(x)的值域问题。

，2]，求函数f[log1(3?x)]的定义域。 例2. 已知函数f(x)的定义域是[?12，2]，意思是凡被f作用的对象都在[?1，2]中， 解：f(x)的定义域是[?1由此可得?1?log1(3?x)?2?()?3?x?()212212?1?1?x?11 4所以函数f[log1(3?x)]的定义域是[1，211] 4评析：这类问题的一般形式是：已知函数f（x）的定义域是A，求函数f(?(x))的定义域。正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题实质上相当于

……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………

1 抽象函数常见题型解法综述

赵春祥

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：

一、定义域问题

例1. 已知函数)(2

x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域。

解：)(2x f 的定义域是［1，2］，是指21≤≤x ，所以)(2x f 中的2x 满足412≤≤x 从而函数f （x ）的定义域是［1，4］

评析：一般地，已知函数))((x f ?的定义域是A ，求f （x ）的定义域问题，相当于已知))((x f ?中x 的取值范围为A ，据此求)(x ?的值域问题。

例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21[，-，求函数)]3([log 2

1x f -的定义域。

解：)(x f 的定义域是]21[，-，意思是凡被f 作用的对象都在]21[，-中，由此可得

4111)21(3)21(2)3(log 1122

1≤≤?≤-≤?≤-≤--x x x 所以函数)]3([log 21x f -的定义域是]4

111[

一、选择题：(本题共12题，每小题5分，满分60分) 1．若a、b、c∈R＋，则3=4=6，则

A．

C．

1c

2a

2b1c

1a

1b

221cab212D．

cab

abc

（ ）

B．

2．集合M { 2,0,1},N {1,2,3,4,5}，映射f:M N，使任意x M，都有

x f(x) xf(x)是奇数，则这样的映射共有

（ ）

A．60个 3．已知f(x) A．2

B．45个

－1

C．27个 D．11个

a x

的反函数．．．fx a 1

(x)的图像的对称中心是(—1，3)，则实数a等于 （ ） C．－2

D．－4

1

4

11

D．f() f(2) f()

34

B．3

4．已知f(x) |logax|，其中0 a 1，则下列不等式成立的是 （ ）

11

4311

C．f() f() f(2)

43

A．f() f(2) f() B．f(2) f() f()

1

3

5．函数f(x)=x 1＋2 (x≥1)的反函数是 （ ） A．y=(x－2)2＋1 (x∈R) B．x=(y－2)2＋1 (x∈R) C．y=(x－2)2＋1 (x≥2)

抽象函数单调性和奇偶性

1. 抽象函数的图像判断单调性

例1．如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且有最小值为5，那么

f(x)在区间[?7，?3]上是( )

A. 增函数且最小值为?5 B. 增函数且最大值为?5 C. 减函数且最小值为?5 D. 减函数且最大值为?5 分析：画出满足题意的示意图，易知选B。 2、抽象函数的图像求不等式的解集

例2、已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(2)?0，并且f(x) y 5 O -7 -3 3 7 x -5 在(??,0)上为增函数。若(a?1)f(a)?0，则实数a的取值范围 .

二、抽象函数的单调性和奇偶性 1.证明单调性 例3．已知函数f(x)=

g(x)?1,且f(x),g(x)定义域都是R,且g(x)>0, g(x)?1g(1) =2,g(x) 是增函数. g(m)g(n)?g(m?n)(m,n?R) . 求证： f(x)是R上的增函数.

解:设x1>x2因为，g(x)是R上的增函数, 且g(x)>0。 故g(x1) >

新课标函数奇偶性练习

一、选择题

1．已知函数f（x）＝ax＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么g（x）＝ax＋bx＋cx（ ）

A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数

2．已知函数f（x）＝ax＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，则（ ）

A．a 22321，b＝0 B．a＝－1，b＝0 C．a＝1，b＝0 D．a＝3，b＝0 3

23．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x－2x，则f（x）在R上的表达式是（ ）

A．y＝x（x－2） B．y ＝x（｜x｜－1） C．y ＝｜x｜（x－2） D．y＝x（｜x｜－2）

4．已知f（x）＝x＋ax＋bx－8，且f（－2）＝10，那么f（2）等于（ ）

A．－26 B．－18 C．－10 D．10

5．函数f(x) 53 x 1是（ 2x x 1x2 ）

A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数

6．若 (x)，g（x）都是奇函数，f(x) a bg(x) 2在（0，＋∞）上有最大值5，

则f（x）在（－∞，0）上有（ ）

A．最小值－5 B．最大

函数

1.已知集合{}05≤-=a x x A ，{}06>-=b x x B ,N b a ∈,，且{}2,3,4A B N ??=，则整数对()b a ,的个数为 （ ）

A. 20

B. 25

C. 30

D. 42

解：50x a -≤5a x ?≤；60x b ->6

b x ?>。要使{}2,3,4A B N ??=，则 126455b a ?≤<????≤<??

，即6122025b a ≤<??≤<?。所以数对()b a ,共有116530C C =。 2.已知f(x)是定义在R 上的不恒为0的函数．如果对于任意的a 、b ∈R 都满足

f(ab)＝af(b)＋bf(a)，则函数f(x) （ ）

(A)是奇函数 (B)是偶函数

(C)既是奇函数又是偶函数 (D)既不是奇函数也不是偶函数

解：由f(－1)＝－f(1)＋f(－1)有f(1)＝0，而f(1)＝－2f(－1)，∴f(－1)＝0，

∴f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)＝－f(x)．

3.已知a 为给定的实数，那么集合M ＝{x|x 2－3x

高一数学函数的值域试题

一．选择题

1．（2006 陕西）函数f（x）=

（x∈R）的值域是（ ）

2．函数y=（x∈[2，6]）的值域是（ D ）

4．函数

y=的值域是（ B ）

二．填空题 6．函数

的值域为

7．函数

的值域是的值域是 （0，

．

8．求函数y=x+

的值域．

9．函数f

（x）=x+|x﹣2|的值域是

10．已知函数，则函数f（x）的值域为

11．函数的值域f（x）=2x﹣3+的值域是

12．函数

的值域是．

13．函数的值域：y=

为

．

14．函数y=x﹣2x的定义域为{0，1，2，3}，那么其值域为 {﹣1，0，3} ．

2

15．下列函数中在（﹣∞，0）上单调递减的．①④

．

；②y=1﹣x；③y=x+x；

22

16．已知二次函数f（x）=2x﹣4x+3，若f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，则a的取值范围是 0＜a＜ ．

2

17．函数f（x）在[﹣3，3]上是减函数，且f（m﹣1）﹣f（2m﹣1）＞0，则m的取值范围是 （0，2] ．

三．解答题

18．求下列函数的值域．

（1）y=﹣x+x+2；

（2）y=3﹣2x，x∈[﹣2，9]；

2

（3）y=x﹣2x﹣3，x∈（﹣1，2]； （4）y=

．

2

19．求函数y=

的值域．

20．分别求下列函数的值域： （1）y=

2

高一数学函数测试题

班级 姓名 学号 成绩

一、选择题：（本题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.函数y?2x?1?3?4x的定义域为（ ）

A (?,) B [?,] C (??,]?[,??) D (?,0)?(0,??) 2.下列对应关系f中，不是从集合A到集合B的映射的是（ ）

A A={xx是锐角，f：求正弦； B A=R，B=R，f：取绝对值 }，B=（0，1）C A=R，B=R，f：求平方； D A=R，B=R，f：取倒数

3二次函数y?4x?mx?5的对称轴为x??2，则当x?1时，y的值为 （ ） A ?7 B 1 C 17 D 25

2?13241324123412(x?6)?x?54.已知f(x)??，则f(3)为（ ）

f(x?2)(x?6)?A 2 B 3 C 4 D 5

5.

学思源文化高一数学函数专题教学讲义

一. 知识要点：

集合的含义及其表示 （一）集合的有关概念： 1. 集合的含义：

一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合。集合中的每一个对象称为该集合的元素。 2. 集合的分类：

（1）有限集：含有有限个元素的集合。

（2）无限集：若一个集合不是有限集，就称此集合为无限集。

空集：不含任何元素的集合，记作Φ。

3. 集合的表示方法

（1）列举法：把集合中的元素列举在一个大括号里：{…}

（2）描述法： 将集合的所有元素都具有的性质（满足的条件）表示出来，写成{x| P

（x）}的形式

4. 常用数集的字母表示 常用数集及记法

（1）自然数集： 记作N （2）正整数集： 记作N*或N? （3）整数集： 记作Z （4）有理数集： 记作Q （5）实数集： 记作R

（二）集合之间的关系：

1. 子集：如果集合A的任一个元素都在集合B中则称集合A为集合B的子集，

记作：A?B或B?A 特别的：A?A??A

2. 真子集：如果A?B并且A?B，则称集合A为集合B的真子集

3. 集合相等：A=B （三）集合之间的运算： 1. 交

交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集