高中数学圆锥曲线与方程知识点总结

高中数学圆锥曲线知识

点总结

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高考数学圆锥曲线部分知识点梳理

一、方程的曲线：

在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。

点与曲线的关系：若曲线C 的方程是f(x,y)=0，则点P 0(x 0,y 0)在曲线C 上?f(x 0,y 0)=0；点P 0(x 0,y 0)不在曲线C 上?f(x 0,y 0)≠0。

两条曲线的交点：若曲线C 1，C 2的方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则点P 0(x 0,y 0)是C 1，C 2的交点?{

),(0),(002001==y x f y x f 方程组有n 个不同的实数解，两

条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。 二、圆：

1、定义：点集｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径.

2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)

《圆锥曲线》知识点小结

一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数（大于|其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意：2a |F1F2|表示椭圆；2a |F1F2|表示线段F1F2；2a |F1F2|没有轨迹； （2

F1F2|）的点的轨迹。

22xy3．常用结论：（1）椭圆 1(a b 0)的两个焦点为F1,F2，过F1的直线交椭圆于A,B两a2b2

点，则 ABF2的周长= （2）设椭圆

x2y2

2 1(a b 0)左、右两个焦点为F1,F2，过F1且垂直于对称轴的直线2ab

交椭圆于P,Q两点，则P,Q的坐标分别是 |

PQ|

二、双曲线：

（1）双曲线的定义：平面内与两个定点F1,F2|迹。

其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。 注意：|

F1F2|PF1| |PF2| 2a与|PF2| |PF1| 2a（2a |F1F2|）表示双曲线的一支。

2a |F1F2|表示两条射线；2a |F1F2|没有轨迹；

（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：

标准方程

中心在原点，焦点在x轴上

中心在原点，焦点在

y轴上

x2y2

1(a 0,b 0) a2b2

y2

§8.圆锥曲线方程 知识要点

一、椭圆方程.

PF1?PF?PF?PF222?2a?F1F2方程为椭圆,?2a?F1F2无轨迹,?2a?F1F2以F1,F2为端点的线段221. 椭圆方程的第一定义：PF1PF1

⑴①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x轴上：xa?22yb?22?1(a?b?0)22.

.

ii. 中心在原点，焦点在y轴上：yaxb?1(a?b?0)②一般方程：Ax2?By2?1(A?0,B?0).

xa22③椭圆的标准方程：

?yb22?1的参数方程为??x?acos??y?bsin?（一象限?应是属于0????2）.

⑵①顶点：(?a,0)(0,?b)或(0,?a)(?b,0).

②轴：对称轴：x轴，y轴；长轴长2a，短轴长2b. ③焦点：(?c,0)(c,0)或(0,?c)(0,c). ④焦距：F1F2?2c,c?a2?b2. ⑤准线：x??a2c或y??a2c.

⑥离心率：e?⑦焦点半径：

ca(0?e?1).

i. 设P(x0,y0)为椭圆ii.设P(x0,y0)为椭圆

xaxb2222?yb2222?1(a?b?0)上的一点，F1,F?1(a?b?0)上的一点，F1,Fa22为左、右焦点，

§8.圆锥曲线方程 知识要点

一、椭圆方程.

PF1?PF?PF?PF222?2a?F1F2方程为椭圆,?2a?F1F2无轨迹,?2a?F1F2以F1,F2为端点的线段221. 椭圆方程的第一定义：PF1PF1

⑴①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x轴上：xa?22yb?22?1(a?b?0)22.

.

ii. 中心在原点，焦点在y轴上：yaxb?1(a?b?0)②一般方程：Ax2?By2?1(A?0,B?0).

xa22③椭圆的标准方程：

?yb22?1的参数方程为??x?acos??y?bsin?（一象限?应是属于0????2）.

⑵①顶点：(?a,0)(0,?b)或(0,?a)(?b,0).

②轴：对称轴：x轴，y轴；长轴长2a，短轴长2b. ③焦点：(?c,0)(c,0)或(0,?c)(0,c). ④焦距：F1F2?2c,c?a2?b2. ⑤准线：x??a2c或y??a2c.

⑥离心率：e?⑦焦点半径：

ca(0?e?1).

i. 设P(x0,y0)为椭圆ii.设P(x0,y0)为椭圆

xaxb2222?yb2222?1(a?b?0)上的一点，F1,F?1(a?b?0)上的一点，F1,Fa22为左、右焦点，

高中数学知识点《解析几何》《圆锥曲线》《曲线参数方程》

精选强化试题【39】(含答案考点及解析)

班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________

1.已知圆C经过A（1，1）、B（2，准方程.

【答案】（x+3）+（y+2）=25．

【考点】高中数学知识点》解析几何》圆》圆的标准方程与一般方程 【解析】

试题分析：设圆心坐标为C（a，a+1），根据A、B两点在圆上利用两点的距离公式建立关于a的方程，解出a值,从而算出圆C的圆心和半径，可得圆C的方程. 试题解析：∵圆心在直线x-y+1=0上， ∴设圆心坐标为C（a，a+1）， 根据点A（1，1）和B（2，-2）在圆上， 可得(a?1)+(a+1?1)=(a?2)+(a+1+2)， 解之得a=-3,

∴圆心坐标为C（-3，2）， 半径r=(?3?1)+(?3+1?1)=25, r=5,

∴此圆的标准方程是（x+3）+（y+2）=25． 考点：圆的标准方程.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

）两点，且圆心C在直线l：x-y+1=0上，求圆C的标

2.已知点，关系是（ ） A．相交且过圆心

【答案】B

,，以线段为直径作圆，则直线

C．相切

与圆的位置D

高中数学选修2-1圆锥曲线与方程测试题

圆锥曲线与方程测试题

一、选择题

1．双曲线3x－y＝9的实轴长是 ( )

A．2 B．2 C．4 D．422xy2．以＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为 ( ) 41222222222xyxyxyxyA.1 B.＝1 C.＋1 D.＋1 16121216164416

3．对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是 ( )

A．开口向上，焦点为(0,1)

1B．开口向上，焦点为 0， 16C．开口向右，焦点为(1,0)

D．开口向右，焦点为 0，

x2y2

4．若k∈R，则k>3－＝1表示双曲线的 ( ) k－3k＋3

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 22x16y5．若双曲线1的左焦点在抛物线y2

第二章《圆锥曲线与方程》复习小结

【自主学习】

【学习目标】

1.了解圆锥曲线的实际背景，感受其在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；

2.经历从具体情境抽象出模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形和简单性质； 3.能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题；

4.进一步体会数形结合的思想，了解曲线与方程的关系.

【本章知识结构框图】

求曲线的方程 曲线与方程曲线的方程 画方程的曲线 求曲线的交点 几何背景圆锥曲线的概念椭圆定义 双曲线定义 抛物线定义 应用 圆锥曲线共同特征统一定义 应用 焦半径公式 圆锥曲线的方程椭圆的标准方程 双曲线的标准方程 抛物线的标准方程 应用 相离相切相交【本章知识与方法导析】

一、根据本章知识框图构建立体几何知识系统

1.曲线与方程 （1）概念： .

几何背景 圆锥曲线的性质椭圆几何性质 双曲线几何性质 抛物线几何性质 应用 圆锥曲线的弦 （2）轨迹与轨迹方程的区别 .

2．熟练掌握求轨迹方程的常见方法 试说明以下几种方法的用法及适用题型

（1）五步法（直译法）求轨迹方程，你能说出是哪

.

.

?

2

2

圆锥曲线方程 知识要点

一、椭圆方程及其性质.

PF 1 + PF 2 1. 椭圆的第一定义： PF 1 + PF 2 PF 1 + PF 2

= 2a F 1F 2 方程为椭圆,

= 2a F 1F 2 无轨迹,

= 2a = F 1F 2 以F 1,F 2为端点的线段

椭圆的第二定义：= e ， PF d

其中 F 为椭圆焦点，l 为椭圆准线

点 P 到定点 F 的距离,d 为点 P 到直线 l 的距离

椭圆方程图形特征

x

2 y 2

+ 2 = 1(a > b a

2 b y

B

M (x , y ) 2

0 0

A F

O F A

1

1

2

2

B

1

> 0)

x

y 2 x 2

a 2 +

b 2

= 1(a > b > 0) y

A 2

F

2

M B O

B x

1

2

F

1

A

1

范围 | x |≤ a , | y |≤ b

| x |≤ b , | y |≤ a

顶点 ( ± a , 0 ), ( 0 , ± b )

( ± b ,0 ), ( 0 ,± a )

几 焦点 ( ± c ,0 ) ( 0 ,± c )

何 性 准线

对称性

x = ±

a

2

c

关于 x 轴、 y 轴、原点对称

y = ± a 2

c

关于 x 轴、 y 轴、原点对称

质

长短轴离心率 长轴长 | A

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圆锥曲线知识点小结

1.圆锥曲线的两个定义：

（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件

定点F1(?3,0),F2(3,0)，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中，是椭圆的是( ) A．PF B．PF 1?PF2?41?PF2?6C．

D．PF1?PF2PF1?PF2?10222222?12

（2）方程(x?6)?y?(x?6)?y?8表示的曲线是_____ （3）利用第二定义

x2已知点Q(22,0)及抛物线y?42.圆锥曲线的标准方程

上一动点P（x,y）,则y+|PQ|的最小值是___

x2y2（1）已知方程??1表示椭圆，则k的取值范围为____

3?k2?k（2）若x,y?R，且3x2?2y2?6，则x?y的最大值是___，x2?y2的最小值是 x2y25（3）双曲线的离心率等于，且与椭圆??1有公共焦点，则该双曲线的方程_______

942（4）设中心在坐标原点O，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率e则C的方程为_______

3.圆锥曲线焦点位置的判断：

?2的双曲线C过点P(4,?10)，

椭圆：已知方程

x2y2??1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是( )

m?12?m

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圆锥曲线知识点小结

1.圆锥曲线的两个定义：

（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件

定点F1(?3,0),F2(3,0)，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中，是椭圆的是( ) A．PF B．PF 1?PF2?41?PF2?6C．

D．PF1?PF2PF1?PF2?10222222?12

（2）方程(x?6)?y?(x?6)?y?8表示的曲线是_____ （3）利用第二定义

x2已知点Q(22,0)及抛物线y?42.圆锥曲线的标准方程

上一动点P（x,y）,则y+|PQ|的最小值是___

x2y2（1）已知方程??1表示椭圆，则k的取值范围为____

3?k2?k（2）若x,y?R，且3x2?2y2?6，则x?y的最大值是___，x2?y2的最小值是 x2y25（3）双曲线的离心率等于，且与椭圆??1有公共焦点，则该双曲线的方程_______

942（4）设中心在坐标原点O，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率e则C的方程为_______

3.圆锥曲线焦点位置的判断：

?2的双曲线C过点P(4,?10)，

椭圆：已知方程

x2y2??1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是( )

m?12?m