数学分析试题库及答案

数学分析题库（1-22章）

一．选择题

１．函数y?16?x2?arcsin2x?17的定义域为（ ）.

（A）?2,3?； (B)??3,4?； (C)??3,4?； (D)??3,4?.

２．函数y?xln(x?x?1)????x????是( ）.

2（A）偶函数; (B)奇函数; (C)非奇非偶函数;

1(D)不能断定.

３．点x?0是函数y?ex的（ ）.

（A）连续点; (B)可去间断点; (C)跳跃间断点; (D)第二类间断点.

４．当x?0时，tan2x是（ ）.

（A）比sin5x高阶无穷小 ; (B) 比sin5x低阶无穷小; (C) 与sin5x同阶无穷小; (D) 与sin5x等价无穷小. ５．lim(x??xx?1)2x的值（ ）． (B)

1e（A）e; ;

(C)e2;

(D)0.

'６．函数f(x)在x=x0处的导数f(x0)可定义 为（ ）．

（A）

f(x)?f(x0)x?x0 ; (B)limf(x??x)?f(x)?x ;

x?x0 (C) limf?x??f?0??x?x?

数学分析题库（1-22章）

一．选择题

１．函数y?16?x2?arcsin2x?17的定义域为（ ）.

（A）?2,3?； (B)??3,4?； (C)??3,4?； (D)??3,4?.

２．函数y?xln(x?x?1)????x????是( ）.

2（A）偶函数; (B)奇函数; (C)非奇非偶函数;

1(D)不能断定.

３．点x?0是函数y?ex的（ ）.

（A）连续点; (B)可去间断点; (C)跳跃间断点; (D)第二类间断点.

４．当x?0时，tan2x是（ ）.

（A）比sin5x高阶无穷小 ; (B) 比sin5x低阶无穷小; (C) 与sin5x同阶无穷小; (D) 与sin5x等价无穷小. ５．lim(x??xx?1)2x的值（ ）． (B)

1e（A）e; ;

(C)e2;

(D)0.

'６．函数f(x)在x=x0处的导数f(x0)可定义 为（ ）．

（A）

f(x)?f(x0)x?x0 ; (B)limf(x??x)?f(x)?x ;

x?x0 (C) limf?x??f?0??x?x?

数学分析题库（1-22章）

三 判断题

1. 数列{an}收敛的充要条件是数列{an}有界.

( )

2. 若?N?0, 当n?N时有an?bn?cn, 且liman?limcn, 则limbn不存在. ( )

n??n??n??03. 若limf(x)?limg(x), 则存在 U0(x0;?)使当x?U(0x?x0x?x0x?;时,有)f(x)?g(x).( )

4. f(x)为x?x0时的无穷大量的充分必要条件是当x?U0(x0;?)时,f(x)为无界函数.( ) 5. x?0为函数

sinxx的第一类间断点. ( )

6. 函数f(x)在[a,b]上的最值点必为极值点. ( )

??12?x7. 函数f(x)??e,??0,x?0,在x?0处可导. ( )

x?0 8. 若|f(x)|在[a,b]上连续, 则f(x)在[a,b]上连续. ( )

9. 设f为区间I上严格凸函数. 若x0?I为f的极小值点，则x0为f在I上唯一的极小值点. ( )

10. 任一实系数奇次方程至少有两个实根.

第2，3，11章 习题解答

习题2-1

1. 若自然数n不是完全平方数.证明n是无理数. 证明 反证法. 假若n?pq(p,q?N,且p,q互质)，于是由nq2?p2可知,q2是

p2的因子，从而得q2?1即p2?n,这与假设矛盾.

2. 设a,b是两个不同实数.证明在a和b之间一定存在有理数.

证明 不妨设a0, 所以存在正整数n,使得0

1

mm综上可得 na

nn3. 设x为无理数.证明存在无穷多个有理数

pq(p,q为整数，q?0)使得x?pq?1q2.

证明 反证法. 假若只有有限个有理数满足不等式,即

x?令

piqi<

1qi2 , (i?1,2,3?,m)

??p??min?x?ii?1,2,3,?,m?

qi??取 N:N?1, 且选取整数p,q(0?q?N), 使得 ?p111, x??N?2

qqqNp1??N???, qqq qx?p?但因q是正整数，故又有x?从而可知

习题2-2

ppi? (i?1,2,3,?m), 这与假设矛盾. qqi1．求下列数集的上、下确界. （1）?1???1??1? n?N?, （2）?(1?)nn?N?,

《数学分析》(三)――参考答案及评分标准

一. 计算题（共8题，每题9分，共72分）。

111. 求函数f(x,y)?3xsin?3ysin在点(0,0)处的二次极限与二重极限.

yx11解： f(x,y)?3xsin?3ysin?3x?3y，因此二重极限为0.……(4分)

yx1111因为lim3xsin?3ysin与lim3xsin?3ysin均不存在，

x?0yxy?0yx故二次极限均不存在。 ……(9分)

?z?xf(x?y),?y?y(x),2. 设? 是由方程组?所确定的隐函数,其中f和F分别

F(x,y,z)?0z?z(x)??dz具有连续的导数和偏导数,求.

dx解： 对两方程分别关于x求偏导:

dy?dz?f(x?y)?xf?(x?y)(?1)， ??dxdx? ……(4分)

dydz?F?F?Fz?0。 xy?dxdx?dzFy?f(x?y)?xf?(x?y)(Fy?Fx)?解此方程组并整理得. ……(9分) dxFy?xf?(x?y)Fz

3. 取?,?为新自变量及w?w(?,v)为新函数，变换方程

1 习题 16.

2 Fourier 级数的收敛判别法

1．设)(x ψ在[,)0+∞上连续且单调，0)(lim =+∞

→x x ψ，证明 0sin )(lim 0=?∞++∞→dx px x p ψ.

证 因为0)(lim =+∞

→x x ψ，所以存在0>N ，使得当N x ≥时，1|)(|

()sin ()sin ()sin A

A N N x px dx N px dx A px dx ξξψψψ=+??? 4sin sin A N px dx px dx p

ξ

ξ<+≤??（N A >?）， 因此p dx px x N 4sin )(≤

?∞+ψ，从而 lim ()sin 0N p x pxdx ψ+∞→+∞=?。

而由Riemann 引理，

0sin )(lim 0=?+∞→N p dx px x ψ。

因此

00lim ()sin lim ()sin lim ()sin 0N N p p p x px dx x px dx x px dx ψψψ+∞+∞→+∞→+∞→+∞=+=???。

2．设函数)(u ψ在],[ππ-上可积或绝对可积，在u =0点连续且有单侧导数，证明

??--=--+∞→πππψψψ02cot )]()([212

sin 2cos 2c

玉林师范学院课程期末考试试题参考答案及评分标准 （2006——2007学年度第二学期） 命题教师：梁志清 命题教师所在系：数计系 试卷类型：（A）

装

订 线 装 订 线

课程名称：数学分析Ⅳ 考试专业：数学与应用数学 年级： 2005

题号 应得分 一 20 二 15 三 42 四 7 五 16 总分 一 填空题 （每小题2分）

1 1； 2 (n?1)!； 3

2； 4 1； 5 1； 6 2?10dx?f(x,y)dy；

x17 x3?y3?3xy?c；8

2?6；9 ?a；10 。 34二 单项选择题 (每小题3分)

1 A； 2 B； 3 B； 4 D；5 C。

三 计算题

22 1 L：x?y?2y，令x?cos?,y?1?sin?,则0???2? ??2分

于是ds?d? ??3分

?(xL2?y)ds??2(1?sin?)d?

成绩

数学分析(3)期末试卷

2005年1月13日

班级_______ 学号_________ 姓名__________

考试注意事项：

1. 考试时间：120分钟。 2. 试卷含三大题，共100分。

3. 试卷空白页为草稿纸，请勿撕下！散卷作废！ 4. 遵守考试纪律。

一、填空题(每空3分，共24分)

1、 设u?xytanz，则全微分du?__________________________。

2、 设u?xy2z3，其中z?f(x,y)是由x3?y3?z3?3xyz所确定的隐函数，则

ux?_________________________。

3、 椭球面x2?y2?4z2?1在点M(2,1,1)处的法线方程是__________________。 sinx4、 设F(x)??则F?(x)?__________________。 f(x2,y)dy,f(x,y)有连续偏导数，

x5、 设L是从点(0,0)到点(1,1)的直线段，则第一型曲线积分?xyds?_____________。

L6、 在xy面上，若圆D?(x,y)|x2?y2?1的密度函数为?(x,y)?1，则该圆关

于原点的转动惯量的二重积分表达式为_____

玉林师范学院课程期末考试试题参考答案及评分标准 （2006——2007学年度第二学期） 命题教师：梁志清 命题教师所在系：数计系 试卷类型：（A）

装

订 线 装 订 线

课程名称：数学分析Ⅳ 考试专业：数学与应用数学 年级： 2005

题号 应得分 一 20 二 15 三 42 四 7 五 16 总分 一 填空题 （每小题2分）

1 1； 2 (n?1)!； 3

2； 4 1； 5 1； 6 2?10dx?f(x,y)dy；

x17 x3?y3?3xy?c；8

2?6；9 ?a；10 。 34二 单项选择题 (每小题3分)

1 A； 2 B； 3 B； 4 D；5 C。

三 计算题

22 1 L：x?y?2y，令x?cos?,y?1?sin?,则0???2? ??2分

于是ds?d? ??3分

?(xL2?y)ds??2(1?sin?)d?

数学分析（2）期末试题

课程名称 数学分析（Ⅱ） 适 用 时 间 试卷类别 1 适用专业、年级、班 应用、信息专业

一、单项选择题（每小题3分，3×6＝18分）

1、 下列级数中条件收敛的是（ ）．

A ．1(1)n n ∞=-∑

B ． 1n

n ∞= C ． 21(1)n n n ∞=-∑ D ． 11(1)n

n n ∞=+∑

2、 若f 是(,)-∞+∞内以2π为周期的按段光滑的函数, 则f 的傅里叶（Fourier ）级数在

它的间断点x 处 （ ）．

A ．收敛于()f x

B ．收敛于1((0)(0))2

f x f x -++ C ． 发散 D ．可能收敛也可能发散

3、函数)(x f 在],[b a 上可积的必要条件是（ ）．

A ．有界

B ．连续

C ．单调

D ．存在原函数

4、设()f x 的一个原函数为ln x ，则()f x '=（ ）

A ．

1x B ．ln x x C ． 21x

- D ．