高等几何第三版答案梅向明

微分几何主要习题解答

第一章 曲线论

§2 向量函数

5. 向量函数r(t)具有固定方向的充要条件是r(t) ×

???????r'(t)= 0。

? 分析：一个向量函数r(t)一般可以写成r(t)=?(t)e(t)的形式，其中e(t)为单位向

??量函数，?(t)为数量函数，那么r(t)具有固定方向的充要条件是e(t)具有固定方向，??即e(t)为常向量，（因为e(t)的长度固定）。

????? 证 对于向量函数r(t)，设e(t)为其单位向量，则r(t)=?(t)e(t)，若r(t)具有固

????????定方向，则e(t)为常向量，那么r'(t)=?'(t)e，所以 r×r'=??'（e×e）=0。

?????????反之，若r×r'=0 ，对r(t)=?(t)e(t) 求微商得r'=?'e+?e'，于是r×

?????????2r'=?（e×e'）=0，则有 ? = 0 或e×e'=0 。当?(t)= 0时，r(t)=0可与任意方

???????????向平行；当??0时，有e×e'=0，而（e×e')2=e2e'2-(e·e')2＝e'2，（因为e??????具有固定长， e·e'= 0） ，所以 e'=0，即e为常向量。所以

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§4.直纹面和可展曲面

?12 1. 证明曲面r={u2?v,2u3?uv,u4?u2v}是可展曲面.

33?r12证法一： 已知曲面方程可改写为r={u2,2u3,u4}+v{,u,u2}，令a(u)={u2,2u3,u4}，

33rrr?r122rb(u)={,u,u}，则=a(u)+ vb(u)，且b(u)?0，这是直纹面的方程 ，它满足

332u6u2rrr1u(a',b,b')=3014u322u=0 ,所以所给曲面为可展曲面。 34u3证法二：证明曲面的高斯曲率为零。（略）

rrb(v)={-sinv, cosv,1} ，易见b(v)?0，所以曲面为直纹面，又因为

?2sinv?vcosv2cosv?vsinv2rrr?sinvcosv1=0，所以所给曲面为可展曲面。 (a',b,b')=

?cosv?sinv0证法二：证明曲面的高斯曲率为零。（略）

?2。证明曲面r={cosv-(u+v)sinv, sinv+(u+v)cosv,u+2v}是可展曲面。

r?rr证法一： 曲面的方程可改写为 r=a(v)+ ub(v)，其中a(v)={cosv-vsinv,

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§4.直纹面和可展曲面

?12r 1. 证明曲面={u2?v,2u3?uv,u4?u2v}是可展曲面.

33?12r证法一： 已知曲面方程可改写为={u2,2u3,u4}+v{,u,u2}，令

33rrr?rr122234a(u)={u,2u,u}，b(u)={,u,u}，则r=a(u)+ vb(u)，且b(u)?0，这是直

33纹面的方程 ，它满足

2u6u2rrr1u(a',b,b')=3014u322u=0 ,所以所给曲面为可展曲面。 34u3证法二：证明曲面的高斯曲率为零。（略）

?2。证明曲面r={cosv-(u+v)sinv, sinv+(u+v)cosv,u+2v}是可展曲面。

r?rr证法一： 曲面的方程可改写为 r=a(v)+ ub(v)，其中a(v)={cosv-vsinv, rrsinv+vcosv, 2v}，b(v)={-sinv, cosv,1} ，易见b(v)rrr又因为(a',b,b')=

?2sinv?vcosv2cosv?vsinv2?sinv?cosvcosv?sinv1=0，所以所给曲面为可展曲面。 0?0，所以曲面为直纹面，

证法二

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§4.直纹面和可展曲面

?12r 1. 证明曲面={u2?v,2u3?uv,u4?u2v}是可展曲面.

3333rrr?rr122234vb(u)，且b(u)?0，这是a(u)={u,2u,u}，b(u)={,u,u}，则r=a(u)+

33直纹面的方程 ，它满足

?12r证法一： 已知曲面方程可改写为={u2,2u3,u4}+v{,u,u2}，令

2u6u2rrr1u(a',b,b')=3014u322u=0 ,所以所给曲面为可展曲面。 34u3证法二：证明曲面的高斯曲率为零。（略）

?2。证明曲面r={cosv-(u+v)sinv, sinv+(u+v)cosv,u+2v}是可展曲面。

r?rr证法一： 曲面的方程可改写为 r=a(v)+ ub(v)，其中a(v)={cosv-vsinv, rrsinv+vcosv, 2v}，b(v)={-sinv, cosv,1} ，易见b(v)?0，所以曲面为直纹

1=0，所以所给曲面为0rrr面，又因为(a',b,b')=可展曲面。

?2sinv?vcosv2cosv?vsinv2?sinv?cosvcosv?sinv证法二

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§4.直纹面和可展曲面

?12 1. 证明曲面r={u2?v,2u3?uv,u4?u2v}是可展曲面.

33?r12证法一： 已知曲面方程可改写为r={u2,2u3,u4}+v{,u,u2}，令a(u)={u2,2u3,u4}，

33rrr?r122rb(u)={,u,u}，则=a(u)+ vb(u)，且b(u)?0，这是直纹面的方程 ，它满足

332u6u2rrr1u(a',b,b')=3014u322u=0 ,所以所给曲面为可展曲面。 34u3证法二：证明曲面的高斯曲率为零。（略）

rrb(v)={-sinv, cosv,1} ，易见b(v)?0，所以曲面为直纹面，又因为

?2sinv?vcosv2cosv?vsinv2rrr?sinvcosv1=0，所以所给曲面为可展曲面。 (a',b,b')=

?cosv?sinv0证法二：证明曲面的高斯曲率为零。（略）

?2。证明曲面r={cosv-(u+v)sinv, sinv+(u+v)cosv,u+2v}是可展曲面。

r?rr证法一： 曲面的方程可改写为 r=a(v)+ ub(v)，其中a(v)={cosv-vsinv,

一、最大公因式的概念及求法 二、互素及其等价刻画 三、多项式组情形第一章 多项式

一、最大公因式概念及求法定义1 如果 ( x)既是f ( x)的因式，又是g ( x) 的因式，那么 ( x)就称为f ( x)与g ( x)的一个 公因式定义2 设f ( x),g ( x)是P[ x]中的两个多项式， P[ x]中的多项式d ( x)称为f ( x)与g ( x)的一个 最大公因式，如果满足 (1) d ( x)是f ( x), g ( x)的公因式； (2) f ( x), g ( x)的公因式全是d ( x)的因式.第一章 多项式

引理 1

如果有等式 f ( x) q( x) g ( x) r ( x)

成立， 那么 f ( x) ,g ( x)和g ( x) , r ( x)有相同的公因式 .定理2 对于P[x]中任意两个多项式f ( x), g ( x),

在p( x)中存在一个最大公因式d ( x), 且d ( x)可以 表成f ( x), g ( x)的一个组合，即有P[x]中多项式 u ( x), v( x)使 d ( x) u ( x) f ( x) v( x) g ( x)第一章 多项式

注1、两个多项式的最大公因

高等代数（北大*第三版）答案1

目录

第一章 多项式 第二章 行列式 第三章 线性方程组 第四章 矩阵 第五章 二次型 第六章 线性空间 第七章 线性变换 第八章 ?—矩阵

第九章 欧氏空间

第十章 双线性函数与辛空间

注：

答案分三部分，该为第一部分，其他请搜索，谢！

谢第一章 多项式

1． 用g(x)除f(x)，求商q(x)与余式r(x)： 1）f(x)?x?3x?x?1,g(x)?3x?2x?1； 2）

322f(x)?x4?2x?5,g(x)?x2?x?2。

解 1）由带余除法，可得q(x)?217262x?,r(x)??x?； 39992）同理可得q(x)?x?x?1,r(x)??5x?7。 2．m,p,q适合什么条件时，有 1）x?mx?1|x?px?q， 2）x?mx?1|x?px?q。

解 1）由假设，所得余式为0，即(p?1?m)x?(q?m)?0，

224223?p?1?m2?023所以当?时有x?mx?1|x?px?q。

?q?m?0?m(2?p?m2)?02）类似可得?，于是当m?0时，代入（2）可得p?q?1；而当2?q?1?

本文档本人精心修改,修正了很多辅导书中的错误!希望能对您有所帮助!

高等代数（北大第三版）答案

目录

第一章 多项式 第二章 行列式 第三章 线性方程组 第四章 矩阵 第五章 二次型 第六章 线性空间 第七章 线性变换 第八章 —矩阵

第九章 欧氏空间

第十章 双线性函数与辛空间

注：

答案分三部分，该为第二部分，其他请搜索，谢谢！

本文档本人精心修改,修正了很多辅导书中的错误!希望能对您有所帮助!

12．设A为一个n级实对称矩阵，且A 0，证明：必存在实n维向量X 0，使

X AX 0。

证 因为A 0，于是A 0，所以rank A n，且A不是正定矩阵。故必存在非退化线性替换X CY使

1

AX Y C 1ACY Y BY X

y1 y2 yp yp 1 yp 2 yn，

1

且在规范形中必含带负号的平方项。于是只要在Z CY中，令y1 y2 yp

2

2

2

2

2

2

0,yp 1 yp 2 yn 1,则可得一线性方程组

c11x1 c12x2 c1nxn 0 cp1x1 cp2x2 cpnxn

第一章 温度

1-1 在什么温度下,下列一对温标给出相同的读数：（1）华氏温标和摄氏温标；（2）华氏温标和热力学温标；（3）摄氏温标和热力学温标？

解：（1）

当 时，即可由 时

，解得

故在 （2）又

当 时 则即

解得： 故在 （3）

若

则有

时，

显而易见此方程无解，因此不存在

的情况。

1-2 定容气体温度计的测温泡浸在水的三相点槽内时，其中气体的压强为50mmHg。 （1）用温度计测量300K的温度时，气体的压强是多少？ （2）当气体的压强为68mmHg时，待测温度是多少？

解：对于定容气体温度计可知：

(1)

(2)

1-3 用定容气体温度计测得冰点的理想气体温度为273.15K，试求温度计内的气体在冰点时的压强与水的三相点时压强之比的极限值。

解：根据 已知 冰点

。

1-4 用定容气体温度计测量某种物质的沸点。 原来测温泡在水的三相点时，其中气体的压强

；当测温泡浸入待测物质中时，测得的压强值为

减为200mmHg时,重新测得

,当从

,当再抽出一些

测温泡

Unit 7 参观访问Extra Text for Practice

Passage One

汉译英：

1、上海博物馆是一座大型中国古代艺术博物馆，创建于1952年，并于1992年在市中心人民广场的新址上兴建新馆。1996年雄伟壮观的上海博物馆新馆全面对外开放，计有11个专馆和3个展览馆，开放面积达1万余平方米。上海博物馆的馆藏珍贵文物12万件，包括青铜器、陶瓷器、书法、绘画、雕塑、家具、玉牙器、竹木漆器、甲骨、玺印、钱币、少数民族工艺等21个门类，其中青铜器、陶瓷器和书画为馆藏三大特色。

The Shanghai Museum is a large museum of ancient Chinese art. The museum was first established in 1952, and in 1992 it acquired a new site on the downtown People's Square. The magnificent new Shanghai Museum was open in its entirety to public visitors in 1996, with eleven galler