小学奥数同余定理

小学奥数同余问题

同余问题（一）

在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。如：现在时刻是7时30分，再过52小时是几时几分？我们知道一天是24

小时，

，也就是说52小时里包含两个整天再加上4小时，这样就在7

时30分的基础上加上4小时，就是11时30分。很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。

1. 同余的表达式和特殊符号

37和44同除以7，余数都是2，把除数7称作“模7”，37、44对于模7同余。

记作：（mod7） “”读作同余。

一般地，两个整数a和b，除以大于1的自然数m所得的余数相同，就称a、b对于模m同余，记作：

2. 同余的性质

（1）（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。）

（2）若，那么（这称作同余的对称性）

（3）若性）

（4）若，，则（这称为同余的传递，，则（）（这称为同余的可加性、可减性）

（称为同余的可乘性）

（5）若有趣的现象：

如果 ，则，n为正整数，同余还有一个非常

小学奥数同余问题

那么（的差一定能被k整除）

这是为什么呢？

k也就是的公约数，所以有

下面我们应用同余的这些性质解题。

【例题分析】

例1. 用412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？

分析与解答：

假设这个自然数是a，

第六讲 数论之同余定理、个位律 射雕英雄传第29回写到,黄蓉给瑛姑出了三道算题.其中第三题是想 所谓的“鬼谷算题”:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七 挑七数之剩二,问物几何? 战 这个其实是我国古代比较有名的一道题.你能答出黄蓉的这道题 吗？ 吗 ？ 回顾

【例1】 （北大附中入学测试题）有一个自然数，用它分别去除63，90，130都有余数，这三个余数的和是25。这三个余数中最大的一个是多少？

【例2】 （人大附中入学测试题）一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少？

专题

题型一、余数规律

余数定理：

a：两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。

实例：7÷3=?1，5÷3=?2，这样（7+5）÷3的余数就等于1+2=3，所以余0。 b: 两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。

实例：8÷3=?2，4÷3=?1，这样（8-4）÷3的余数就等于2-1=1，所以余1。 如果是（7-5）÷3呢? 会出什么问题？

c: 两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。

实例：7÷3=?1，5÷3=?2，

第六讲 数论之同余定理、个位律 射雕英雄传第29回写到,黄蓉给瑛姑出了三道算题.其中第三题是想 所谓的“鬼谷算题”:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七 挑七数之剩二,问物几何? 战 这个其实是我国古代比较有名的一道题.你能答出黄蓉的这道题 吗？ 吗 ？ 回顾

【例1】 （北大附中入学测试题）有一个自然数，用它分别去除63，90，130都有余数，这三个余数的和是25。这三个余数中最大的一个是多少？

【例2】 （人大附中入学测试题）一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少？

专题

题型一、余数规律

余数定理：

a：两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。

实例：7÷3=?1，5÷3=?2，这样（7+5）÷3的余数就等于1+2=3，所以余0。 b: 两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。

实例：8÷3=?2，4÷3=?1，这样（8-4）÷3的余数就等于2-1=1，所以余1。 如果是（7-5）÷3呢? 会出什么问题？

c: 两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。

实例：7÷3=?1，5÷3=?2，

第六讲 数论之同余定理、个位律 射雕英雄传第29回写到,黄蓉给瑛姑出了三道算题.其中第三题是想 所谓的“鬼谷算题”:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七 挑七数之剩二,问物几何? 战 这个其实是我国古代比较有名的一道题.你能答出黄蓉的这道题 吗？ 吗 ？ 回顾

【例1】 （北大附中入学测试题）有一个自然数，用它分别去除63，90，130都有余数，这三个余数的和是25。这三个余数中最大的一个是多少？

【例2】 （人大附中入学测试题）一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少？

专题

题型一、余数规律

余数定理：

a：两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。

实例：7÷3=?1，5÷3=?2，这样（7+5）÷3的余数就等于1+2=3，所以余0。 b: 两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。

实例：8÷3=?2，4÷3=?1，这样（8-4）÷3的余数就等于2-1=1，所以余1。 如果是（7-5）÷3呢? 会出什么问题？

c: 两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。

实例：7÷3=?1，5÷3=?2，

数论之同余问题

余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。

许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”

余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。

知识点拨：

一、带余除法的定义及性质：

一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当r?0时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 (2)当r?0时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型:

如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。

并且可以看出余数一定要比除数小。

二、三大余数定理：

1.余数的加法定理

a与b的和除以c的余数

-- -- 1. 两数相除商３7余73，求被除数的最小值。

解析:28８1

2. 两数相除,商4余8，被除数、除数、商和余数的和为４１5，则被除数是多少？ 解析：被除数是424，除数是79.

3. 小明在做题的时候由于马虎,错把被除数360看做390，商比原来大了3,求原来 的除数。

解析：除数是10．

4. 小明在做题的时候由于马虎,错把被除数360看做390,商比原来大了3,余数也 比原来大了3.求原来的除数。

解析：除数是9.

5. 求算式３２１８+26－7５7除以9的余数。

解析:3.

6. 求413除以5的余数。

解析：１.

7. 2４６１×135×6047÷１1的余数是多少?

解析：5．

8. １９992０００÷7的余数是多少？

--

解析:0.

9.求1２34５6789101112……19９200除以9的余数是_＿___＿__;

解析：3．

１０. 数１1…１（20０７个1）,被１3除余多少?

解析：７

11.已知一个两位数除14７7,余数是49.那么,满足那样条件的所有两位数是．

解析:147７-49＝142８是这两位数的倍数，又1428=2×2×3×7×17＝5１&#

数论之同余定理、个位律

第六讲 数论之同余定理、个位律

射雕英雄传第29回写到,黄蓉给瑛姑出了三道算题.其中第三题是想所谓的“鬼谷算题”:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七挑七数之剩二,问物几何?

战 这个其实是我国古代比较有名的一道题.你能答出黄蓉的这道题吗？ 吗？回顾

【例1】 （北大附中入学测试题）有一个自然数，用它分别去除63，90，130都有余数，这三个余数的和是25。这三个余数中最大的一个是多少？

【例2】 （人大附中入学测试题）一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少？

数论之同余定理、个位律

专题

题型一、余数规律 余数定理：

a：两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。

实例：7÷3= 1，5÷3= 2，这样（7+5）÷3的余数就等于1+2=3，所以余0。

b: 两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。

实例：8÷3= 2，4÷3= 1，这样（8-4）÷3的余数就等于2-1=1，所以余1。

如果是（7-5）÷3呢? 会出什么问题？

c: 两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。

实例：7÷3= 1，5

几何之蝴蝶定理

一、 基本知识点

定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比 等于对应底边之比。

S1 : S2 = a : b

定理2：等分点结论( 鸟头定理)

如图，三角形△AED的面积占三角形△ABC的面积的

313?? 5420

定理3：任意四边形中的比例关系( 蝴蝶定理)

1） S1∶S2 =S4∶S3 或 S1×S3 = S2×S4

上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积

2）AO∶OC = （S1＋S2）∶（S4＋S3）

梯形中的比例关系( 梯形蝴蝶定理)

1）S1∶S3 =a2∶b2

上、下部分的面积比等于上、下边的平方比

2）左、右部分的面积相等

3）S1∶S3∶S2∶S4 =a2∶b2 ∶ab∶ab

4）S的对应份数为（a+b）2

定理4：相似三

练习二（余数定理）

A组

1、甲数除以11的余数为9，乙数除以11的余数为7，丙数除以11的余数为6，那么：

①（甲数＋乙数＋丙数）÷11的余数为 ； ②（甲数＋乙数－丙数）÷11的余数为 ； ③（甲数×乙数×丙数）÷11的余数为 ； ④（甲数－乙数＋丙数）÷11的余数为 。

2、17×354×409×672除以3所得的余数是 。

3、5678964×47165432的积除以7的余数是 。

4、19917被7除，余数是 。

5、（203×203×…×203－2003）除以29的余数是 。 2002个203

6、某个大于1的自然数分别除442、297、210得到相同的余数，则该自然数是 。

7、有一个（大于1）数，除300，262，205得到相同的余数，这个数 是 （第一届华杯赛题）

8、某个自然数分别除13511、13903、14589得到的余数相同，则该自然数最大是 。

9、有一个自然数，用它分别去除63、91、129得到三个余数的和是25，这个数是 。（1998年

自己领悟把

一．计算机中随机数的产生

现在，在计算机，用来产生随机数的算法是“线性同余”法。所谓线性同余，其实就是下面两个式子。假设I就是一个随机数的序列，Ij+1与Ij的关系如下： Ij+1 =Ij * a+c (mod m) 或是Ij+1 =Ij *a (mod m)，

其中，不妨取a=16807，m=2147483647，以为一常数。写个简单的程序就是： long r;

void scand( long v)//初始化随机种子数 { r = v; }

long rand()//产生随机数 {

r = (r*a + c)%m;//a,c,m为常数 return r; }

再看一下稍复杂一点的：(Random () 的 Borland 的实现) long long RandSeed = #### ; unsigned long Random(long max) {

long long x ; double i ;

unsigned long final ; x = 0xffffffff; x += 1 ;

RandSeed *= ((long long)134775813); RandSeed += 1 ;

RandSeed