大一线性代数经典例题

《线性代数》复习题

?100????11、设P??010?，则P=______________.

?k01????100????12、设A??001?，则A=______________.

?010???3、(1)已知四阶行列式D中第一行元素依次为1,1,1,1它们的代数余子式依次分别为1,2,3,4,则D=________．

(2) (1)已知四阶行列式D中第一行元素依次为1,1,1,1它们的余子式依次分别为1,2,3,4,则

D=________．

?100??010??123???????4、已知010A100?456，则A?__________．

???????0-11??001??789???????5、齐次线性方程组?23?x1?2x1?x2?x2?x3?x3?0 的解空间的维数为___________． ?0?100???*6、设A为3阶方阵，A为A的伴随矩阵，且A?3，而A?001??B.则

?010???A?B?_______ ．

?1?17、设A???2??11?1??0?4?，且r?A??2，则k=_____________．

0?8??2k??100????18、已知3阶方阵A与P，P可逆且满足PAP??020?,则A

《线性代数》复习题

?100????11、设P??010?，则P=______________.

?k01????100????12、设A??001?，则A=______________.

?010???3、(1)已知四阶行列式D中第一行元素依次为1,1,1,1它们的代数余子式依次分别为1,2,3,4,则D=________．

(2) (1)已知四阶行列式D中第一行元素依次为1,1,1,1它们的余子式依次分别为1,2,3,4,则

D=________．

?100??010??123???????4、已知010A100?456，则A?__________．

???????0-11??001??789???????5、齐次线性方程组?23?x1?2x1?x2?x2?x3?x3?0 的解空间的维数为___________． ?0?100???*6、设A为3阶方阵，A为A的伴随矩阵，且A?3，而A?001??B.则

?010???A?B?_______ ．

?1?17、设A???2??11?1??0?4?，且r?A??2，则k=_____________．

0?8??2k??100????18、已知3阶方阵A与P，P可逆且满足PAP??020?,则A

01A Am n,Bn m(m n), n ( ).

(A)BA;(B)AB;(C)(BA)T;(D)ATBT.

01B , ( ).

(A)(AB)T ATBT;

(B) A B, |A| |B|;

(C) A,B , A B ;

(D)A2 E2 (A E)(A E).

01C , ( ).

(A) A n , (A E)(A E) (A E)(A E);

(B) A,B n 1 , ATB BTA;

(C) A,B n , AB 0, (A B)2 A2 B2;

(D) A n , AmAk AkAm.

01D n (1/2,0, ,0,1/2), A E T ,B E 2 T , E n , AB ( ).

(A)O;(B) E;(C)E;(D)E

线性代数

第一章 行列式

典型例题

一、利用行列式性质计算行列式

二、按行（列）展开公式求代数余子式

12343344??6，试求A41?A42与A43?A44.

15671122 已知行列式D4?三、利用多项式分解因式计算行列式

1112?x21．计算D?1313xbcbxc2．设f(x)?bcxbcd2323.

1519?x2dd，则方程f(x)?0有根x?_______. dx四、抽象行列式的计算或证明

1.设四阶矩阵A?[2?,3?2,4?3,?4],B?[?,2?2,3?3,4?4]，其中?,?,?2,?3,?4均为四维列向量，且已知行列式|A|?2,|B|??3,试计算行列式|A?B|. 2.设A为三阶方阵，A*为A的伴随矩阵，且|A|??(3A)?1?2A*O?2??.

OA??1，试计算行列式23.设A是n阶(n?2)非零实矩阵，元素aij与其代数余子式Aij相等，求行列式|A|.

?210??,矩阵B满足ABA*?2BA*?E,则|B|?_____. 1204.设矩阵A??????001??5.设?1,?2,?3均为3维列向量，记矩阵

A?(?1,?2,?3),B?(?1??2??3,?1?2?24?3,?1?3?2?

《数学实验》在线习题3

Matlab程序设计部分 一. 分

析

向

量

组

a1?[1T2a23?]?,?T[a31T?2，0],a4?[1?2?1]T，a5?[246]T的线性相关性，找出它们的最大无关组，并将其

余向理表示成最大无关组的线性组合。

解， a1=[1 2 3]';

a2=[-1 -2 0]'; a3=[0 0 1]'; a4=[1 -2 -1]'; a5=[2 4 6]'; A=[a1,a2,a3,a4,a5] ; [R,S]=rref(A) r=length(S)

R =

1.0000 0 0.3333 0 2.0000 0 1.0000 0.3333 0 0 0 0 0 1.0000 0 S =

1 2 4 r =

3

线性相关 a1,a2,a3,a4,a5 最大无关组是a1,a2,a4

其余向量的线性组合是a3=1/3a1+1/3a2 a5=2a1

二. 计算行列式

《数学实验》在线习题3

Matlab程序设计部分 一. 分

析

向

量

组

a1?[1T2a23?]?,?T[a31T?2，0],a4?[1?2?1]T，a5?[246]T的线性相关性，找出它们的最大无关组，并将其

余向理表示成最大无关组的线性组合。

解， a1=[1 2 3]';

a2=[-1 -2 0]'; a3=[0 0 1]'; a4=[1 -2 -1]'; a5=[2 4 6]'; A=[a1,a2,a3,a4,a5] ; [R,S]=rref(A) r=length(S)

R =

1.0000 0 0.3333 0 2.0000 0 1.0000 0.3333 0 0 0 0 0 1.0000 0 S =

1 2 4 r =

3

线性相关 a1,a2,a3,a4,a5 最大无关组是a1,a2,a4

其余向量的线性组合是a3=1/3a1+1/3a2 a5=2a1

二. 计算行列式

序 言

线性代数课程的特点是：

四多：概念多，定理多，符号多，运算规律多，且内容相互纵横交错。知识前后紧密联系。考生应充分理解概念、掌握定理的条件、结论，熟悉符号的意义，掌握各种运算规律、计算方法。抓联系，找规律，重应用。

行列式的重点是计算，利用性质熟练、准确、快捷的计算出行列式的值是一个基本功。

矩阵中除可逆矩阵、分块矩阵、初等矩阵、对称矩阵、正交矩阵、数量矩阵等重要概念外，主要也是运算，首先是矩阵符号的运算，其次是数值运算。特别是在解矩阵方程时先用符号运算化简方程，然后利用所给数值求出最后结果。这时往往是矩阵乘法或求逆，对这两种运算又务必要准确熟练。A和A*的关系式，矩阵乘积的行列式，方阵的幂，分块矩阵求逆及行列式也是常考的内容。

关于向量，在加减及数乘运算上等同于矩阵运算，而其特有的相关、无关性的命题却在试卷中随处可见。证明（或判断）向量组的线性相关（无关）性，线性表出等问题的关键在于深刻理解线性相关（无关）的概念及几个相关定理，并要注意推证过程中逻辑的正确性及证法的应用。

向量组的极大无关性、等价向量组、向量组及矩阵的秩的概念，以及它们相互关系也是重点内容之一。用初等行变换求向量组及矩阵的秩的方法要熟练准确。在R?中，基、坐标

线性代数 第 1 次课

章节§1.1二阶与三阶行列式 §1.2全排列及其逆序数 名称 §1.3 n阶行列式的定义 目的要求 掌握二阶与三阶行列式的计算 理解n阶行列式的定义 序号 主 要 内 容 与 时 间 概 算 1 2 3 4 共计 主要内容 二元线性方程组与二阶行列式 三阶行列式 全排列及其逆序数 理解n阶行列式的定义 时间概算 20分钟 15分钟 15分钟 45分钟 95分钟 重点 用对角线法则进行二阶、三阶行列式的计算. 难点 理解n阶行列式的定义. 方法 板书 手段 课堂 二元线性方程组消元法. 三阶行列式的课堂练习计算结果 思 考 题 作 业 题 《最新线性代数习题全解》同济四版配套辅导. 王治军 主编 中国建材参考 工业出版社2003.8 资料 《线性代数》重点内容重点题 杨泮池 赵彦晖 褚维盘 编著 西安交通大学出版社，2004.3

提 问 本次课内学员基本掌握了本次课的内容, 达到了教学目的. 容总结 x已知f(x)?121xx3112x213,求x3的系数. 2x 练习册 练习一 线性代数 第 2 次课

章节§1.4对

《线性代数》模拟试卷（一）

一. 一. 填空题(20/5)

1.已知A是5阶方阵,且|A|?2,则|A*|?____________.

2.设A?(aij)1?3,B?(bij)3?1,则B?A??______________.

3.设?1?(3,3,3),?2?(?1,1,?3),?3?(2,1,3),则?1,?2,?3线性_____关.

4.若A100?0,则(I?A)?1?_____________.

?12?5.设|A|?0,??2为A的特征值,则A有一特征值为_________,?A??3?有一特征值为__________.

二. 二. 选择填空(20/5)

?.1.设A,B为n阶对称矩阵,则下面四个结论中不正确的是?2?1A.A?B也是对称矩阵B.AB也是对称矩阵D.AB??BA?也是对称矩阵

C.Am?Bm(m?N?)也是对称矩阵

?A?0?2.设A和B都是n阶可逆矩阵,则(?2)??1????0B?A.(?2)2n|A||B|?1B.(?2)n|A||B|?1C.?2|A?||B|D.?2|A||B|?1

3.当n个未知量m个方程的齐次线性方程组满足条件??.

?时,此方程组一定有非零解.A.n

工 程 数 学

线性代数讲义

Linear Algebra Materials

卫 斌 教授 主讲

惠州学院数学系

Department of Mathematics Huizhou college

2009年9月

第1,2讲

第一章 行 列 式

行列式（determinant [di't?:min?nt]）是研究线性代数（linear algebra['?ld?ibr?]）的一个重要工具，在线性方程组、矩阵、二次型中都需要用到行列式.在数学的其它分支里也常常要用到行列式.因此我们在第一章里就向大家介绍行列式.

§1 二阶与三阶行列式

一、二元线性方程组与二阶行列式

行列式的概念是从解线性方程组的问题中引进来的.所谓线性方程组是指未知量的最高次数是一次的方程组.例如，解二元一次方程组

(1)?a11x1?a12x2?b1 ?

ax?a