幂零矩阵的jordan标准形性质

------------幂零矩阵的性质及应用

目录

幂零矩阵的概念 幂零矩阵的性质 特殊的幂零矩阵 幂零矩阵的应用

------------幂零矩阵的性质及应用定义一

定义二

------------幂零矩阵的性质及应用

------------幂零矩阵的性质及应用

特殊的幂零矩阵 1、A为实对称矩阵且 A2 0 阵都是相似. 3、所有 n阶n-1次幂零矩阵相似(n-1为幂 零指数). ,则有 A=0.

2、所有n 阶幂零指数等于其阶数的幂零矩

------------幂零矩阵的性质及应用

利用幂零矩阵的性质来简化矩阵求逆的计算

1. 可表为幂零矩阵与单位矩阵和的矩阵的逆. 若矩阵A可表示为幂零 矩阵与单位矩阵的和，则可借用二项式展 开定理，将矩阵A的逆转 化为单位矩阵与幂零矩阵的乘幂. 2. 主对角线上元素完全相同的三角矩阵的逆. 对于主对角线元素完 全相同的三角矩阵可表示为数量矩阵和幂零矩阵的和 3. 可表示为若当矩阵的幂的和的矩阵的逆

------------幂零矩阵的性质及应用一个例子

------------幂零矩阵的性质及应用幂零矩阵其他重要的应用1、对于n维线性空间v,必存在 的一组基使得由v的幂零线性变换生成的 幂零代数N中任意元素在该基

幂零矩阵性质及应用

数本041 严益水 学号：410401109

摘要：

幂零矩阵是一类特殊的矩阵，在矩阵理论中有重要的作用。它具有一些很好的性质。本文从矩阵的不同角度讨论了幂零矩阵的相关性质。幂零矩阵与若当形矩阵结合可得一个很好性质，在解相关矩阵问题有很好作用，由此我们举例说明，从例子中发现了问题并对此问题进行思考得出了一些结论，对幂零矩阵的研究很有意义。在一般矩阵中，求矩阵的逆比较麻烦，本文最后利用幂零矩阵特殊性讨论了三类特殊矩阵逆的求法。

关键词：幂零矩阵 若当块 特征值 幂零指数 一、 预备知识

（下面的引理和概念来自《高等代数解题方法与技巧》 李师正 高等教育出版社、《高等代数》（第二版） 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组 高等教育出版社、 《高等代数选讲》 陈国利 中国矿业大学出版社及《高等代数习题集》（上册） 杨子胥 山东科学技术出版社）

（一） 一些概念

1、令A为n阶方阵，若存在正整数k，使Ak?0，A称为幂零矩阵。 2、若A为幂零矩阵，满足Ak?0的最小正整数称为A的幂零指数。

?a11?a1n??a11?an1?????3、设A??????，称A???????为A

幂零矩阵性质及应用

数本041 严益水 学号：410401109

摘要：

幂零矩阵是一类特殊的矩阵，在矩阵理论中有重要的作用。它具有一些很好的性质。本文从矩阵的不同角度讨论了幂零矩阵的相关性质。幂零矩阵与若当形矩阵结合可得一个很好性质，在解相关矩阵问题有很好作用，由此我们举例说明，从例子中发现了问题并对此问题进行思考得出了一些结论，对幂零矩阵的研究很有意义。在一般矩阵中，求矩阵的逆比较麻烦，本文最后利用幂零矩阵特殊性讨论了三类特殊矩阵逆的求法。

关键词：幂零矩阵 若当块 特征值 幂零指数 一、 预备知识

（下面的引理和概念来自《高等代数解题方法与技巧》 李师正 高等教育出版社、《高等代数》（第二版） 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组 高等教育出版社、 《高等代数选讲》 陈国利 中国矿业大学出版社及《高等代数习题集》（上册） 杨子胥 山东科学技术出版社）

（一） 一些概念

1、令A为n阶方阵，若存在正整数k，使Ak?0，A称为幂零矩阵。 2、若A为幂零矩阵，满足Ak?0的最小正整数称为A的幂零指数。

?a11?a1n??a11?an1?????3、设A??????，称A???????为A

讨论Jordan标准形及其过渡矩阵的求法

摘要：本文较系统的总结了Jordan标准形及其过渡矩阵的通用的求法。

关键字：Jordan标准形，特征向量，过渡矩阵

一、求解Jordan标准形

1、通过??矩阵求Jordan标准形

定义1：P是一个数域，?是一个文字，作多项式环P[?]。一个矩阵，若它的元素是?的多项式，称其为??矩阵，用A(?),B(?),?表示。

定义2：设??矩阵A(?)的秩为r，对于正整数k,1?k?r，A(?)中必有非零的k级子式，A(?)中全部k级子式的首相系数为1的最大公因式Dk(?)称为A(?)的k级行列式因子。

定义3：??矩阵的初等变换：P(i,j)、P(i(c))、P(i,j(?))。若A(?)经过有限次初等变换变为B(?)，称A(?)与B(?)等价。

在初等变换过程中，行列式因子是不变的，也就是说等价的??矩阵具有相同的行列式因子。对任意一个非零的s?n的??矩阵A(?)进行有限次适当的初等变换总能将其化为以下形式的??矩阵

1

?d1(?)???d(?)2???????d(?)r??

??0??????0???其中r?1,di(?)(i?1,2,?r)是首项系数为1的多项式，且di(

齐齐哈尔大学毕业设计（论文）

摘 要

在高等数学研究中，矩阵不仅是研究问题的一种重要工具而且在实际生活中具有广泛的应用,幂零矩阵是矩阵中满足Ak?0的一类比较特殊的矩阵，所以幂零矩阵在矩阵理论中占有非常重要的地位，同时在实际应用方面也具有特殊的意义。幂零矩阵具有很多很好的性质，本文归纳总结18条性质，共用到定理或引理14条，系统说明这些性质并给出相应的证明；如在求特殊矩阵的逆以及在若尔当标准型的计数方面等，本文深入挖掘这些性质，并且用不同的方法去分析、论证这些性质。同时本文幂零矩阵自身具有的一些特殊性质给出了论证，并举例加以说明。

本文同时探讨了2个矩阵是幂零矩阵的充分必要条件，并说明其在求矩阵的逆矩阵方面的方便化与简单化，体现了幂零矩阵的实用性以及研究的必要行；同时探讨了数域K上n阶矩阵与幂零矩阵简单的联系，比如可以利用n阶矩阵与幂零矩阵的运算解决需许多实际问题，即每一个奇异方阵均可表示成一个幂零方阵加上两个幂零方阵的乘积. 利用幂零矩阵的性质，可以把一个n阶方阵变为两个可逆矩阵与一个对角矩阵之和，进而方便研究矩阵的其他性质,并通过具体例子说明其在实际应运中的作用。

关键词：幂零矩阵；线性变换；逆矩阵；若尔当标准型；特征值

JIU JIANG UNIVERSITY

毕 业 论 文 （设 计）

题 目幂等矩阵的性质及应用 英文题目Properties and Application

of Idempotent Matrix

院 系 理学院 专 业 数学与应用数学 姓 名 邱望华 年 级 A0411 指导教师 王侃民

二零零八年 五月

摘 要

幂等矩阵在数学领域以及其他许多领域应用都非常广泛，因此对幂等矩阵进行探讨具有很重要的意义。本文主要是对幂等矩阵的一些性质和结论进行归纳总结并对相关性质进行推广。首先对幂等矩阵简单性质进行了归纳总结，接着谈到了实幂等矩阵的等价条件并推广到复矩阵以及高次幂等矩阵，然后研究了幂等变换、幂等矩阵线性组合的幂等性、幂等矩阵线性组合的可逆性、幂等矩阵秩有关的性质。

[关键词] 幂等矩阵，性质，幂等性，线性组合

I

Abstract

The idempotent matrix is widely applied in mathematics as well

齐齐哈尔大学毕业设计（论文）

摘 要

在高等数学研究中，矩阵不仅是研究问题的一种重要工具而且在实际生活中具有广泛的应用,幂零矩阵是矩阵中满足Ak?0的一类比较特殊的矩阵，所以幂零矩阵在矩阵理论中占有非常重要的地位，同时在实际应用方面也具有特殊的意义。幂零矩阵具有很多很好的性质，本文归纳总结18条性质，共用到定理或引理14条，系统说明这些性质并给出相应的证明；如在求特殊矩阵的逆以及在若尔当标准型的计数方面等，本文深入挖掘这些性质，并且用不同的方法去分析、论证这些性质。同时本文幂零矩阵自身具有的一些特殊性质给出了论证，并举例加以说明。

本文同时探讨了2个矩阵是幂零矩阵的充分必要条件，并说明其在求矩阵的逆矩阵方面的方便化与简单化，体现了幂零矩阵的实用性以及研究的必要行；同时探讨了数域K上n阶矩阵与幂零矩阵简单的联系，比如可以利用n阶矩阵与幂零矩阵的运算解决需许多实际问题，即每一个奇异方阵均可表示成一个幂零方阵加上两个幂零方阵的乘积. 利用幂零矩阵的性质，可以把一个n阶方阵变为两个可逆矩阵与一个对角矩阵之和，进而方便研究矩阵的其他性质,并通过具体例子说明其在实际应运中的作用。

关键词：幂零矩阵；线性变换；逆矩阵；若尔当标准型；特征值

下面是实现Gauss-Jordan法实矩阵求逆。

#include <stdlib.h>

#include <math.h>

#include <stdio.h>

int brinv(double a[], int n)

{ int *is,*js,i,j,k,l,u,v;

double d,p;

is=malloc(n*sizeof(int));

js=malloc(n*sizeof(int));

for (k=0; k<=n-1; k++)

{ d=0.0;

for (i=k; i<=n-1; i++)

for (j=k; j<=n-1; j++)

{ l=i*n+j; p=fabs(a[l]);

if (p>d) { d=p; is[k]=i; js[k]=j;}

}

if (d+1.0==1.0)

{ free(is); free(js); printf("err**not inv\n");

return(0);

}

if (is[k]!=k)

for (j=0; j<=n-1; j++)

{ u=k*n+j; v=is[k]*n+j;

p=a[u]; a[u]=a[v]; a[v]=p;

}

if

下面是实现Gauss-Jordan法实矩阵求逆。

#include <stdlib.h>

#include <math.h>

#include <stdio.h>

int brinv(double a[], int n)

{ int *is,*js,i,j,k,l,u,v;

double d,p;

is=malloc(n*sizeof(int));

js=malloc(n*sizeof(int));

for (k=0; k<=n-1; k++)

{ d=0.0;

for (i=k; i<=n-1; i++)

for (j=k; j<=n-1; j++)

{ l=i*n+j; p=fabs(a[l]);

if (p>d) { d=p; is[k]=i; js[k]=j;}

}

if (d+1.0==1.0)

{ free(is); free(js); printf("err**not inv\n");

return(0);

}

if (is[k]!=k)

for (j=0; j<=n-1; j++)

{ u=k*n+j; v=is[k]*n+j;

p=a[u]; a[u]=a[v]; a[v]=p;

}

if

第5讲 ?-矩阵与标准形

内容：1. 矩阵的Jordan标准形

2. 矩阵的最小多项式 3. ?-矩阵与Smith标准型 4. 多项式矩阵的互质性与既约性 5. 有理式矩阵的标准形及仿分式分解

?-矩阵又称多项式矩阵是矩阵理论中的重要内容，在线

性控制系统理论中有着重要的应用. 本讲讨论?-矩阵和数字矩阵的相似标准形、矩阵的Jordan标准形、矩阵的最小多项式、多项式矩阵与有理分式矩阵的标准形. §1 矩阵的Jordan标准形 1.1 矩阵相似

定义1.1 设A和B是矩阵，C和D是非奇异矩阵，若

B?DAC,则称A和B相抵；若B?CTAC,则称A和B相合（或合

同）；若B?C?1AC,则称A和B相似，即若A,B?Cn?n，存在P?Cnn?n,使得P?1AP?B，则称A与B相似，并称P为把A变成B的相似变换矩阵.特别，当PH?P?1,称A与B酉相似，当PT正交相似.

相似是矩阵之间的一种重要的关系. 相似矩阵具有以下性质：

?P?1,称A与B

定理1.1 设A,C,B?Cn?n, f(?)是一个多项式，则 （1） 反身性：A与A相似；

（2） 对称性：若A与B相似，则B与A也相似； （3） 传递性：若A相似于B，B相似于C，则A与C相似；