量纲分析理论与相似原理

量纲分析相似理论

第一章

相似理论和量纲分析

量纲分析相似理论

相似理论-举例1(自然灾害模拟)Lab-scale to Real-scale

explosion

实验室模拟：易于实现、经济、安全； 条件可控；获取的信息多、发现规律 问题：是否反映真实现象？如何应用？

量纲分析相似理论

举例3--小放大(易于观察测量)

量纲分析相似理论

举例4--单摆(量纲分析的优势)研究摆动周期问题(假想不知道牛顿第二定律)α主要影响因素：长度l、质量m重力加速g、角度α

l

Tp = f (l , m, g , α )无量纲化：取三个量纲独立的基本量l、m和g 则时间量纲为(长度/加速度)1/2

m

Tp

g发现规律：Tp = f(α)l / g )1/ 2 ( Tp 正比于l 1/ 2 , 反比于g 1/ 2 , 与m无关，Tp与α有关

(l / g )1/ 2

= f1 (1,1,1, α )次数 按后者 = 10次

Tp (l / g )1/ 2

= f 2 (α )

设计实验：每个因素取十组数据，次数 按前者 = 10 ×10 ×10 ×10 = 10 4 次减少实验量，发现规律，具有普适性，好处多多！!

量纲分析相似理论

举例5--边界层描述(普适性问题)速

相似性原理与量纲分析

1.弦长为3m的飞机机翼以300km/h的速度，在温度为20℃，压强为1at（n）的静止空气中飞行，用比例为20的模型在风洞中作试验，要求实现动力相似。(a) 如果风洞中空气温度、压强和飞行中的相同，风洞中的空气速度应该怎样？(b) 如果在可变密度的风洞中作实验，温度为20℃, 压强为30at(n), 则速度为多少？(c) 如果模型在水中作实验，水温20℃，则速度为多少？ 解：雷诺准数相等 （a）vnLn??vmLm?

vm?vnLnLm=300?20=6000km/h

不可能达到此速度，所以要改变实验条件 （b） ∵等温P?c，?不变，Re?vl??vl?pvl

????得vm?vnLnPnLmPm=300?20?1=200km/h 30（c）由vnLn=vmLm

?气?水得vm?vnLn?水=300?20×1.007=384km/h

?气Lm15.72.长1.5m，宽0.3m的平板在20℃的水内拖曳，当速度为3m/s时，阻力为14N，计算相似板的尺寸，它的速度为18m/s，绝对压强101.4kN/m2，温度15℃的空气气流中形成动力相似

条件，它的阻力为多少？ 解：由雷诺准数相等：

v1L1?1?v2L2?2?3?

相似原理及量纲分析

4-1 试导出用基本量纲L，T，M表示的体积流量功W和功率P的量纲。

qV，质量流量qm，角速度?，力矩M，

4-2用模型研究溢流堰的流动，采用长度比例尺

Cl?1/20。

（1）已知原型堰顶水头h=3m，

3q'?0.19ms，试求原型上的流量。（3）测V试求模型的堰顶水头。（2）测得模型上的流量

得模型堰顶的计示压强

p'c??1960Pa，试求原型堰顶的计示压强。

?0.15m;399.9m4-3有一内径d=200mm

3s;?39200Pa

??52??4.0?10ms的油，其流量的圆管，输送运动粘度

qV?0.12m3s。若用内径d=50mm的圆管并分别用20?C的水和20?C的空气作模型实验，

试求流动相似时模型管内应有的流量。 [7.553?10?4m3s;1.139?10?2m3s]

4-4 将一高层建筑的几何相似模型放在开口风洞中吹风，风速为风面点1处的计示压强在

v?10ms，测得模型迎

p'e1?980Pa，背风面点2处的计示压强p'e2??49Pa。试求建筑物

v?30ms强风作用下对应点的计示压强。 ?8820Pa;?441Pa?

4-5长度比例尺

Cl?1/40的船模，

第五章 量纲分析和液流相似原理

1、模型中测得闸孔收缩断面处的平均流速vm=1.5m/s，采用的长度比尺λl=25，则原型中收缩断面处的平均流速vp=37.5m/s。 ( ) 2、沿程水头损失系数λ的量纲与谢才系数c的量纲相同。 ( ) 3、水流在紊流粗糙区时，要做到模型与原型流动的重力和阻力相似，只要模型与原型的相对粗糙度相等，进行模型设计时就可用 ( )

(1) 雷诺相似准则 (2) 佛汝德相似准则 (3) 欧拉相似准则 (4) 韦伯相似准则 4、佛汝德相似准则考虑起主导作用的力是 ( )

(1)重力 (2)表面张力 (3)粘滞阻力 (

§5 量 纲 分 析 法 建 模

量纲分析(Dimensional Analysis)是20世纪初提出的在物理领域中建立数学模型的一种方法，它在经验和实验的基础上利用物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系．本节在一个例子的引导下先介绍量纲齐次原则和著名的BuckinghamPi定理，然后用这个定理讨论一个力学问题的建模方法，并介绍量纲分析在物理模拟中的应用．最后给出一种简化模型的方法——无量纲化． 一、量纲齐次原则

许多物理量是有量纲的，有些物理量的量纲是基本的，另一些物理量的量纲则可 以由基本量纲根据其定义或某些物理定律推导出来．例如在研究动力学问题时常把长 度l、质量m和时间t的量纲作为基本量纲，记以相应的大写字母L，M和T．于 是速度v、加速度a的量纲可以按照其定义分别用LT根据牛顿第二定律用质量和加速度量纲的乘积LMT万有引力定律f?km1m2r2?1和LT?2表示，力f的量纲则应

?2表示．有些物理常数也有量纲，如

fr2中的引力常数k，由 k?m1m2?1可知其量纲应从力f、距离r

和质量m的量纲求出，为LMT?2·L2·M?2=L3MT?2．通常，一个物理量q的量纲

记作[q]，于是上述各物理量

攀枝花学院

学生课程设计（论文）

题 目： 原子弹爆炸的能量估计与量纲分析 学生姓名： 学 号： 所在院(系)： 数学与计算机学院 专 业： 班 级： 指 导 教 师： 马 亮 亮

2016年 6 月 24 日 攀枝花学院教务处制

攀枝花学院本科学生课程设计任务书

题 目 1、课程设计的目的 原子弹爆炸的能量估计与量纲分析 通过课程设计，加深学生对代数方程，差分方程，以及二者构造的数学模型有更深刻的认识；同时，加强学生的自我学习能力和动手能力。 2、课程设计的内容和要求（包括原始数据、技术要求、工作要求等） 按照指导老师给出的课程设计题目和课程设计要求，独立完成本次课程设计，并且撰写相应的完整的课程设计报告。 3、主要参考文献 《数学建模与数学实验（第3版）》

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相似理论与相 似设计方法

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学习内容基本内容：掌握相似变换、相似定数、 相似常数、相似指标、相似准则等相似 概念；掌握相似第一定理；了解相似准 则的方程式分析法；掌握量纲分析法。 重要内容：相似第一定理，相似的基本 概念，量纲分析法。 难点内容：量纲分析法。

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一. 基本概念相似理论是研究相似现象的性质及其规律的理论。 (相似条件、相似准则和相似定理) 研究目的是应用相似理论，把个别现象的实验结果推 广应用到与之相似的所有现象上去。 相似理论综合了数学分析和实验研究的特点，其优点 是大大减少实验工作设置和费用，而且扩大了实验结 果的使用范围。 相似理论是一种完整的研究、整理和综合实验数据的 方法论。 相似理论应用广泛，在机械领域的应用方法学统称为 相似设计法。

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1. 相似的分类几何相似 时间相似 运动相似 动力相似 其他物理现象相似

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1)几何相似(空间相似)″ ′ ″ ′ ″ ′

l1

=

l2

=

l3

= Cl

l1

l2

l3

∠A′′ = ∠A′, ∠B′′ = ∠B′, ∠C ′′ = ∠C ′

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相似流体定义： 两流动的对应边长成同一比例，对应 角相等。lm kl = =C lpAm kA =

§5 量纲分析法来构造模型

一、基本概念：

在表达一个物理量时，总是用数和量这两个概念在一起来度量该物理量的某种属性，因此，许多物理量都是有量纲的，例如：

质量的量纲是：克（g）；千克（kg） 速度的量纲是：厘米/秒；公里/时 热量的量纲是：卡

def：量纲：在对物理对象进行分析时用来表示物理特性的量称之为量纲，例如：长度、密度、速度等。

用数学公式描述一个规律时，等号两端都必须保持量纲的一致。

def：量纲分析：在量纲一致的原则下，分析物理量之间关系的一种方法称为量纲分析。例如：用数学公式描述一个物理规律时等式两边必须保持量纲的一致，同时也保持单位的一致。

def：量纲分析法：用量纲分析法来建立数学模型的一种方法。

def：基本量纲：在物理学或力学中有一些物理量的量纲是基本的，其他物理量的量纲可以由这些基本量纲推导出来，这些基本的量纲叫基本量纲，例如：

力学中基本量纲为：m（质量），l（长度），t（时间），分别记成：[M]，[L]，[T]，其他量纲可由此推出来。例如：速度 [V]?[LT[f]?[M]?[a]?[M][LT?2?1]；加速度 [a]?[LT?2]，力

]?[MLT?2].

m1m2r2有些物理常数也有量纲，例如：万有引力定律

A字型相似与8字型相似

1、如图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距1米。甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是多少？

BEC2、如图：AD平分?BAC交BC于D，求证：

DA

BDAB．（构造A字型和8字型） ?DCACA12BDC

3、矩形DGFE内接于?ABC，DG:DE?3:5，S矩形DGFE?60cm2，AH?10cm，求：S?ABC。

ADQEBGHFC

4、设M1、M2是?ABC的BC边上的点，且BM1?CM2。任作一直线分别交AB、AC、AM1、AM2于

P、Q、N1、N2，试证：

AM2ACAM1AB＋＝＋。 APAQAN1AN2APN1N2Q

BM1M2C

5、如图，在?ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DE//BC，AQ交DE于点P.

求证：

DPPE。 ?BQQCADEPCBQ

6、如图，DE∥BC，（1）如果AD?2，DB?3，求DE:BC的值；（2）如果AD?8，DB?12，AC?15，

DE?7，求AE和BC的长。

7、如图，?AEB和?FEC是否

1、电机概述及其作用

电能是能量的一种形式，与其他形式的能量相比，它具有明显的优越性：适用于大量生产、集中管理、远距离传输和自动控制。电机就是一种将电能与机械能相互转换的电磁机械装置。

电机一般有两种应用形式： 第一种是把机械能转换为电能，称之为发电机，它通过原动机先把各类一次能源蕴藏的能量转换为机械能，然后再把机械能转换为电能，最后经输电、配电网络送往城市各工矿企业、家庭等各种用电场合；

第二种是把电能转换为机械能，称之为电动机，它用来驱动各种用途的生产机械和其他装置，以满足不同的要求。

电动机根据应用场合的要求和电源的不同，可分为直流电动机、交流感应电动机（交流异步电动机）和交流同步电动机。

另外，运用电磁感应原理工作的变压器和控制电机也属于电机的类别。变压器是将一种交流电压、电流转换成同频率的另一种交流电压、电流的静止电器。控制电机的主要职能是在电气机械系统中进行调节、放大和控制电机是随着生产力的发展而发展的。

反过来，电机的发展又促进了社会生产力的不断提高。从19世纪末起，电动机就逐渐代替蒸汽机作为拖动生产机械的原动机。近一个世纪来，电机的基本结构似乎并没有大的变化，但是电机的类型却有了很大发展，在运行性能、经济指标等方面也都有了很大