高等数学常用的积分公式及微分方程

第十二章 微分方程

§ 1 微分方程的基本概念

1、由方程x2-xy+y2=C所确定的函数是方程（ ）的解。 A. (x-2y)y?=2-xy B.(x-2y)y?=2x-y C.(x-2)dx=(2-xy)dy D.(x-2y)dx=(2x-y)dy

2、曲线族y=Cx+C2 (C为任意常数) 所满足的微分方程 （ ） 4.微分方程y?= A.dy?dx1写成以

2x?yy为自变量，x为函数的形式为（ ）

1 C. x?=2x-y D. y?=2x-y 2x?y12x?y B.dx?dy§2 可分离变量的微分方程

1.方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0是（ ）

A.可分离变量的微分方程 B.一阶微分方程的对称形式， C.不是微分方程 D.不能变成

dxQ(x,y)?? dyP(x,y)2、方程xy?-ylny=0的通解为（ ）

A y=ex B. y=Cex C.y=ecx D.y=e

章节 第七章 微分方程 §1 微分方程的基本概念 §2可分离变量微分方程 课时 2 教 学 掌握微分方程的基本概念，可分离变量微分方程的解法 目 的 教学 重点 及 突出 方法 可分离变量微分方程的解法 教学 难点 及 突破 方法 可分离变量微分方程的解法 相关 参考 资料

《高等数学（第三册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社 《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社 教学思路、主要环节、主要内容 7.1 微分方程的基本概念 在许多科技领域里，常会遇到这样的问题： 某个函数是怎样的并不知道，但根据科技领域的普遍规律，却可以知道这个未知函数及其导数与自变量之间会满足某种关系。下面我们先来看一个例子： 例题：已知一条曲线过点(1,2)，且在该直线上任意点P(x,y)处的切线斜率为2x，求这条曲线方程 解答：设所求曲线的方程为y=y(x)，我们根据导数的几何意义，可知y=y(x)应满足方程： 我们发现这个方程中含有未知函数y的导数。这里我们先不求解。 微分方程的概念 我们把含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程。 在一个微分方程中所出

章节 第七章 微分方程 §1 微分方程的基本概念 §2可分离变量微分方程 课时 2 教 学 掌握微分方程的基本概念，可分离变量微分方程的解法 目 的 教学 重点 及 突出 方法 可分离变量微分方程的解法 教学 难点 及 突破 方法 可分离变量微分方程的解法 相关 参考 资料

《高等数学（第三册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社 《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社 教学思路、主要环节、主要内容 7.1 微分方程的基本概念 在许多科技领域里，常会遇到这样的问题： 某个函数是怎样的并不知道，但根据科技领域的普遍规律，却可以知道这个未知函数及其导数与自变量之间会满足某种关系。下面我们先来看一个例子： 例题：已知一条曲线过点(1,2)，且在该直线上任意点P(x,y)处的切线斜率为2x，求这条曲线方程 解答：设所求曲线的方程为y=y(x)，我们根据导数的几何意义，可知y=y(x)应满足方程： 我们发现这个方程中含有未知函数y的导数。这里我们先不求解。 微分方程的概念 我们把含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程。 在一个微分方程中所出

一、基本导数公式：

1. kx '

k

2. x

n ' nxn 1

3. ax '

ax

lna4. ex '

e

x

5. log'

1

ax

xlna6. lnx '

1x

7. sinx '

cosx8. cosx '

sinx9. tanx ' sec2

x

10. cot '

csc2

x

11. secx '

secxtanx12. cscx '

cscxcotx13.

arcsinx '

1

14.

arccosx '

115. arctanx '

11 x2

16. arccot '

11 x2

二、基本微分公式：

1.d kx k

2.d xn nxn 1dx3.d ax axlnadx4.d ex exdx5.d lnx 1

xdx

6.d log1

ax xlna

dx

7.d sinx cosxdx8.d cosx sinxdx9.d tanx sec2

xdx

10.d cotx csc2xdx11.d secx secxtanxdx12.d cscx cscxcotxdx13.d

arcsinx

1

dx

14.d arccosx 1

dx

15.d arctanx 1

1 x

2

dx16.d arccotx 1

1 x

2

dx- 1 -

第四章 常微分方程

§4.1 基本概念和一阶微分方程

（甲） 内容要点 一、基本概念

1、 常微分方程和阶 2、解、通解和特解3、初始条件4、齐次线性方程和非齐次线性方程 二、变量可分离方程及其推广

1、

dy

p(x)Q(y)dx

(Q(y) 0) 2、齐次方程：

dy dx

y f x

三、一阶线性方程及其推广

1、

dydy

P(x)y Q(x) 2、 P(x)y Q(x)y dxdx

( 0,1)

四、全微分方程及其推广（数学一）

1、 P(x,y)dx Q(x,y)dy 0,满足

Q P

x y

2、 P(x,y)dx Q(x,y)dy 0,五、差分方程（数学三） （乙）典型例题 例1、求y x

2

2

Q p (RQ) (RP)

但存在R(x,y)，使 x y x y

dydy

xy的通解。 dxdx

解：y (x xy)

22

dy

0dx

y

dyy2 x dxxy x2 y

1 x

2

yduu2

令 u,则u x udx x(1 u)du 0

xdxu 11 udx

du u x C1 ln|xu| u C1

xu e

例2

C1 u

ce, y

08070141常用导数和积分公式

导数公式：

? (1) (C)?0 ? (3) (sinx)?cosx

???1?(x)??x (2)

? (4) (cosx)??sinx

(5)

(tanx)??sec2x (7) (secx)??secxtanx

(9)

(ax)??axlna (log1 (11)

ax)??xlna

(arcsinx)??1 (13)

1?x2

(arctanx)??1 (15)

1?x2

(cotx)???csc2x (cscx)???cscxcotx

(ex)??ex

(lnx)??1x，

(arccosx)???11?x2(arccotx)???11?x2

(6)

(8) (10) (12)

(14)

(16)

08070141常用导数和积分公式

基本积分表

?tgxdx??lncosx?C?ctgxdx?lnsinx?C?secxdx?lnsecx?tgx?C?cscxdx?lncscx?ctgx?Cdx1x?arctg?C?a2?x2aadx1x?a?ln?x2?a22ax?a?Cdx1a?x??a2?x22alna?x?Cdxx?arcsin?C?a2?x2a?2ndx

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常微分方程课件主讲：罗兆富统计与数学学院

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常微分方程课程简介

常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、 物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数 学理论和方法。物理、化学、生物、工程、航空航 天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都 可以描述成适当的常微分方程，如牛顿运动定律、 万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、 人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗

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传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的 浮动、市场均衡价格的变化等，对这些 规律的描述、认识和分析就归结为对相 应的常微分方程描述的数学模型的研究.因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛 应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会 科学的各个领域。

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教材及参考资料教 材：常微分方程,东北师大数学系编，高教出版社。 参考书目： 1. 常微分方程，(第二版), 王高雄等编(中山大学), 高教 出版社。 2. 常微分方程讲义，王柔怀、伍卓群编，高教出版社。 3. 常微分方程教程，丁同仁(北京大学), ,高教出版社。 4. 常微分方程及其应用，周义仓等编，科学出版社。

第三篇 常微分方程

第六章 常微分方程

函数是研究客观事物运动规律的重要工具，找出函数关系，在实践中有重要意义．但是在许多问题中，常常不能直接找出这种函数关系，但却能根据问题所处的环境，建立起这些变量和它们的导数（或微分）之间的方程，这样的方程称为微分方程．

在本章中，主要介绍常微分方程的基本概念和几种常用的常微分方程的解法．

第一节 微分方程的概念

下面我们通过两个例子来说明常微分方程的基本概念．

1．1 引例

引例1 一曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点P(x,y)处的切线斜率为2x，求这条曲线方程．

解 设所求曲线方程为y?f(x)，且曲线上任意一点的坐标为(x,y)．根据题意以及导数的几何意义得

dy?2x. dx 两边同时积分得

y?x?c （c为任意常数）．

又因为曲线通过（1，2）点，把x?1，y?2代入上式，得c?1．故所求曲线方程为

2y?x2?1．

?引例2 将温度为100C的物体放入温度为0?C的介质中冷却，依照冷却定律，冷却的

速度与温度T成正比，求物体的温度T与时间t之间的函数关系．

解 依照冷却定律，冷却方程为

dT， ??kt （k为比例常数）

一． 数值积分

数学上已经证明

?1041?x2dx??

成立，所以可以通过数值积分来计算?的近似值。

（1） 分别采用复化梯形公式、复化Simpson公式计算?的近似值。 选

择不同的步长h，对每种复化求积公式试将误差刻画成h的函数，并比较各方法的精度（做出误差与步长的对数函数图，横坐标是步长对数，纵坐标是绝对误差对数，两种应该是直线关系，其斜率就是方法的收敛阶 ）。另外，考虑是否存在某个h值，当低于这个值之后再继续减小h的值，计算不再有所改进？为什么？

（2） 实现Romberg求积方法，并重复上面的计算。

二、常微分方程初值问题数值计算

给定初值问题

其精确为

，

（1）分别按下列方案求它在节点

值解跟精确解是否吻合，考虑方法收敛阶是否跟理论吻合）。 方案I: 欧拉法，步长h = 0.025, h = 0.1； 方案II: 改进的欧拉法，步长h = 0.05, h = 0.1； 方案III: 四阶标准龙格—库塔法、步长h = 0.1。

处的数值解及误

差。比较各方法的优缺，并将计算结果与精确解做比较（列表、画图， 考虑数

（2）对于自变量 1

常微分方程中常用的解题方法

1、变量分离法，一阶常微分方程求解有两个重要的方法：一是变量分离方法，

二是全微分方程及积分因子的方法。其中前者是通过适当的变形及变换，将自变量、自变量的微分和因变量的微分分别置于方程的两端，然后分别进行积分即可得方程的通解后者则是寻求适当的积分因子，将方程化为通解的恰当方程，进一

d步得通解。如求方程

的通解。 ddyy=0是解，若y?0，分离变量，得所以原方程通解

(c?R) ?，两端分别积分，得ln|y|=x^2+c。y2、积分因子的方法 ，形如M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 的一阶微分方程，因为其

dy中X和Y的地位对等性，所以较之于一阶微分方程的常见形式

?dx ??更具有一般性。若该方程中有

? 则存在u(x,y)，使得 ?du(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy，此时，该方程称为恰当微分方程，其通解为u(x,y) =c。

当然大部分的方程并不是恰当微分方程，但是我们可以寻求与其通解的恰当微分方程，即可以寻求积分因子?(x,y) ，使得通解方程?M(x,y)dx+?N(x,y)dy=0为恰当方程。积分因子的方法为求解一般的一阶微分方程提供了一种全新的思路。例

?m?y??如求解ydx+(y-x)d