高中数学幂函数经典例题解析

幂函数的概念

例1、下列结论中，正确的是( ) A．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1) B．幂函数的图象可以出现在第四象限

1

C．当幂指数α取1,3，2时，幂函数y＝xα是增函数

D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数

解析 当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不通过原点，故选项A不正确；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα (α∈R)，y>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B不正确；而当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但它在定义域上不是减函数．

答案 C

1

例2、已知幂函数f(x)＝(t3－t＋1)x5(7＋3t－2t2) (t∈Z)是偶函数且在(0，＋∞)上为增函数，求实数t的值．

p

分析 关于幂函数y＝xα (α∈R，α≠0)的奇偶性问题，设q (|p|、|q|互质)，

pp

当q为偶数时，p必为奇数，y＝xq是非奇非偶函数；当q是奇数时，y＝xq的奇偶性与p的值相对应．

解 ∵f(x)是幂函数，∴t3－t＋1＝1， ∴t＝－1,1或0.

7

当t＝0时，f(x)＝x5是奇函数；

2

当t＝－1时，f(x)＝x5是偶函数；

828

当t＝1时，f

学习目标

1.理解幂函数的概念.

2.学会以简单的幂函数为例研究函数性质的方法.

3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的

方法处理幂函数的有关问题．

知识点一 幂函数的概念

思考 y ＝1x

，y ＝x ，y ＝x 2三个函数有什么共同特征？

梳理 一般地，我们把形如____________的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 知识点二 五个幂函数的图象与性质

1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y ＝x ；(2)y ＝12

x ；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x －1；(5)y ＝x 3的图象如图．

2．五个幂函数的性质

知识点三一般幂函数的图象特征

思考类比y＝x3的图象和性质，研究y＝x5的图象与性质．

梳理一般幂函数特征

(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点________．

(2)α>0时，幂函数的图象通过________，并且在区间[0，＋∞)上是单调______函数．特别地，

当α>1时，幂函数的图象________；当0<α<1时，幂函数的图象____________．

(3)当________时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是单调减函数．

(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称．

(5)在第一象限，作直线x ＝a (a >1)

三角函数

第三章 基本初等函数Ⅱ（三角函数）

3.1任意角三角函数

一、知识导学

1．角：角可以看成由一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的几何图形.角的三要素是：顶点、始边、终边.角可以任意大小，按旋转的方向分类有正角、负角、零角.

2．弧度制：任一已知角 的弧度数的绝对值

l

，其中l是以 作为圆心角时所对圆弧r

的长，r为圆的半径.规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.

180

1 0.1745rad；360 2 rad；3．弧度与角度的换算：1rad 57.30.

180

用弧度为单位表示角的大小时，弧度（rad）可以省略不写.度4．弧长公式、扇形面积公式：l

不可省略.

r,S扇形＝lr

121

| |r2,其中l为弧长，r为圆的半2

径.圆的周长、面积公式是弧长公式和扇形面积公式中当 2 时的情形.

5．任意角的三角函数定义：设 是一个任意大小的角，角 终边上任意一点P的坐标是

x,y ，它与原点的距离是r(r 0)，那么角 的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分

别是sin

yxyxrr

,cos ,tan ,cot ,sec ,csc .这六

三角函数

第三章 基本初等函数Ⅱ（三角函数）

3.1任意角三角函数

一、知识导学

1．角：角可以看成由一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的几何图形.角的三要素是：顶点、始边、终边.角可以任意大小，按旋转的方向分类有正角、负角、零角.

2．弧度制：任一已知角 的弧度数的绝对值

l

，其中l是以 作为圆心角时所对圆弧r

的长，r为圆的半径.规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.

180

1 0.1745rad；360 2 rad；3．弧度与角度的换算：1rad 57.30.

180

用弧度为单位表示角的大小时，弧度（rad）可以省略不写.度4．弧长公式、扇形面积公式：l

不可省略.

r,S扇形＝lr

121

| |r2,其中l为弧长，r为圆的半2

径.圆的周长、面积公式是弧长公式和扇形面积公式中当 2 时的情形.

5．任意角的三角函数定义：设 是一个任意大小的角，角 终边上任意一点P的坐标是

x,y ，它与原点的距离是r(r 0)，那么角 的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分

别是sin

yxyxrr

,cos ,tan ,cot ,sec ,csc .这六

1抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线． 2抛物线的图形和性质：

①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。

②焦准距：FK?p

③通径：过焦点垂直于轴的弦长为2p。 ④顶点平分焦点到准线的垂线段：OF?OK?p。 2M2PC⑤焦半径为半径的圆：以P为圆心、FP为半径的圆必与准线相切。所有这样的圆过定点F、

N准线是公切线。

KoF⑥焦半径为直径的圆：以焦半径 FP为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。所有这样

M1Q的圆过定点F、过顶点垂直于轴的直线是公切线。

⑦焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ为直径的圆必与准线相切。所有这样的圆的公切线是准线。

3抛物线标准方程的四种形式：

y2?2px，y2??2px，x2?2py，x2??2py。4抛物线y2?2px的图像和性质：

yM2?p?①焦点坐标是：?，0?，

?2?②准线方程是：x??Pp。 2KM1oFQx③焦半径公式：若点P(x0,y0)是抛物线y2?2px上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是：PF?x0?p， 2pp?x2??x1?x2?p 222④焦点弦长公式：过焦点弦长PQ?x1?2y22

第十章 导数及其应用

一、知识导学

§10.1导数及其运算

1.瞬时变化率：设函数y?f(x)在x0附近有定义，当自变量在x?x0附近改变量为?x时，函数值相应地改变?y?f(x0??x)?f(x)，如果当?x趋近于0时，平均变化率

?yf(x0??x)?f(x0)趋近于一个常数c（也就是说平均变化率与某个常数c的差的绝??x?x对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数c称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率。

2.导数：当?x趋近于零时，

f(x0??x)?f(x0)趋近于常数c。可用符号“?”记作：

?x当?x?0时，

f(x0??x)?f(x0)f(x0??x)?f(x0)?c，符号“?”?c或记作lim?x?0?x?x读作“趋近于”。函数在x0的瞬时变化率，通常称作f(x)在x?x0处的导数，并记作f?(x0)。

3.导函数：如果f(x)在开区间(a,b)内每一点x都是可导的，则称f(x)在区间(a,b)可导。这样，对开区间(a,b)内每个值x，都对应一个确定的导数f?(x)。于是，在区间(a,b)内，

f?(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y?f(x)的导函数。记为f?(x)或y?（或y?x）。

4.导数的四则运算法则：1）函数和（或

高中数学函数的奇偶性知识点及例题解析

一、知识要点： 1、函数奇偶性的概念

一般地，对于函数f(x)，如果对于函数定义域内任意一个x，都有f(?x)?f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

一般地，对于函数f(x)，如果对于函数定义域内任意一个x，都有f(?x)??f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数。

理解：

(1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质；

(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。

2、按奇偶性分类，函数可分为四类：

奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数.

3、奇偶函数的图象：

奇函数?图象关于原点成中心对称的函数，偶函数?图象关于y轴对称的函数。

4、函数奇偶性的性质：

①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。

②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x在0处有定义，则f(0)＝0。

③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a

偶函数在关于原点对称的区间

数 学

- 1 -

高一数学必修1知识网络

集合

?（）元素与集合的关系：属于（?）和不属于（?）?1??（?集合与元素?2）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性??（?3）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集??4）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法（?????子集：若x?A ?x?B，则A?B，即A是B的子集。?????1、若集合A中有n个元素，则集合A的子集有2n个，真子集有(2n-1)个。????????2、任何一个集合是它本身的子集，即 A?A???? 注??关系???3、对于集合A,B,C,如果A?B，且B?C,那么A?C.????4、空集是任何集合的（真）子集。??????真子集：若A?B且A?B?（即至少存在x0?B但x0?A），则A是B的真子集。集合???????集合相等：A?B且A?B ?A?B?????集合与集合??定义：A?B??x/x?A且x?B??交集???????性质：A?A?A，A????，A?B?B?A，A?B?A,A?B?B，A?B?A?B?A???????定义：A?B??x/x?A或x?B????并集???????性质：A

数学

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- 2 - 高一数学必修1知识网络

集合

123412n x A x B A B A B A n A ∈????????∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ??????????????????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U

1

例、已知幂函数f(x)＝(t－t＋1)x5(7＋3t－2t2) (t∈Z)是偶函数且在(0，＋∞)上为增函数，求实数t的值．

p

分析 关于幂函数y＝xα (α∈R，α≠0)的奇偶性问题，设q (|p|、|q|互质)，

pp

当q为偶数时，p必为奇数，y＝xq是非奇非偶函数；当q是奇数时，y＝xq的奇偶性与p的值相对应．

解 ∵f(x)是幂函数，∴t3－t＋1＝1， ∴t＝－1,1或0.

7

当t＝0时，f(x)＝x5是奇函数；

2

当t＝－1时，f(x)＝x5是偶函数；

828

当t＝1时，f(x)＝x5是偶函数，且5和5都大于0， 在(0，＋∞)上为增函数．

82

故t＝1且f(x)＝x5或t＝－1且f(x)＝x5.

PS: 如果题中有参数出现，一定要注意对参数的分类讨论，尤其对题中的条件t∈Z给予足够的重视．

例、如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则( )

3

A．-11 D．n<－1，m>1

解析 在(0,1)内取同一值x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0

PS:在区间(0,1)上，幂函数的指数越大，图象越靠近x轴；在区间(1，＋∞)上，幂函数的指数越大，图象越远离x轴．

例、已知x>x3，求