典型群的几何学

第一章：几何学与变换群内容概述

基于对欧几里得几何原本中的“第五公设”即平行公理近两千年的争论，到十九世纪，出现了一些非欧几里得几何学，比如射影几何，仿射几何，双曲几何，椭圆几何等等。

其时，有两大问题困扰着数学界： 1：这些非欧几何学之间的逻辑关系问题； 2： 非欧几何学的相容性问题。

关于第二个问题非欧几何的相容性，Poincare于1882年给出了非常漂亮的解决，通常称为双曲几何模型，不作为学年论文内容。

而关于第一个问题，也即我的学年论文主要所讲述的，非欧几何学之间的逻辑关系，由F.Klein于1872年给出了解答，即克莱因变换群观点。

利用变换群观点对几何学进行定义和分类，常称为克莱因变换群观点。这个思想是德国数学家克莱因在德国Erlangen大学所做的题为“近世几何学研究的比较评论”的演讲中首次提出的，该演讲后被称为克莱因观点。他将当时已有的一些几何学统一于变换群的观点换之下，给出了建立抽象空间所对应的几何学的一种方法，对几何学的发展起到了巨大的促进和推动作用，甚至对物理学、力学的发展也产生了积极的影响。

然而，随着科学的进步和几何学的不断发展，克莱因观点已经远不能概括许多新的几何学，比如黎曼流行理论的出现和

几何学的发展简史

上海市第十中学 数学教研组 王沁

[课前设计]

中国古代是一个在世界上数学领先的国家，用近代数学科目来分类的话，可以看出：无论是算术、代数还是几何、三角，中国古代数学在各方面都十分发达。而且在数学理论与实际需要的联系中，创造出了与古希腊等欧洲国家风格迥异的实用数学。

可惜的是，现行的教材对中国古代数学家的成就介绍得很少。即使教材中有，但是也基本上出现在阅读材料中，几乎没有老师会去介绍，当然，学生也很少去看。

我本人接触这些数学历史知识也是拜赐学校提供的再学习机会。我校有一个由秦一岚校长总负责、全校老师共同参与的市级课题：史情教育与各学科校本课程的整合。如何在数学学科上整合史情教育，在数学课中充分挖掘数学学科的民族精神内涵，弘扬中华民族精神和上海城市精神，渗透德育教育，探索出一条符合学生特点的教学方法，通过师生互动，能提高学生团结协作精神，并提高学生的科学素养，是摆在我面前的一个重要课题。为此，我做了以下几方面的准备。

第一步，确定课题。高二正在上立体几何，于是确定上几何学（偏重立体几何）的发展简史。

第二步，收集资料。主要是阅读大量有关数学史的书籍。

第三步，理清脉络。把看到的大量信息进行梳理，按照时间顺序、

栏目编辑：笑春风　　　　Ｅ－ｍａｉｌ：ｗｕｘｔ＠ｔｕｐ．ｔｓｉｎｇｈｕａ．ｅｄｕ．ｃｎTrends

前　瞻　技　术

分形理论：大自然的几何学

天津航天科工集团８３５７研究所　　陈运迪／文

分形理论是当今世界十分活跃的新理论。作为前沿学科的分形理论认为，大自然是分形构成的。大千世界，对称、均衡的对象和状态是少数和暂时的，而不对称、不均衡的对象和状态才是多数和长期的，分形几何是描述大自然的几何学。作为人类探索复杂事物的新的认知方法，分形对于一切涉及组织结构和形态发生的领域，均有实际应用意义，并在石油勘探、地震预测、城市建设、癌症研究、经济分析等方面取得了不少突破性的进展。本文简要介绍分形理论的产生和应用概况。

曾有人提出了这样一个显然是荒谬的命题：“英国的海岸线的长度是无穷大。”其论证思路是这样的：海岸线是破碎曲折的，我们测量时总是以一定的尺度去量得某个近似值，例如，每隔１００米立一个标杆，这样，我们测得的是一个近似值，是沿着一条折线计算而得出的近似值，这条折线中的每一段是一条长为１００米的直线线段。如果改为每１０米立一个标杆，那么实际量出的是另一条折线的长度，它的每一个片段长１０米。显然，后一

呢？显然，并没有绳球从三维对象变成一维对象的确切界限。英国的海

栏目编辑：笑春风　　　　Ｅ－ｍａｉｌ：ｗｕｘｔ＠ｔｕｐ．ｔｓｉｎｇｈｕａ．ｅｄｕ．ｃｎTrends

前　瞻　技　术

分形理论：大自然的几何学

天津航天科工集团８３５７研究所　　陈运迪／文

分形理论是当今世界十分活跃的新理论。作为前沿学科的分形理论认为，大自然是分形构成的。大千世界，对称、均衡的对象和状态是少数和暂时的，而不对称、不均衡的对象和状态才是多数和长期的，分形几何是描述大自然的几何学。作为人类探索复杂事物的新的认知方法，分形对于一切涉及组织结构和形态发生的领域，均有实际应用意义，并在石油勘探、地震预测、城市建设、癌症研究、经济分析等方面取得了不少突破性的进展。本文简要介绍分形理论的产生和应用概况。

曾有人提出了这样一个显然是荒谬的命题：“英国的海岸线的长度是无穷大。”其论证思路是这样的：海岸线是破碎曲折的，我们测量时总是以一定的尺度去量得某个近似值，例如，每隔１００米立一个标杆，这样，我们测得的是一个近似值，是沿着一条折线计算而得出的近似值，这条折线中的每一段是一条长为１００米的直线线段。如果改为每１０米立一个标杆，那么实际量出的是另一条折线的长度，它的每一个片段长１０米。显然，后一

呢？显然，并没有绳球从三维对象变成一维对象的确切界限。英国的海

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发言稿

芇

莅 计算几何学是研究几何问题的算法，在现代工程学与数学，诸

如计算机图形学、计算机辅助设计、机器人学都要应用计算几何学，在信息学竞赛中几何题也开始出现了，但是在实际的竞赛中，几何题得分率往往是最低的，所以我对几何题的算法进行了一下探索

肁任何复杂的算法都是由许多简单的算法组合而成的，计算几何

题也同样如此，先来看最基本的算法： 1、

2、蝿求直线的斜率 3、

4、肆求2条直线的交点 5、

6、蒅判断2条线段是否相交 7、

8、蒂求叉积等等。

芇这些都是最基本的算法，是解几何题的基础，任何对基本算法

的不熟悉，都可能导致解题的失败，所以熟悉几何题中的基本算法是非常重要的。

袅但是有了基本算法是远远不够的，因为光靠竞赛时的临时思考，

组合算法从时间上来说是来不及的，这就需要熟悉一些经典算法，在竞赛中直接使用，比如： 1、 2、薅求凸包 3、

4、袃求最近点对 5、

6、罿判断点是否在多边形内等等

袈 基本算法和经典算法都是比较简单的，最后我们再来说一下几

何题的题型

《几何学概论》试题（１）

1. 试确定仿射变换，使y轴，x轴的象分别为直线x?y?1?0，x?y?1?0，且点（1，1）

的象为原点.(15?)

2. 利用仿射变换求椭圆的面积.(10?)

3. 写出直线2x1+3x2-x3=0,x轴,y轴,无穷远直线的齐次线坐标.(10?) 4. 叙述笛沙格定理,并用代数法证之.(15?)

5. 已知A(1,2,3),B(5,-1,2),C(11,0,7),D(6,1,5),验证它们共线,并求(AB,CD)的值.(8?)

6. 设P1(1,1,1),P2(1,-1,1),P4(1,0,1)为共线三点,且(P1P2,P3P4)=2,求P3的坐标.(12?) 7. 叙述并证明帕普斯(Pappus)定理.(10?)

8.一维射影对应使直线l上三点P(-1),Q(0),R(1)顺次对应直线l?上三点

P?(0),Q?(1),R?(3),求这个对应的代数表达式.(10?)

9.试比较射影几何、仿射几何、欧氏几何的关系.(10?)

《高等几何》试题（２）

1.求仿射变换x??7x?y?1,y??4x?2y?4的不变点和不变直线. (15?) 2. 叙述笛沙格定理,并用代数法证之.(15?)

3.求证a(1,2,-1) ,b

阿拉伯的三角学与几何学

由于数理天文学的需要，阿拉伯人继承并推进了希腊的三角术，其学术主要来源于印度的《苏利耶历数全书》等天文历表，（《苏利耶历数全书》是天文著作，是印度第一个正弦表，年代距阿耶波多不远）以及希腊托勒玫的《大成》、梅内劳斯的《球面学》等古典著作。三角形的建立是亚历山大后期几何学最富创作性的成就，而托勒玫就是最卓越的代表人物。梅内劳斯（约公元1世纪人),古希腊亚历山大后期的数学家、夭文学家,三角术(主要是球面三角术)创始人之一他写过关于圆中的弦6本书,可惜都已失传,幸好他著的一本《球面论》以阿拉伯文本保存了下来.该书共3册,第一册讨论球面几何,第二册以夭文为主题,第三册是球面三角术.现今所谓“梅内劳斯定理”即在这第三册之中。

对希腊三角学加以系统化的工作是由9世纪天文学家阿尔·巴塔尼作出的，他约858年生于哈兰（在今土耳其东南部）；929年卒于伊拉克，萨马拉附近。而且他也是中世纪对欧洲影响最大的天文学家。其《天文论著》（又名《星的科学》）被普拉托译成拉丁文后，在欧洲广为流传，哥白尼、第谷、开普勒、伽利略等人都利用和参考了它的成果。在该书中阿尔·巴塔尼创立了系统的三角学术语，如正弦、余弦、正切、余切。他称正弦为jī ba，来源于阿

立体几何的学习离不开图形，图形是一种语言，图形能帮我们直观地感受空间线面的位置关系，培养空间想象能力．所以在立体几何的学习中，我们要树立图形观，通过作图、读图、用图、造图、拼图、变图培养我们的思维能力．

一、作图

作图是立体几何学习中的基本功，对培养空间概念也有积极的意义，而且在作图时还要用到许多空间线面的关系．所以作图是解决立体几何问题的第一步，作好图有利于问题的解决．

例1 已知正方体

出过点P、E、F三点的正方体的截面．

中，点P、E、F分别是棱AB、BC、的中点（如图1)．作

分析：作图是学生学习中的一个弱点，作多面体的截面又是作图中的难点．学生看到这样的题目不知所云．有的学生连结P、E、F得三角形以为就是所求的截面．其实，作截面就是找两个平面的交线，找交线只要找到交线上的两点即可．观察所给的条件（如图2)，发现PE就是一条交线．又因为平面ABCD／／平面中点，故取在平面

，由面面平行的性质可得，截面和面的中点Q，则FQ也是一条交线．再延长FQ和和平面

的交线上，连PM交

的交线一定和PE平行．而F是

的

的延长线交于一点M，由公理3，点M

于点K，则QK和KP又是两条交线．同理可以找

到FR和RE两条交线（如图2).因此，六边形PERFQK就是所求的截面．

篇一：选树宣传先进典型的实践与思考(第五组定稿)

选树宣传先进典型的实践与思考

（攻关课题五组：张红卫、张帮红、黄佳）

选树宣传先进典型，利用典型推动工作，是我们党长期以来的优良传统、政治优势和宝贵经验，也是公司加强党建思想政治工作与队伍建设的重要方法。在先进典型的选树宣传过程中，有值得我们总结的成功经验，也存在着不容忽视的问题。为此，我们针对近几年在先进典型选树宣传实践中的一些得与失进行浅要的探讨与思考。

主题词：选树宣传 先进典型 思考

一、选树宣传先进典型的重要意义

榜样的力量是无穷的。抓好用好用活典型，通过典型示范和引领激励，以点带面推动生产经营工作，历来是我们的优良传统，也是一门领导行为艺术和行之有效的工作方法。培养选树宣传先进典型，充分发挥先进典型的示范带动作用，有利于在员工队伍中形成正确的思想、行为和舆论导向，引导广大干部职工树立坚定的理想信念和正确的人生价值观，为西南油气田“双百亿”建设与公司改革发展提供强大的精神动力；有利于充分调动广大党员干部和岗位人员的工作积极性与创造力，在本职工作岗位上尽心竭力，争创一流业绩；有利于增强思想政治工作的感召力和说服力，使之更加生动形象，使工作更富有成效。

从公司选树宣传先进典型的具体实践来看，先进典型主

自主招生专题辅导之

解析几何

专题引导

解析几何是高中数学内容的一个重要组成部分。在解解析几何问题时，首先要熟练掌握直线与圆锥曲线方程的各种表示方法及适用范围，并能灵活地选择适当的表示方法以快捷地解题；其次要掌握各种方程中有关参数的意义及参数间的关系，此外，在具体解题时，要注意结合图形，观察图形的几何特征并灵活运用待定系数法，“设而不求”等常用方法。

学习要领

1.本专题对计算能力有一定的要求；

2.灵活运用二次曲线的有关性质可以简化计算；

3.数形结合是分析本专题问题的常用手段；

4.设而不求和韦达定理都是处理直线与圆锥曲线问题的重要方法。 2011-2012年自主招生北约、华约、卓约真题

（2011华约3）3.已知y?x3?x2?2x?1，过点(－1, 1)的直线l与该函数图象相切，且(－1, 1)不是切点，则直线l的斜率为 ( ) A?2??????B?1??????C??1???????D??2

（2011华约8）8. AB为过抛物线y2＝4x焦点F的弦，O为坐标原点，且?OFA?135?，C为抛物线准线与x轴的交点，则?ACB的正切值为 ( )

A?22???????B?425???????C?423???????D?2