容斥原理三集合公式非标准型

容斥原理

知识框架图 7-7-1两量重叠问题 7-7-2三量重叠问题 7 计数综合 7-7 容斥原理 7-7-3图形中的重叠问题 7-7-4容斥原理在数论问题中的应用 7-7-5容斥原理中的最值问题

教学目标

1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．

知识要点

一、两量重叠问题

在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：AB?A?B?AB(其中符号“

”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“

”读

作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A表示小圆部分，

B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积．图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积．

1．先包含——A?B 重叠部分A B计算了2次，多加了1次； A?B?AB7-7.容斥原理.题库

教师姓名 学生姓名 学科 年级 数学 四年级 让我们一起为了孩子的进步而努力！ 纳思书院Nice Education 上课时间 2016年 月 日 --- 课题名称 专题八：容斥问题 教学目标 1、了解容斥原理；2、会求两个量和三个量的容斥问题 教学重点 容斥问题 教学过程 专题八：容斥问题 一、两量重叠问题 容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复的计数，应从它们的和中排除重复部分。 容斥原理：对 n 个事物，如果采用两种不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图）， Na Nab Nb 那么具有性质a的事物的个数 = Na； 具有性质b的事物的个数 = Nb； 具有性质a或性质b的事物的个数 = Na + Nb－Nab。 具有性质a不具有性质b的事物的个数 = Na－Nab； 具有性质b不具有性质a的事物的个数 = Nb－Nab； 例题学习 【例1】一个旅行社，每人至少会一种外语，其中会英语的有24人，会俄语的有18人，两种都会的有4人，旅行社总共有多少人？ 第1页 / 共7页

2014年西藏自治区普通中专（高中）招生统一考试

考场指令（非标准化考点）

序执行时间 号 开考前21分钟 上午8:39 1 中午11:39 下午15:39 坐定上角，请严格遵守考试纪律，任何违纪舞弊的行为，都要按后 提醒开考前10分钟 上午8:50 2 中午11:50 下午15:50 始拆卡。请乙监考员发放草稿纸。 启试卷 指令员口头播：现在请乙监考员发放试卷,请甲监考员发放答题卡。请考生核对试卷上的科目、页码是否与黑板上板书的提醒科目、页码一致。若发现缺页或试题漏印、字迹不清、试卷监考开考前5分钟 员发上午8:55 3 中午11:55 卷、下午15:55 答题非选择题的答题用黑色签字笔，在答题卡上每道题限定的答卡 题区域内答题，切不可超出黑色边框，超出黑色边框的答案无效。现在开始填写答题卡上的姓名、准考证号。请考生用2B铅笔在答题卡上填涂答案，写在试卷上的答案，概不给分；放试否则，将受到取消该科目考试成绩的处理。选择题的答题用题卡上，不可答在试卷上。开考指令下达后才能动笔答题，有破损等，请举手报告。请注意，本科目所有试题均答在答监考指令员口头播:现在请甲监考员拆开试卷袋及答题卡袋，请核员开对试卷科目和页码并板书在黑板上,请不要发放试卷和

第四专题 容斥原理

教学时数：4学时 教学目标：

（1）理解组合数学三大原理之一的容斥原理；

（2）了解运用容斥原理处理的常见问题； （3）灵活使用容斥原理解决问题。 教学重点与难点：

如何将问题转化成可利用容斥原理解决的问题。 一、基础知识

（一）容斥原理及逐步淘汰原理 容斥原理：（1）（简单形式）

对任何有限集合A、B、C，有A?B?A?B?A?B；

（2）（一般形式）

对任何n个有限集合A1,A2,?,An，有

A1?A2???An??Ai?i?1n1?i?j?n?A?Aij?1?i?j?k?n?A?Aij?Ak

?????1? 简记：|n?1A1?A2???An

?A|??ii?1nI?{1,2,?,n}I??(?1)|I|?1|?Ai|

i?I逐步淘汰原理：（1）（简单形式）A?B?S?A?B

（2）（一般形式）A1?A2???An?S?A1?A2???An

（二）容斥原理的两种证明方法

证法一：（数学归纳法）

当n?2 时，要证明：|A1?A2|?|A1|?|A2|?|A1?A2|

这可由A1?A2等于不相交的两个集合A1和A2\\(A1?A2)的并推出，

维数定理与容斥原理

两个有限维子空间的和的维数定理：

dim(U1+U2)=dimU1+dimU2-dim(U1 ∩ U2) 两个有限集合元素个数的容斥原理：

card(U1∪U2)=cardU1+cardU2-card(U1 ∩ U2)

子空间的和类比于集合的并，那么维数定理和容斥原理形式上及其相似。为什么会有如此的巧合？

可以看到子空间的基底构成的集合在维数定理中扮演一个很重要的转换作用：选择U1 ∩ U2的基底并分别扩充到U1和U2的基底之后，设U1和U2的基底构成的集合分别为A1和A2，那么U1+U2, U1 ∩ U2的基底就分别对应A1∪A2和A1∩ A2。因此两个公式相似也就不足为奇。

那么是否可以把维数定理推广到多个子空间的情形呢？考虑三个子空间的情形，类比于三个集合的容斥原理

card(U1∪U2∪U3)=cardU1+cardU2+cardU3-card(U1 ∩ U2)-card(U2 ∩ U3)-card(U1 ∩ U3)+card(U1 ∩ U2∩ U3) 是否也有类似的三个子空间和的维数定理

dim(U1+U2+U3)=dimU1+dimU2+dimU3-dim(U1 ∩ U2)-dim(U2 ∩ U3

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目 录

1 绪论............................................................. 1 1.1 研究背景和意义................................................. 1 1.2 文献综述....................................................... 2 1.3 研究内容、结构和特色........................................... 4 2 相关理论分析..................................................... 6 2.1 委托代理理论................................................... 6 2.2 信号理论....................................................... 6 2.3 审计意见与股价的关系............

容斥问题（四年级）

1、植树节那天，学校每个年级的学生都去郊外义务植树，其中有23棵不是五年级种的，有21棵不是六年级种的，五、六年级植的树共有8棵，其他年级种的树有多少棵？

2、在100名学生中，有78人语文测试得优秀，85人数学测试得优秀，最少有多少人语文、数学测试都得优秀？

3、某班有学生44人，书法爱好者有30人，体育爱好者有25人，每人至少有这其中的一种爱好，这个班有多少人既爱好书法又爱好体育？

4、北京大学某班会说英语的有30人，会说法语的有25人，既会说英语又会说法语的有13人，全班学生至少会说一种外语，全班有多少学生？

5、在200名学生中，参加书法兴趣小组的有110人，参加围棋兴趣小组的有50人，其中两个小组都参加的有30人，那么，两个小组都不参加的有多少人？

6、在1至1000的全部自然数中，既不是8的倍数也不是5的倍数的数有多少个？

7、某班有68人，参加足球兴趣小组的有32人，参加排球兴趣小组的有30人，如果两个兴趣小组都没有参加的有25人，那么同时参加足球、排球两个兴趣小组的有多少人？

8、某班学生排队，全班排成5行，每行的人数相等地，小星排的位置是：从前面数第8个

培蒙国际教育——花垣县启智珠心算培训中心奥数教材

容斥原理 1

1、某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有34人，手中有黄旗的共有26人，手中有蓝旗的共有18人．其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有6人．而手中只有红、黄两种小旗的有9人，手中只有黄、蓝两种小旗的有4人，手中只有红、蓝两种小旗的有3人，那么这个班共有多少人？

2、 某班有42人，其中26人爱打篮球，17人爱打排球，19人爱踢足球，9人既爱打篮球又爱踢

足球，4人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好．问：既爱打篮球又爱打排球的有几人？

3、 四年级一班有46名学生参加3项课外活动．其中有24人参加了数学小组，20人参加了语

文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3．5倍，又是3项活动都参加人数的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍，既参加数学小组又参加语文小组的有10人．求参加文艺小组的人数．（6级）

4、五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项．其中有25人参加自然兴趣小组，35人参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小

第六节 三阶容斥原理

【典型例题】

[#]例1．四（2）班学生对英语、语文、数学三门功课中至少有

一门感兴趣。其中喜欢语文的有38人，喜欢数学的有32人， 喜欢英语的有28人。既喜欢语文又喜欢数学的有19人，既喜欢 数学又喜欢英语的有15人，既喜欢语文又喜欢英语的有13人， 三门都喜欢的有7人。求全班总人数。

[#]例2．某大学抽样调查学生学习外语的情况。100个大学生中，

学过英语的有64人，学过法语的有49人，学过俄语的有35人， 学过英语也学过法语的有20人，学过英语也学过俄语的有23人， 学过法语也学过俄语的有11人，且每人至少学过其中一门外语， 问三种语言都学过的有多少人？

1

[#]例3．景莲小学四年级学生中，有56人爱好踢足球，89人爱

好打篮球，52人爱好打排球，41人既爱好踢足球又爱好打篮球， 38人既爱好踢足球又爱好打排球，47人既爱好打篮球又爱好打 排球，有23人这三项球类活动都爱好，有19人这三项球类活 动都不爱好，那么景莲小学四年级有学生多少人？

例4．珠江小学30名同学参加“萌芽杯”竞赛，获奖情况如下： 口算获奖的有14人，珠算获奖的有12人，应用题获奖的有1

1.1集合 适用学科 适用区域 数学 新课标 适用年级 课时时长（分钟） 高三 60 知 识 点 教学目标 集合的概念；集合中元素的性质（确定性、无序性、互异性）；属于与不属于的应用；常用数集及其记法；列举法；描述法；Venn图法；两个集合相等的含义；证明集合相等的方法；子机、真子集、空集；包含关系与属于关系的区别；子集个数问题；不包含关系的含义；并集、交集、补集；交、并、补的混合运算 1.集合的含义与表示 (1)了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题． 2.集合间的基本关系 (1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义． 3.集合的基本运算 (1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算. 集合的概念和集合的运算、Venn图 集合的运算、Venn图 教学重点 教学难点 1 / 30

教学过程 一、课堂导入

有一位牧民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的意义