小学奥数比和比例

比和比例

在应用题的各种类型中，有一类与数量之间的（正、反）比例关系有关．在解答这类应用题时，我们需要对题中各个量之间的关系作出正确的判断。

成正比或反比的量中都有两种相关联的量．一种量（记作x）变化时另一种量（记作y）也随着变化．与这两个量联系着，有一个不变的量（记为k）．在判断变量x与y是否成正、反比例时，我们要紧紧抓住这个不变量k．如成正比例；如果k是y与x的积，即在x变化时，y与x的积不变：xy＝k，那么y与x成反比例．如果这两个关系式都不成立，那么y与x不成（正和反）比例． 下面我们从最基本的判断两种量是否成比例的例题开始． 例1 下列各题中的两种量是否成比例？成什么比例？ ①速度一定，路程与时间． ②路程一定，速度与时间．

③路程一定，已走的路程与未走的路程．

④总时间一定，要制造的零件总数和制造每个零件所用的时间． ⑤总产量一定，亩产量和播种面积． ⑥整除情况下被除数一定，除数和商． ⑦同时同地，竿高和影长．

⑧半径一定，圆心角的度数和扇形面积． ⑨两个齿轮啮合转动时转速和齿数．

1

⑩圆的半径和面积．

(11)长方体体积一定，底面积和高． (12)正方形的边长和它

第二讲 比和比例

教学目标：

1、比例的基本性质

2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题

3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化； 4、单位“1”变化的比例问题 5、方程解比例应用题 知识点拨：

比例与百分数作为一种数学工具在人们日常生活中处理多组数量关系非常有用，这一部分内

容也是小升初考试的重要内容.通过本讲需要学生掌握的内容有：

一、比和比例的性质

性质1：若a: b=c：d，则(a + c)：(b + d)= a：b=c：d； 性质2：若a: b=c：d，则(a - c)：(b - d)= a：b=c：d；

性质3：若a: b=c：d，则(a +x c)：(b +x d)=a：b=c：d；(x为常数) 性质4：若a: b=c：d，则a×d = b×c；(即外项积等于内项积) 正比例：如果a÷b=k(k为常数)，则称a、b成正比； 反比例：如果a×b=k(k为常数)，则称a、b成反比． 二、主要比例转化实例

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第二讲 比和比例

教学目标：

1、比例的基本性质

2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题

3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化； 4、单位“1”变化的比例问题 5、方程解比例应用题 知识点拨：

比例与百分数作为一种数学工具在人们日常生活中处理多组数量关系非常有用，这一部分内容也是小升初考

试的重要内容.通过本讲需要学生掌握的内容有：

一、比和比例的性质

性质1：若a: b=c：d，则(a + c)：(b + d)= a：b=c：d； 性质2：若a: b=c：d，则(a - c)：(b - d)= a：b=c：d；

性质3：若a: b=c：d，则(a +x c)：(b +x d)=a：b=c：d；(x为常数) 性质4：若a: b=c：d，则a×d = b×c；(即外项积等于内项积) 正比例：如果a÷b=k(k为常数)，则称a、b成正比； 反比例：如果a×b=k(k为常数)，则称a、b成反比． 二、主要比例转化实例

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北京课改版六年级下册同步奥数 第二单元 比和比例 能力提升 思维突破 挑战极限

第二单元 比和比例能力提升题和奥数题

板块一 比

例题1.小明读一本书，已读的页数和未读的页数之比是5∶4，如果再读27页，已读的页数和未读的页数之比是2∶1。求这本书有多少页？

练习1.甲、乙两袋糖果的质量比是3∶2，如果从甲袋糖果中拿出5千克放入乙袋，这时甲、乙两袋糖果的质量比是1∶1。两袋糖果一共重多少千克？

例题2.甲数是乙数的

练习2.在学校召开的秋季运动会上，李小强、刘小刚、王小林三个人参加了百米赛跑。赛跑的过程中，李小强的速度比刘小刚慢是多少？

例题3.蓝天小学和新世纪小学学生人数的比为3∶5。如果从蓝天小学转入新世纪小学150人，则蓝天小学与新世纪小学学生人数的比为3∶7。求原来蓝天小学和新世纪小学各有多少人？

练习3.甲、乙两个仓库货物的质量比是7:5，如果甲仓给乙仓26吨，那么甲、乙两个仓库货物的质量比是3:4.甲仓原来有多少吨货物？

第 1 页 共 1 页

34，乙数是丙数的，求这三个数的连比。 10911，刘小刚的速度比王小林慢，他们三人的速度比

一、填空。

1、表示两个（ ）的式子叫做比例。

2、在比例里，两个外项的（ ）等于两个内项的（ ），这叫做（ ）。

3、如果存在两个相关联的量a与b，且=k（一定），则a与b成（ ）比例，a和b叫做成正比例的（ ）。

4、如果存在两个相关联的量a与b，且a×b=k（一定），则a与b成（ ）比例，a和b叫做（ ）。 5、一幅地图上的线段比例尺是，图上5cm表示实际距离（ ）km。 6、三角形的面积一定，底与高（ ）比例关系。 7、圆锥的底面积一定，体积与高（ ）比例关系。 8、圆的周长和直径（ ）比例关系。 9、圆的半径和面积（ ）比例关系。

二、判断对错（对的在括号内画“√”，错的画“×”）。 1、3 ：7 = 5 ：9。 （ ）

2、长方形的周长一定，长与宽成反比例。 （ ） 3、总数量一定，每份的数量与份数成反比例。 （ ） 4

远辉教育

远辉教育秋季奥数班第一讲

——比和比例

主讲人：杨老师 学生：六年级 电话：62379828

一、 知识点：

在应用题的各种类型中，有一类与数量之间的（正、反）比例关系有关．在解答这类应用题时，我们需要对题中各个量之间的关系作出正确的判断．

成正比或反比的量中都有两种相关联的量．一种量（记作x）变化时另一种量（记作y）也随着变化．与这两个量联系着，有一个不变的量（记为k）．在判断变量x与y是否成正、反比例时，我们要紧紧抓住这个不变量k．如

成正比例；如果k是y与x

的积，即在x变化时，y与x的积不变：xy＝k，那么y与x成反比例．如果这两个关系式都不成立，那么y与x不成（正和反）比例．

下面我们从最基本的判断两种量是否成比例的例题开始．

二、 典例剖析：

例1 下列各题中的两种量是否成比例？成什么比例？ ①速度一定，路程与时间． ②路程一定，速度与时间．

③路程一定，已走的路程与未走的路程．

④总时间一定，要制造的零件总数和制造每个零件所用的时间． ⑤总产量一定，亩产量和播种面积． ⑥整除情况下被除数一定，除数和商． ⑦同时同地，竿高和影长．

⑧半径一定，圆心角的度数和扇形面积． ⑨两个齿轮啮合转动时转速和齿数．

小学六年级奥数

第二讲 比和比例

知识点拨：

比例与百分数作为一种数学工具在人们日常生活中处理多组数量关系非常有用，这一部分内容也是小升初考

试的重要内容.通过本讲需要学生掌握的内容有：

一、比和比例的性质

性质1：若a: b=c：d，则(a + c)：(b + d)= a：b=c：d； 性质2：若a: b=c：d，则(a - c)：(b - d)= a：b=c：d；

性质3：若a: b=c：d，则(a +x c)：(b +x d)=a：b=c：d；(x为常数) 性质4：若a: b=c：d，则a×d = b×c；(即外项积等于内项积) 正比例：如果a÷b=k(k为常数)，则称a、b成正比； 反比例：如果a×b=k(k为常数)，则称a、b成反比． 二、主要比例转化实例 ①

② ③ ④

xyxyxyxy????ababababca ? ? ? ，

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adbc⑤ x的等于y的，则x是y的，y是

比和比例(一)

11、小明和小方各走一段路程，小明走的路程比小方多，小方用的时间比小明

51多。小明和小方的速度之比是多少？ 8

2、东街小学六年级有学生46人，分成三个课外科技小组。已知第一组与第二组人数比是2:3，第一组与第三组的人数比是3:4。三个组各有多少人？

3、一列火车3小时行驶150千米。从A地到B地有240千米，需要行几小时？如果速度加快20%，要行多少小时？

4、有一自助餐厅，规定每次每人用餐费是：先生交30元，女士交20元，儿童交10元。某一天前来用餐的先生与女士人数之比是2:9，女士与儿童的人数之比是3:7，共收到所交的用餐费9450元。求这一天用餐的先生、女士和儿童的人数。

125、圆A和圆B一部分重叠,重叠部分的面积是圆A的,也是圆B的,求A、B

515的面积比。

6、某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是：大客车30元，小客车15元，小轿车10元。某日通过该收费站的大客车和小客车数量之比是5:6，小客车与小轿车之比是4:11，收取小轿车的通行费比大客车多210元。求这天三种车辆通过的数量。

比和比例（二）

111、小军行走的路程比小红多，而小红行走所用的时间却比小军多，求小军

410和小

小学六年级奥数讲义

正反比例性质求解

注：标有※的题目，属于东华、南开等中学历年考试原题相关知识铺垫

一、下面是有关购买相同礼品的份数与总价的表格

比。

二、下面是有关汽车从塘厦到东莞往返时的速度与时间的表格。

因为，时间×速度＝120×2＝80×3＝路程（一定），所以时间与速度成（）比例关系。

除此以外，我们还发现：

120：80＝（）：（） 2：3＝（）：（）根据以上发现，可以得出这样的结论：路程一定，时间与速度成反比例关系，去

分析：因为题目中给出的比是工效比，而具体量又是工作总量的差，条件不匹配，所以，必须进行条件的转化。

因为两人同时加工，同时结束，也就是工作时间相同（一定），工作效率和工作总量成（）比例关系，工效的比就是（）的比，甲乙的工效比是4：5，所以甲乙的工作总量比也是（）：（）。

所以甲完成的零件个数是：120÷（5-4）×4＝480（个）

乙完成的零件个数是： ，这批零件共有 。

练习：1.师徒两人共同加工一批零件，已知师徒的功效比是5:2，完工时，徒弟比师父少做21个，这

批零件共多少个？

2.甲7小时的工作量与乙6小时的工作量相等，他俩同时生产一批零件，当甲

《比和比例》教案

教学内容：

人民教育出版社六年级下册P89《比和比例》。

教学目标：

1、整理和复习有关比的知识，理解比的意义、性质，比和除法、分数之间的关系，能够正确地求比值和化简比。

2、整理和复习有关比例的知识，理解比例的意义，正比例、反比例的意义，会判断两种相关的量之间的比例关系。

3、在解决问题的过程中，体会比和比例在解决问题时的作用，从而体会数学的应用价值。 教学重点：

比和比例知识的整理。

教学难点：

正、反比例意义的理解。

教学具准备：

多媒体课件等。

教学过程：

一、导入

谁能用比的知识说说我们班男生、女生以及全班同学的人数情况？

（出示课题：比和比例）

二、复习

（一）比和比例的意义、性质

1、回忆一下，比和比例的知识中，我们研究了哪些内容？

请大家小组为单位，对我们学过的这些内容进行整理和复习。

（组织交流，依据学生的回答，教师适时点拨）

（1）什么是比？什么是比例？

（2）比、比例各部分的名称是什么？

（3）比和比例的基本性质是怎样的？

2、比和分数、除法有什么关系？

比和除法、分数的关系还可以用字母表示：

a:b＝a÷b＝ a/b （b≠0）

3、比和比例的基本性质。

（1）比的基本性质有什么用处？比例的基本性质呢？

化简比的方法有哪些？

①整数比化简，比的前项和