复数与复变函数第一章思维导图

复变函数第一章学习指导

一 知识结构

复数的定义???有序实数对???代数式???复数的五种表示?三角式???指数式 1. 复数?????向量??复数的模、辐角、共轭复数?棣莫夫公式??复数的n次方根???平面点集??预备知识?区域??曲线????2. 复变函数数?复变函数的概念及其集合意义

?复变函数的极限与连续概念与性质?????

二 学习要求

⒈了解复数定义及其几何意义； ⒉熟练掌握复数的运算； ⒊知道无穷远点邻域；

⒋了解单连通区域与复连通区域； ⒌理解复变函数；

⒍理解复变函数的极限与连续。 三 内容提要

复数是用有序数对(x,y)定义的，其中x,y为实数。要注意，因为复数是“有

序数对”，所以一般地讲，(x,y)?(y,x)。

正如所有实数构成的集合用R表示，所有复数构成的集合用C表示，即

C?{z?(a,b):a,b?R}

复数的四则运算定义为

(a,b)?(c,d)?(a?c,b?d) (a,b)?(c,d)?(a?c,b?d) (a,b)?(c,d)?(ac?bd,bc?ad)

1

ac?bdbc?ad,2),c2?d2?0 222c?dc?d

第一章 从实验学化学-1- 化学实验基本方法

过滤 一帖、 二低、 三靠 分离固体和液体的混合体时， 除去液体中不溶性固体。（漏斗、 滤纸、玻璃棒、 烧杯）

蒸发 不断搅拌， 有大量晶体时就应熄灯， 余热蒸发至干， 可防过热而迸溅 把稀溶液浓缩或把含固态溶质的溶液干， 在蒸发皿进行蒸发

蒸馏 ①液体体积②加热方式③温度计水银球位置④冷却的水流方向⑤防液体暴沸 利用沸点不同除去液体混合物中难挥发或不挥发的杂质（蒸馏烧瓶、 酒精灯、 温度计、 冷凝管、 接液管、 锥形瓶）

萃取 萃取剂： 原溶液中的溶剂互不相溶； ② 对溶质的溶解度要远大于原溶剂； ③ 要易于挥发。 利用溶质在互不相溶的溶剂里溶解度的不同， 用一种溶剂把溶质从它与另一溶剂所组成的溶液里提取出来的操作， 主要仪器： 分液漏斗

分液 下层的液体从下端放出， 上层从上口倒出 把互不相溶的两种液体分开的操作， 与萃取配合使用的

过滤器上洗涤沉淀的操作 向漏斗里注入蒸馏水， 使水面没过沉淀物， 等水流完后， 重复操作数次

配制一定物质的量浓度的溶液 需用的仪器 托盘天平（或量筒）、 烧杯、 玻璃棒、 容量瓶、 胶头滴管

主要步骤： ⑴ 计算 ⑵ 称量（如是液体就用滴定管量取） ⑶ 溶解（少量水， 搅拌，

第一章、复数与复变函数

1.1知识提要

1.复数的概念

形如z?x?iy的数称为复数，其中x,y为任意实数，i(i2??1)称为虚单位，x,y又称为

z的实部与虚部，记为x?Re(z),y?Im(z).

z?x?iy与直角坐标系平面上的点(x,y)成一一对应，平面称复平面.z?x2?y2表示

复数z的向量的长度，称复数的模.Argz???Arctan(y/x)称为z的辐角，表示z的向量与x轴正向间的交角的弧度数.其中满足??????的?0称为辐角z的主值，记作

?0?arcz.

2.复数的各种表示法

（1）复数z?x?iy可用复平面上点(x,y)表示。

（2）复数z?x?iy可用从原点指向点(x,y)的平面向量表示.

（3）复数的三角表达式为z?r(cos??isin?)，其中r?z,?为z?0时任一辐角值. （4）复数的指数表达式为z?re。

（5）复数的复球面表示.任取一与复平面切于原点的球面，原点称球面的南极，过原点且垂直平面的直线与球面的交点称为球面的北极，连接平面上任一点与球面北极的直线段与球面有一个交点，又在平面上引入一个假想点?与球面北极对应，构成扩充复平面与球面点的一一对应，即复数与球面上点的一一对应.球面称为复球面. 3.复数的代

一．复数与复变函数 ㈠选择

1.包含了单位圆盘|z|<1的区域是（ ） A.Re z<-1 B.Re z<0 C.Re z<1 D.Im z<0 2.arg(2-2i)=（ ） A.?3?4 B.??4 C.

?4 D.3?4 3.复数方程z=3t+it表示的曲线是（ ） A.直线 B.圆周 C.椭圆 D.双曲线 4.设z=x+iy，则|e2i+2z|=（ ） A.e2+2x B.e|2i+2z| C.e2+2z D.e2x 5.下列集合为无界多连通区域的是（ ） A.0<|z-3i|<1 B.Imz>π C.|z+ie|>4

D.

32??argz?2? 6.复数z?1625-825i的辐角为（ ）

A． arctan1 B．-arctan12 C．π-arctan12 D．π+arctan1227.方程Rez2?1所表示的平面曲线为（ ）

A． 圆 B．直线 C．椭圆 D．双曲线 8.复数z?-3(cos?5-isin?5)的三角表示式为（ ）

A．-3(cos45?＋isin45?) B．3(cos445?,－isin5?)

C．3(cos45?,＋isin45?) D．-3(cos45?,－isin45?)

9.下列复数中，位于第Ⅱ象限的复数

《高等数学》（微积分）教案

【教学内容】§1.1 函数

【教学目的】理解并掌握函数的概念与性质 【教学重点】函数的概念与性质 【教学难点】函数概念的理解 【教学时数】2学时 【教学过程】

一、组织教学，引入新课

极限是微积分学中最基本、最重要的概念之一，极限的思想与理论，是整个高等数学的基础，连续、微分、积分等重要概念都归结于极限. 因此掌握极限的思想与方法是学好高等数学的前提条件. 本章将在初等数学的基础上，介绍极限与连续的概念。 二、讲授新课 （一）实数概述 1、实数与数轴 （1）实数系表 （2）实数与数轴关系

?封闭性??有序性（3）实数的性质： ?

?稠密性?连续性?2、实数的绝对值

?x,x?0（1）绝对值的定义：x??

?x,x?0?（2）绝对值的几何意义 （3）绝对值的性质

练习：解下列绝对值不等式：① x?5?3，② x?1?2 3、区间

（1）区间的定义：区间是实数集的子集 （2）区间的分类：有限区间、无限区间 ① 有限区间：长度有限的区间

设a与b均为实数，且a?b，则

1

《高等数学》（微积分）教案

数集{xa?x?b}为以a、b为端点的闭区间，记作[a，b] 数集{xa?x?b}为以a、b为端点的开区间，记作（

§1.1.1 集合的含义与表示（1）

学习目标 1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；

2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；

3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征. 学习过程 一、课前准备 （预习教材P2~ P3，找出疑惑之处）

讨论：军训前学校通知：8月15日上午8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员. 试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？

引入：在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合，即是一些研究对象的总体.

集合是近代数学最基本的内容之一，许多重要的数学分支都建立在集合理论的基础上，它还渗透到自然科学的许多领域，其术语的科技文章和科普读物中比比皆是，学习它可为参阅一般科技读物和以后学习数学知识准备必要的条件.

二、新课导学 ※ 探索新知

探究1：考察几组对象： ① 1～20以内所有的质数；

② 到定点的距离等于定长的所有点； ③ 所有的锐角三角形；

④ x2, 3x?2, 5y3?x,

篇一：1.1.1第一章 集合与函数概念

1.1.1集合的含义与表示

一、知识识记。

1．集合定义:_______________________________________________ ．

2．元素定义:_________________________________________

3.元素与集合的关系

⑴ 属于:如果a是集合A的元素，就说a属于A,记作_________

⑵不属于:如果a不是集合A的元素，就说a不属于A,记作_________

4．记法:集合通常用，如 A 、 B 、 C 、 P 、 Q ?? 元素通常用表示，如 a 、 b 、 c 、 p 、 q ?? 注意:“∈”的开口方向，不能把a ∈A颠倒过来写.

5.常用数集及记法

⑴ 非负整数集（自然数集）:( 全体非负整数的集合 记作_______ )

⑵ 正整数集:( 非负整数集内排除 0 的集 记作 ________ )

⑶ 整数集:( 全体整数的集合 记作 _________ )

⑷有理数集:( 全体有理数的集合 记作_________)

⑸ 实数集:( 全体实数的集合 记作_________ )

注:⑴自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数 0

* ⑵非负整数集内排

第一章 函数与极限分析基础

函数 — 研究对象 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁

第一章

第一节 映射与函数一、集合 二、映射 三、函数

机动

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结束

一、 集合1. 定义及表示法

定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合.组成集合的事物称为元素. 不含任何元素的集合称为空集 , 记作 . 元素 a 属于集合 M , 记作 a M . 元素 a 不属于集合 M , 记作 a M ( 或 a M ) . 注: M 为数集*表示 M 中排除 0 的集 ; M

M 表示 M 中排除 0 与负数的集 .机动 目录 上页 下页 返回 结束

表示法： (1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 . 例: 有限集合 A a1 , a2 , , an (2) 描述法： M x x 所具有的特征

ai

n i 1

自然数集 N 0 , 1 , 2 , , n , n

例: 整数集合 Z x x N 或 x N p p 与 q 互质 p Z, q N , 有理数集 Q q 实数集合 R x x 为有理

第一章 函数·极限·连续

知识点：

?义域?函数的定义和函数的定??函数的简单性质???函数??基本初等函数??复合函数与初等函数?????简单的经济函数模型???定义?数列极限与函数极限的???函数的左、右极限????极限?无穷大量和无穷小量??极限的四则运算法则?????两个重要极限????函数连续的定义??间??函数的间断点与连续区?连续?初等函数的连续性????质 ?闭区间上连续函数的性??教学目的要求：

（1）理解函数的概念，会求函数的定义域及函数值；理解并掌握函数的简单性质；熟练掌握基本初等函数的表达式、定义域、图形和特性；理解复合函数的概念，会正确分析复合函数的复合过程；理解初等函数的概念；能建立简单实际问题的函数关系式。

（2）理解数列和函数极限的描述性定义；理解函数左、右极限的定义，理解函数极限存在的充分必要条件；理解无穷小量和无穷大量的概念及相互关系，理解与掌握无穷小量的性质，了解无穷小量的比较；熟练掌握极限四则运算法则和两个重要极限，会求极限。

（3）理解函数连续与间断的概念，掌握判断函数连续性的方法；理解函数连续和极限存在之间的关系；会求函数的间断点与连续区间；理解初等函数的连续性，并能利用函数连续性求极限；

（数学1必修）第一章（中） 函数及其表示

[基础训练A组] 一、选择题

1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）

⑴y1?⑵y1?(x?3)(x?5)x?3x?1，y2?x?5；

(x?1)(x?1)；

x?1，y2?2x；

⑶f(x)?x，g(x)?⑷f(x)?3x4?x3，F(x)?x3x?1； ⑸f1(x)?(2x?5)2，f2(x)?2x?5。 A．⑴、⑵ B．⑵、⑶ C．⑷ D．⑶、⑸

2．函数y?f(x)的图象与直线x?1的公共点数目是（ ） A．1 B．0 C．0或1 D．1或2

3．已知集合A??1,2,3,k?,B??4,7,a4,a2?3a?，且a?N*,x?A,y?B

使B中元素y?3x?1和A中的元素x对应，则a,k的值分别为（ ） A．2,3 B．3,4 C．3,5 D．2,5

?x?2(x??1)?4．已知f(x)??x2(?1?x?2)，若f(x)?3，则x的值是（ ）

?2x(x?2)?A．1 B．1或

32 C．1，

32或?3 D．3

5．为了得到函数y?f(?2x)的图象，可以把函数y?f(1?2x)的图象适当平