大一高数证明题类型

四、重点关注题目

1.证明：方程

?x0t4dt?4x?2在区间（1,2）只有唯一实根。

2.设f(x)在[0,1]上连续，且f(x)?1，证明：方程2x?个实根。

3.设f(x)在?0,?上连续，且f(x)?1，证明：方程

2?x0f(t)dt?1在（0,1）内只有一

?π????x01?t4f(t)dt??0cosxe?tdt?0在

2?π?

?0,?内有唯一实根。 ?2?

4. 试证:当0?x1?x2??2时,

tanx2x2? tanx1x15. 当x?0时,arctanx?1?? x26.当x?0时，(1?x)e?2x?1?x

7.证明：当1?x?0时，2ln(1?x)?ln2(1?x)?2x 8.证明：当x?0时，(1?x)ln(1?x)?arctanx

9.证明：当0?x?y??2时，

1tany?tanx1??

cos2xy?xcos2y10. 当x?1时，试证：

1n?1x?1x?1x?1?ln?. x?1221n1n?11naa?aa??(a?1,n?1)

(n?1)2lnan2x?ln(x?1)?x 12.证明：当x?0时，

x?111. 证明：

13.试证：当a?b?0,n?1时，nbn?1(a?b)?an?bn?nan?1(a?b).

一、极限存在准则

1． 准则I （夹逼准则）：如果数列xn,yn及zn满足下列条件: （1）yn?xn?zn(n?1,2,3,?); （2）limyn?a,limzn?a,

n??n??那末数列xn的极限存在, 且limxn?a.

n??思路提示：

1）利用夹逼准则求极限，关键是构造出yn与zn, 并且yn与zn的极限相同且容易求. 2）一般通过放大或缩小分母来找出两边数列的通项（右边取分母最小，左边取分母最大） 例题1 证明limn?(n??1n?12?1n?22???1n?n2)?1

解：因为

n22n?nn22?n?(1n?1n22?1n?22???1n?n12)?n22n?11n?22，

2而limn??n?1?limn??n?n?1?limn?(n??n?12????1n?n2)?1。

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 例题2 计算lim?n?????1n?12?1n?22?????. ?2n?n?1解：

姓名：班级：学号：

第一章 函数、极限、连续（小结）

一、函数

1. 邻域：U(a),U(a) 以a为中心的任何开区间； 2. 定义域：y?tanx{x?k??};y?cotx{x?k?};

??2y?arctanx{x?R,y?(?,)}；y?arcsinx{x?[?1,1],y?[?,]}

2222 y?arccosx{x?[?1,1],y?[0,?]}.

二、极限

1. 极限定义：（了解）

????limxn?a? 若对于???0，?N?Z?，st. 当n?N时，有|xn?a|??；

n??Note：|xn?a|???n??

x?x0limf(x)?A????0，???0，st. 当0?x?x0??时，有f(x)?A??；

Note：f(x)?A???x?x0??

limf(x)?A????0，?X?0，st. 当x?X时，有f(x)?A??；

x??Note：f(x)?A???x?? 2.函数极限的计算（掌握）

??f(x)?A?f(x0f(x)?A；（1） 定理： lim（分段函数） )?f(x0)?lim??x?x0x?x0x2?13?x?1?x0（2）型：①约公因子，有理化； 比如：lim3，lim；

x?1x?1x

一、选择题

1、某质点作直线运动的运动学方程为x?3t?2t2(SI), 则该

质点作 ( ) (A） 匀加速直线运动，加速度沿x正方向. (B) 匀加速直线运动，加速度沿x负方向. (C) 匀减速直线运动，加速度沿x正方向. (D) 匀减速直线运动，加速度沿x负方向.

2、物体在恒力F作用下作直线运动，在时间?t1内速率由v增加到2v，在时间?t2内速率由2v增加到3v，设F在?t1内的冲量是I1，在?t2内的冲量是I2，那么 （ ） (A)I1?I2 (B) I1?I2

(C) I1?I2 (D) 不能确定

3、物体在恒力F作用下作直线运动，在时间?t1内速度由v增

3v，设F在?t1内加到2v，在时间?t2内速度由2v增加到作的功是W1，在?t2内作的功是W2，那么 （ ） （A） W1?W2 （B） W1?W2

（C） W1?W2 （D） 不能确定

??F4、关于电场强度定义式E?q0，下列说法中哪个是正确

的？

高等数学（本科少学时类型）

第一章 函数与极限

第一节 函数

○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★） EMBED Equation.3 ??

EMBED Equation.3 ??

第二节 数列的极限

○数列极限的证明（★）

【题型示例】已知数列 EMBED Equation.3 ??，证明?? EMBED Equation.3 ????

??

【证明示例】?? EMBED Equation.3 ??????语言

1．由?? EMBED Equation.3 ????化简得?? EMBED Equation.3 ??????，

??

∴?? EMBED Equation.3 ????

??

2．即对?? EMBED Equation.3 ??????，?? EMBED Equation.3 ????，当?? EMBED Equation.3

??

??????时，始终有不等式?? EMBED Equation.3 ????成立，

??

∴?? EMBED Equation.3 ????

??

第三节 函数的极限

○ EMBED Equation.3 时函数极限的证明（★）

【题型示例】已

第六章 定积分

§6.1~6.2 定积分的概念、性质

一、填空题

1、设f(x)在[a,b]上连续，n等分[a,b]:a?x0?x1??xn?1?xn?b，并取小区

nb?ab?a)??间左端点xi?1，作乘积f(xi?1)?，则lim?f(xi?1n??nni?1??2baf(x)dx.

2、根据定积分的几何意义，

??20xdx?2，

?1?11?x2dx?，

??sinxdx??0.

3、设f(x)在闭区间[a,b]上连续，则

?baf(x)dx??f(t)dt?ab0.

二、单项选择题

1、定积分

?baf(x)dx (C) .

(A) 与f(x)无关 (B) 与区间[a,b]无关 (C) 与变量x采用的符号无关 (D) 是变量x的函数 2、下列不等式成立的是 (C) . (A) (C)

?21x2dx??x3dx (B) ?lnxdx??(lnx)2dx

111222?10xdx??ln(1?x)dx (D) ?edx??(1?x)dx

00011x13、设f(x)在[a,b]上连续，且

?baf(x)dx?0，则 (C)

高数复习题高数复习高数考试高数题目同济高数

一、常数项无穷级数

1. lim un = 0 是级数 ∑ un 收敛的 .n →∞n =1

∞

条件. 条件.

解：必要非充分. 必要非充分.

ln n 3 2. ∑ n = . n=0 2

∞

.

解：公比 q =

ln 3 1 < 1 的等比级数收敛且和 s = . 2 1 ln 3 2∞

1 3.对于无穷级数 ∑ 2 p ,下面中正确的是 [ ]. . . n =1 n (A) 仅当 p > 1 时收敛； 时收敛； (B) 仅当 p < 1 时收敛； 时收敛；(C) 仅当 p = 1 时收敛； 时收敛； (D) 仅当 p > 1 2 时收敛. 时收敛. ∞ 1 时级数收敛. 解： p 级数 ∑ 2 p 仅在 2 p > 1 ,即 p > 1 2 时级数收敛. n =1 n

高数复习题高数复习高数考试高数题目同济高数

4.若 ∑ | un | 收敛，则下面命题中不正确的是 . 收敛，

∞

[

]. .

(A) ∑ un 必收敛； 必收敛；n =1

∞ n =1

(B) | un | 必单调减少； 必单调减少；

(C) lim un = 0 ;n →∞

(D) ∑ ( 1) un 必收敛.

高等数学（本科少学时类型） 第一章 函数与极限

第一节 函数

○函数基础（高中函数部分相关知识）

（★★★） ○邻域（去心邻域）（★） U a, x|x a

U a, x|0 x a

始终有不等式f x A 成立，

f x A ∴limx

第二节 数列的极限 ○数列极限的证明（★）

【题型示例】已知数列 xn ，证明lim xn a x

【证明示例】 N语言

1．由xn a 化简得n g ，

∴N g

2．即对 0， N g 。当n N时，

始终有不等式xn a 成立，

xn a ∴limx

第三节 函数的极限

○x x0时函数极限的证明（★） 【题型示例】已知函数f x ，证明

limf x A x x

第四节 无穷小与无穷大

○无穷小与无穷大的本质（★）

函数f x 无穷小 limf x 0 函数f x 无穷大 limf x ○无穷小与无穷大的相关定理与推论

（★★）

（定理三）假设f x 为有界函数，g x 为

无穷小，则lim f x g x 0 （定理四）在自变量的某个变化过程中，若f x 为无穷大，则f 1 x 为无穷小；反之，若f x 为无穷小，且

f x 0，

图形证明题（一）

1．如图，已知：梯形ABCD中，AD∥BC，E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F，连接AF.

（1）求证：AD=CF；

（2）在原有条件不变的情况下，请你再添加一个条件（不再增添辅助线），使四边形AFCD成为菱形，并说明理由.

2. 如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF?BD，连结BF． （1）求证：D是BC的中点；

（2）如果AB?AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论． F A

E B D

C

3.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是线段AD上的一个动点(E与A、D不重合)，G、F、H分别是BE、BC、CE的中点．

(1)试探索四边形EGFH的形状，并说明理由．

(2)当点E运动到什么位置时，四边形EGFH是菱形?并加以证明．

(3)若(2)中的菱形EGFH是正方形，请探索线段EF与线段BC的关系，并证明你的结论．

4、将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′ 处，折痕为EF．（1）求证：△ABE≌△AD′F；

（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证

图形证明题（一）

1．如图，已知：梯形ABCD中，AD∥BC，E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F，连接AF.

（1）求证：AD=CF；

（2）在原有条件不变的情况下，请你再添加一个条件（不再增添辅助线），使四边形AFCD成为菱形，并说明理由.

2. 如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF?BD，连结BF． （1）求证：D是BC的中点；

（2）如果AB?AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论． F A

E B D

C

3.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是线段AD上的一个动点(E与A、D不重合)，G、F、H分别是BE、BC、CE的中点．

(1)试探索四边形EGFH的形状，并说明理由．

(2)当点E运动到什么位置时，四边形EGFH是菱形?并加以证明．

(3)若(2)中的菱形EGFH是正方形，请探索线段EF与线段BC的关系，并证明你的结论．

4、将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′ 处，折痕为EF．（1）求证：△ABE≌△AD′F；

（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证