定积分应用的微元法

洛阳师范学院 数学科学学院 《数学分析》教案

第十章 定积分的应用

在上一章引入定积分概念时，曾把曲边梯形的面积、变速直线运动的路程表示为积分和的极限，即要用定积分来加以度量。事实上，在科学技术中采用“分割、作和、取极限”的方法去度量实际量得到了广泛的应用。本章意在建立度量实际量的积分表达式的一种常用方法——微元法，然后用微元法去阐述定积分在某些几何、物理问题中的应用。

§1平面图形的面积

教学目标：掌握平面图形面积的计算公式． 教学内容：平面图形面积的计算公式．

(1) 基本要求：掌握平面图形面积的计算公式，包括参量方程及极坐标方程所定义的平面图形面积的计算公式．

(2) 较高要求：提出微元法的要领． 教学建议：

(1) 本节的重点是平面图形面积的计算公式，要求学生必须熟记并在应用中熟练掌握．

(2) 领会微元法的要领． 教学过程：

1、微元法

bI?众所周知，定积分

?f?x?dxa是由积分区间

?a,b?及被积函数f(x)所决定

的，而定积分对积分区间具有可加性，即如果把积分区间作为任意划分

?:x0?a?x1?x2???xn?1?xn?b

记

?Ik??xkxk?1f(x)dx k?1,2

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第三节 定积分的换元法和 分部积分法不定积分

第五章

换元积分法分部积分法

定积分

换元积分法分部积分法

一、定积分的换元法二、定积分的分部积分法43

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●

戴本忠

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学习指导1.教学目的：掌握运用换元公式求解定积分问题的方法；掌 握用分部积分法公式计算定积分的方法。 2.基本练习： (1) 用换元法计算定积分； (2) 被积函数具有奇偶性或周期性的定积分计算； (3) 利用换元法和被积函数的奇偶性及周期性来证明某些 定积分公式。 (4) 用分部积分法计算定积分。 3.注意事项： (1)换元法的目的是将复杂的或者抽象的被积函数变量代 换为常见的积分形式，所以基本的积分公式一定要熟记， 要掌握换元法所遵循的几个原则以正确地应用换元法。 (2)运用分部积分公式的关键是正确地选取u(x) 和v(x) 。熟 练掌握运用分部积分法的几种常用类型可帮助对u(x) ,v(x) 的选取。43

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戴本忠

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定积分的换元积分法根据

a f ( x )dx F (b) F (a ).微积分基本公式

b

不定积分法

定积分法，

且使用方法与相应的不定积分法类似。

43

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戴本忠

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定理 假

第四节 广义积分

在一些实际问题中，我们常遇到积分区间为无穷区间或被积函数为无界函数的积分，它们已经不属于前面所说的定积分，因此，我们需要对定积分作两种推广，从而形成了广义积分的概念. 一. 无穷区间上的广义积分

1.引例1.求下述广义曲边梯形的面积.

（1）由曲线y?e?x，及x轴、y轴所围成的图形的面积（作图） 解：A?limb????b0?x?b??1 edx?lim?1?e?b????（2）由曲线y?ex，及x轴、y轴所围成的图形的面积（作图） 解：A?lima????0axa??1. edx?lim?1?e?a????2．定义1.设函数f?x?在区间?a,???上连续，取b?a.如果极限 lim存在，则称此极限为函数f?x?在区间?a,???上的广义积分，记作?即：???a??b????f?x?dxab

af?x?dx.

f?x?dx?lim??b????f?x?dxab ————（1）

这时，也称广义积分?惯上称为广义积分???aaf?x?dx收敛；如果上述极限不存在，函数f?x?在区间?a,???上的广义积分就没有意义，习

f?x?dx发散.

定义2.设函数f?x?在区间???,b?上连续，取a

学号：

本科毕业论文

学 院 专 业 年 级 姓 名 论文题目 定积分的若干应用 指导教师 薛艳昉 职称 讲师

2013年5月16日

目 录

摘 要 ····························································································· 1 关键词 ····························································································· 1 Abstract ···········································································

第5章 定积分及其应用

本章讨论积分学的第二个问题——定积分．定积分是某种特殊和式的极限，它是从大量的实际问题中抽象出来的，在自然科学与工程技术中有着广泛的应用．

本章主要讲授定积分的定义、性质，积分上限函数及其导数，牛顿-莱布尼兹公式，定积分的换元法和分部积分法，广义积分，以及定积分在几何、物理、经济上的应用等．

通过本章的学习，学生能够理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可积的条件；掌握定积分的基本性质和对积分上限函数求导数的方法；能利用牛顿-莱布尼兹公式和定积分的换元法、分部积分法计算定积分；了解广义积分收敛和发散的概念，会求广义积分；会用定积分求平面图形的面积和简单的旋转体的体积，会用定积分解决沿直线运动时变力所做的功等实际问题．

5.1 定积分的概念与性质

5.1.1 引例

1．曲边梯形的面积

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(x)?0．由曲线y?f(x)，直线x?a，x?b以及x轴所围成的平面图形称为曲边梯形（如图5-1所示），下面讨论如何求该曲边梯形的面

积．

不难看出，该曲边梯形的面积取决于区间[a,b]及曲边y?f(x)．如果y?f(x)在[a,b]上为常数，此时曲边梯形为矩形，则其面积等于h(b?a)．现在

微元法在解题中的应用

江苏省镇江第一中学 邹建平

随着新课程的改革，微积分已经引入了高中数学课标，列入理科学生的高考考试范围，为高中物理的学习提供了更好的数学工具，使得高中物理不仅可以从研究方法上得到提升，这也就使得学生利用数学方法处理物理问题的能力得到很大的提高。在教学中渗透微元思想，对加深学生对物理概念、规律的理解，提高解决物理问题的能力将起到重大的作用．比如：位移对时间的变

dxdv，求位移：x??vdt；速度对时间的变化率——加速度：a?，dtdtdp求速度v??adt；动量对时间的变化率——力：F?，求冲量I??p??Fdt；磁通量对时

dtd?间的变化率——感应电动势：E?；通过导体某一截面的电量对时间的变化率——电流强度：

dtdqdWI?，求电量q??idt；功对时间的变化率——瞬时功率：P?，求功W??Fdx；穿

dtdtd?过线圈的磁通量对时间的变化率——感应电动势：E?n。学生掌握微元思想对这些物理概

dt化率——瞬时速度：v?念、规律的理解，拓宽知识的深度和广度，开拓解决物理问题的新途径，是认识过程中的一次“飞跃”。

一、用微元法解题的基本方法和步骤

例. 如图所示，水平放置的导体电阻为R ，R与两根光滑的平行金属导

在这里起航制作室制作 Ttangjianwei@126.com

微元法

（唐建伟）

（天水师范学院 数学与统计学院 数学与应用数学 甘肃天水 741001）

摘要 现在我们求：如果所求量Ф是分布在某区间【a，b】上的，或

者说它是该区间端点x的函数，即Ф=Ф（x），x∈[a,b],而且当x=b时，Ф（b）适为最终所求的值。

关键词 微元法、平面图形面积、立体体积、曲线弧长

引言 定积分的所有问题，一般总可按“分割，近似求和，取极限”

三个步骤导出所求量的积分形式。但为了简便实用起见，也常采用下面介绍的“微元法”。本节将采用此法来处理。

正文

在任意小区间[x，x+Δx]包含于[a，b]，恰当选取Φ微小增量ΔΦ的近似可求量Δ'Φ（所谓ΔΦ的近似可求量是指用来近似代替ΔΦ的有确定意义而且可计算量。例如：当Φ是由函数f确定的曲边梯形的面积时，Δ'Φ是以f（x）为长、Δx为宽 矩形的面积；当Φ是已知平行截面面积A(x)的集合体的体积时，Δ'Φ是以面积为A（x）的截面为底、Δx为高的柱体的体积。这里矩形的面积和柱体的体积都是有确定意义的，而可以利用公式进行计算）。若能把Δ'Φ近似表示

2012届毕业论文设计

论文题目： 概述定积分的发展与应用 专 业： 数学与应用数学 学 院： 数学与统计学院 指导教师： 刘 坤 班 级： 08级本科（1）班 姓 名： 李 勇 学 号： 2008011115 联系电话： 15101901171

概述定积分的发展与应用

李 勇，刘坤

(陇东学院数学与统计学院， 甘肃 庆阳 745000)

摘 要: 概述了定积分发展的三个历史阶段,讨论了定积分在各个学科中的具体应用. 关键词: 分割近似; 定积分; 流数法; 应用

微积分创立是数学史上一个具有划时代意义的创举,也是人类文明的一个伟大成果.正

如恩格斯评价的那样：\在一切理论成就中,未必再有什么象17世纪下半叶微积分的发明那样被当作人类精神的最高胜利了.\它是科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具; 如数学研究, 求数列极

第六章 微元法的应用 ..................................................................................................................... 2 §6.1 微元法 .................................................................................................................................. 2 §6.2 定积分在几何学中的应用 .................................................................................................. 4 §6.3 定积分在物理学中的应用 .................................................................................................. 9 §6.4 定积分在其它领域的应用 ...

题型

1. 由已知条件，根据定积分的方法、性质、定义，求面积 2. 由已知条件，根据定积分的方法、性质、定义，求体积

内容

一．微元法及其应用 二．平面图形的面积

1.直角坐标系下图形的面积

2.边界曲线为参数方程的图形面积 3. 极坐标系下平面图形的面积 三．立体的体积

1.已知平行截面的立体体积 2.旋转体的体积

四．平面曲线的弦长 五．旋转体的侧面积 六．定积分的应用

1.定积分在经济上的应用 2.定积分在物理上的应用

题型

题型I微元法的应用

题型II求平面图形的面积

题型III求立体的体积

题型IV定积分在经济上的应用 题型V定积分在物理上的应用

自测题六

解答题

4月25日定积分的应用练习题

一．填空题

1. 求由抛物线线y?x2?2x，直线x?1和x轴所围图形的面积为__________ 2.抛物线y2?2x把圆x2?y2?8分成两部分,求这两部分面积之比为__________ 3. 由曲线x?y?4y,x?2y及直线y?4 所围成图形的面积为 4.曲线y?22x?13x相应于区间[1，3]上的一段弧的长度为 35. 双纽线r2?为 ． 6.椭圆?3sin2?相应