正交矩阵的性质证明

正交矩阵与酉矩阵的性质和应用

0 前 言.......................................................................................................................... 1 1 欧式空间和正交矩阵................................................................................................ 2

1.1 欧式空间.......................................................................................................... 2 1.2 正交矩阵的定义和性质.................................................................................. 2

1.2.1 正交矩阵的定义和判定....................................

2.6 傅里叶变换的性质 2.6.1线性

若信号

则对于任意的常数a和b，有 将其推广，若

,则

和

的傅里叶变换分别为

和

，

其中为常数，n为正整数。

由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质.

显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：均匀性和叠加性。均匀性表明，若信号乘以常数a，则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a，即

叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和

2.6.2 反褶与共轭性

设f(t)的傅里叶变换为，下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换。 （1）反褶

f(-t)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为

（2）共轭

（3）既反褶又共轭

本性质还可利用前两条性质来证明： 设g(t)=f(-t)，h(t)=g*(t)，则

在上面三条性质的证明中，并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数，因此,无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性质

2.6.3 奇偶虚实性

已知f(t)的傅里叶变换为。

给出行正交矩阵的概念,并讨论行正交矩阵的行列式、可逆性、特征值、迹等问题,得到行正交矩阵的行列式、等于正负1、行正交矩阵的逆矩阵和伴随矩阵仍是行正交矩阵以及一些等价条件.

第 3卷第 1 7期

西南民族大学学报 然科学版自J u a f o t we t i e s y f r t n l i sNau a c e c i o o r l u h s v r i o i ai e t r l i n eEd t n n o S Un t Na o t S i

文章编号： 0 324 (0 1 1 0 10 10 832 1) - 7— 0 0 4

行正交矩阵的一些性质贾书伟，何承源(西华大学数学与计算机学院，四川成都 6 0 3 ) 10 9

摘

要：给出行正交矩阵的概念，并讨论行正交矩阵的行列式、可逆性、特征值、迹等问，题得到行正交矩阵的行列式

等于正负 l、行正交矩阵的逆矩阵和伴随矩阵仍是行正交矩阵以及一些等价条件.关键词：矩阵；正交矩阵；行正交矩阵； (对称矩阵行列)中图分类号： 5 . Ol 1 2文献标志码： A

d i 03 6/i n10 -4 3 0 0 .1 o:1 . 9 .s.0 32 8. 1.1 8 9 js 2 1

正交矩阵的作用

引言

正交矩阵是一类重要的实方阵，由于它的一些特殊的性质，使得它在不同的领域都有着广泛的作用,也推动了其它学科的发展.本文从正交矩阵的最主要的性质入手，来讨论它的四点作用.

首先，我们来了解一下正交矩阵的定义. 一.正交矩阵的定义及性质 (一)正交矩阵的定义

定义1 n阶实矩阵A，若满足A?A?E，则称A为正交矩阵. 定义2 n阶实矩阵A，若满足AA??E，则称A为正交矩阵. 定义3 n阶实矩阵A，若满足A??A?1，则称A为正交矩阵. 定义4 n阶实矩阵A的n个行（列）向量是两两正交 的单位向量，则称A为正交矩阵. 以上四个定义是等价定义. (二)正交矩阵的性质

设A为正交矩阵，它有如下的主要性质. <1>∣A∣=±1，A-1存在，并且A-1也为正交矩阵； <2>A′，A*也是正交矩阵；

当∣A∣=1时，A??A*，即aij?Aij；

1

当∣A∣=-1时,A???A*,即aij??Aij.

<3>若B也是正交矩阵，则AB,A?B,AB?,A?1B,AB?1都为正交 矩阵.

证明 <1>显然 A??1

(A?1)???A???(A?1)?1 所以A?1也是正交矩阵.

?1<2>A??A?1，显然A?为正交矩阵.

A*由 A??1，A??A

正交多项式的性质

（李锋，1080209030）

摘要：本文主要阐述了由基{1,x,x2,?,xn,?}按G-S正交化方法得到的正交多项式的一些有用性质及

其证明过程，包括正交性，递推关系，根的分布规律等。

正如在最佳平方逼近的讨论中看到的那样，正交多项式能够使得由其生成的Gram矩阵

的形式极其简单，为非奇异对角矩阵，从而大大降低了求解最佳平方逼近多项式的系数的计算，也避免了计算病态的矩阵方程。同时在数值积分方面，它也有着非常重要的应用。因而，有必要分析正交多项式有用的性质。

在区间[a,b]上，给定权函数?(x)，可以由线性无关的一组基{1,x,x2,?,xn,?}，利

用施密特正交化方法构造出正交多项式族{?n(x)}?由?n(x)生成的线性空间记为?。对0，

*于f(x)?C[a,b]，根据次数k的具体要求，总可以在?在找到最佳平方逼近多项式?k (x)。

?n(x)的具体形式为：

(xn,?k)?0(x)?1;?n(x)?x???k(x),n?1,2?

k?0(?k,?k)nn?1这样构造的正交多项式?n(x)具有以下一些有用的性质： 1.

?n(x)为最高次数项系数为1的n次多项式；

2. 任一不高于n次的多项式都可以表示成

???kk?0

关于矩阵秩的证明

-----09数应 鄢丽萍

中文摘要

在高等代数中,矩阵的秩是一个重要的概念。它是矩阵的一个数量特征，而且在初等变换下保持不变。关于矩阵秩的问题,通常转化为矩阵是否可逆,线性方程组的解的情况等来解决。

所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩，矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩，由于矩阵的行秩与列秩相等，故统称为矩阵的秩。向量组的秩就是向量组中极大线性无关组所含向量的个数。

关键词：初等变换 向量组的秩 极大线性无关组

约定用E表示单位向量，AT表示矩阵A的转置，r(A)表示矩阵A的秩。在涉及矩阵的秩时，以下几个简单的性质： （1） r(A)=r(AT); （2）

?r(A) k?0r(kA)=?

0 k?0?

（3） 设A,B分别为n×m与m×s矩阵，则 r(AB)≤min{r(A),r(B),n,m,s} (4) (5) (6)

矩阵可以进行加法，数乘，乘法等运算，运算后的新矩阵的秩与原矩阵的秩有一定关系。

r(A)=n,当且仅当A≠0

?r??A O??A C????=r(A

第1篇：正定矩阵的几种经典证明方法

科技论坛　正定矩阵的几种经典证明方法　封京梅　（陕西广播电视大学，陕西西安７１０１１９）　摘要：矩阵是数学中一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，同时矩阵论又是研究线性代数的一个有力工具．而正定　矩阵因其特有的性质及广泛的应用领域使得很多学者对其进行了大量的研究，本文主要利用特征值，单位矩阵，上三角矩阵，可逆矩阵等　知识给出正定矩阵的几种证明方法和一些性质，希望能起到推广正定矩阵应用的作用。　关键词：正定矩阵；可逆矩阵；特征值；主子式　零，由归纳法的假设可知Ａ。是正定矩阵，换句话说存在可逆的ｎ一１　引言　ｑ　ｑ　矩阵的思想很早就已经有了，至少可以追溯到汉代中国学者在　级矩阵Ｇ使Ｇ　ＡＧ＝　（Ｅ　是ｎ一１级单位矩阵），　解线性方程组时的应用上。而经过近几年的发展，矩阵论已经是代　数学中的一个重要分支了，而正定矩阵因其特有的性质及应用也受　到了人们的广泛关注．但是正定矩阵的证明方法一直成为我们应用　正定矩阵的瓶颈，为此我们将给出几种经典的证明方法及重要性　质．首先，对以下名词加以说明：　①正定矩阵：实数域Ｒ上二次型刷＝ｘ＇Ａｘ，若对任意　一　，恐，‘‘　）　∈　，Ｘｏ；０均有价。Ｊ＞０，则称ｇｘ）为正定

材质证明书英文

出国留学证明材料中英文版

一、 成绩单证明 二、 学校证明 三、 教师推荐信两份 四、 毕业证书公证 五、 出生

证明公证 六、 公证书 第一部分 中文版本 材料一 成绩单证明

1. 中文 日期：

签名：

2.英文

transcript for student of changsha no. 2 middle school signature:

安庆师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文

矩阵迹的若干个性质与应用

姓名：某某 指导老师：某某

摘 要：根据矩阵迹的定义,首先给出了矩阵迹的性质,然后依据方阵的F?范数定义Cauchy —Schwarz

不等式,给出了零矩阵,不相似矩阵,数幂矩阵,列矩阵,幂等矩阵及矩阵不等式的证法。矩阵的迹在解题中的应用给出了实例。

关键词：迹 矩阵 范数 特征值

1 引言

矩阵的迹及其应用是高等数学的重要内容，也是工程理论研究中的重要工具。本文在前人研究的基础上，首先介绍了矩阵迹的相关性质，然后给出了零矩阵，不相似矩阵，数幂矩阵，列矩阵，幂等矩阵及矩阵不等式的证法，最后对矩阵的应用给出实例。

2 预备知识

定义1 设

A?(aij)?Cn?n,则trA??aii称为A 的迹。

i?1n定义2 设

nnA?(aij)?Cn?n,记与向量范数AX2相容的A 的F 一范数为: 212AF?(??aij)

i?1j?1(1)A?0?AF?0

(2) KAF?K?AF,?K?C(3) A?B(4) AB(5) AXF

?AF?BF,?A,B?Cn

F?AF?BF,?A,B?Cn?n ?AF2?X2

引理：矩阵迹的性质: 1

本科生学年论文（设计）

论文（设计）题目 正定矩阵的性质及应用 作 者 分院、 专业 理学分院数学与应用数学专业 班 级

指导教师（职称） 字 数 5488 成果完成时间

正定矩阵的性质及应用

摘 要：我们在化二次型为标准型的过程中，得到了正定矩阵的定义，而关于正定矩阵的等价定理及其性质我们在本文中进行了详细的举例及证明．同时，本文也就正定矩阵的性质在矩阵、不等式和极值问题的应用进行了深刻的探讨． 关键词：正定矩阵；等价定理；性质；应用

The nature and application of positive definite matrices

Abstract：We are o