求基与维数的例题

线性空间基和维数的求法

方法一 根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数,即：在线性空间V中，如果有

n个向量?1,?,?n满足:

(1)?1,?2?,?n线性无关。

(2)V中任一向量?总可以由?1,?2,?,?n线性表示。

那么称V为n维（有限维）线性空间，n为V的维数，记为dimv?n，并称

?1,?2,?,?n为线性空间V的一组基。

如果在V中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就成V为无限维的。

例1 设V?XAX?0，A为数域P上m?n矩阵，X为数域P上n维向量，求V的维数和一组基。

解 设矩阵A的秩为r，则齐次线性方程组AX?0的任一基础解系都是V的基，且V的维数为n?r。

???0a?例2 数域P上全体形如?对矩阵的加法及数与矩阵的乘法所组成?的二阶方阵，

?ab??的线性空间，求此空间的维数和一组基。

解 易证???0a???01??00?为线性空间V?｜a,b?p,???的一组线性无关的向??????10??01????ab???01??00??0a??0a?量组，且对V中任一元素???a??+b?? ?有?ab1001?ab????????按定义??01??00??,??为V的一组基，V的维数为2。 ?10??01?

1．基与维数

结论1 设，当下述三个条件有两条满足时，{}就是V的一个基. (i)零向量可由唯一地线性表示；

(ii)V中每个向量都可由 唯一地线性表示； (iii).

结论2 设,都是F上向量空间V的子空间. 若，,则，且. 例 1 设和都是数域，且，则是上的向量空间. 域F是F上向量空间，基是 {1}，. C是R向量空间，{ 1 , i} 是基，.

R是有理数域上的无限维向量空间，这是因为对任意的正整数t，是线性无关的，这里. 令，则F是一个数域，F是Q上的向量空间. 1) 1, 线性无关：

设，. 则 (否则，,矛盾)，因此. 2) 1, , 线性无关： 设，，i=1,2,3 . ( 1 ) ,

两端平方得 ,

由于1, 线性无关，故

假如，则，且，即 . 矛盾.

因而故假如，则得，这与是无理数相矛盾. 因而 将代入(1)，便得这说明1, , 线性无关. 3) 1, , ,线性无关： 设，，i=1,2,3,4 . 则有 .

篇一：亿以内数的改写和求近似数

晓坪学校四年级 数学（上册）导学案

备导时间：2015.9 设计者：谢杨执教者：

篇二：亿以内数的改写与求近似数

“亿以内数的改写与求近似数”教学反思

将整万的数改写成以“万”作单位的数，将非整万的数用“四舍五入”的方法改写成以“万”作单位的数，是两种不同的改写方法。重点要组织学生比较，使学生形成清晰的概念。

在教学改写成用万作单位的时候，我以身体里流淌着很多血液，在血液里有很多的白细胞和红细胞，你知道白细胞和红细胞的作用吗？学生说的非常好。然后我又问你知道一小滴血液里含有多少红细胞和白细胞吗？学生马上就说出了红细胞和白细胞的个数，我自然而然引出万以内数的改写。学生很快得出了把末尾的四个零去掉，在加上一个万字就可以了。这个环节完成的比较顺利，也体现了学生是学习的主人，教师是合作者，引导者这一理念。

亿以内数的省略是本节课教学的难点，为了突破难点，在这个环节我先出示了课本上的例6，地球的直径大约是多少万千米？太阳的呢？出示地球和太阳的图片让学生观察，我怕学生不会就一步一步的引导，问题是地球的直径是多少万千米就是让省略万位后面的尾数求近似数，省略万位后面的尾数要看哪一位上的数？在我的引导下学生虽然程度好的同学掌握了方法，但是在学

《三联生活周刊》：维基解密与美国政府的战争——美国舆论敌视阿桑奇

来源：《三联生活周刊》 2010-12-21 18:05

今年7月，维基解密对阿富汗战争、伊拉克战争的文件披露，是有史以来最大规模的军事机密泄露。11月28日，维基解密开始发布数以万计的美国外交文件，这是有史以来最大规模的外交机密泄露。英国《卫报》、《泰晤士报》随即展开连续报道。

封面

维基解密网站创始人朱利安?阿桑奇

德国《明镜》周刊报道“维基解密事件”

11月29日，美国国务卿希拉里?克林顿表示，美国对维基解密公布美国政府秘密文件深感遗憾，她将努力消除盟友的疑虑

维基解密解了什么密？

一个危险的国际玩笑

苗炜

在电影《绿区》中，马特?达蒙扮演了一个美国军人，在伊拉克不断寻找大规模杀伤性武器，最终却发现，这个战争借口是个骗局，他把搜集到的情报转交给了

一位记者。现实生活中，一等兵布拉德利?曼宁(Bradley Manning)将服役期间获取的数十万份外交文件下载到光盘中，交给了朱利安?阿桑奇(Julian Assange)创建的维基解密网站。

维基解密网站4年前上线，曾经披露过美军关塔那摩监狱的运作规程、莎拉?佩林私人邮件、基督科学教派的秘密手册等内容。面对要求删除的法律威胁，阿桑奇通常的

四年级数学《求小数的近似数》说课稿

一、教材内容及编排意图：

《求小数的近似数》是义务教材人教版数学四年级下册第四单元第五节的内容。是学生已经掌握了用四舍五入法求整数近似数后的一次扩展，同时又为后面改写成以万和亿作单位的数做好知识铺垫。教材内容展示了豆豆测量身高这一现实情境，说明小数的近似数在实际测量当中有着广泛的应用，从而加深对小数的认识，进一步培养学生的数感。

二、教学目标的设定：

1.结合具体情境理解小数近似数的意义，掌握求小数近似数的方法，理解并应用“四舍五入”法求小数的近似数，知道精确度的含义。

2.经历类比迁移求小数近似数的过程，通过观察、发现、讨论交流等数学活动培养学生推理及概括能力，初步掌握“迁移”、“数形结合”等学习数学的方法。

3.感受近似数的实际意义，体会数学与生活的密切联系，激发学习兴趣，培养学生的数感。

三、教学重点：

1.理解并应用“四舍五入”法求小数的近似数。

2.理解求小数的近似数时，近似数末尾的0不能省略的道理。

四、教学难点：

理解求一个数的近似数时，近似数末尾的0不能省略的道理。

五、教学流程：

在这节课中，我采用五环节教学，即“创设情境，

亿以上数的改写和求近似数说课稿

冯阳

1.

说教材：

亿以上数的改写和求近似数是在前面亿以内数的改写和求近似数的进一步学习，加强学生对大数的认识。 2.

教学目标：

（1）知识与技能：

掌握将整亿的数改写成以“亿”作单位的数的方法，能正确地改写整亿的数。掌握将非整亿的数用“四舍五入”法改写成以“亿”作单位的近似数的方法，能正确地“略写”非整亿的数。 （2）过程与方法：

结合现实素材，使学生感受亿以上数的意义，培养学生的数感。

（3）情感态度与价值观：利用教材提供的素材，增强学生的科普知识，扩大学生的视野。

3. 教学难点：

将非整亿的数用“四舍五入”法改写成以“亿”作单位的近似数，亿以上数的改写和省略亿以内数的省略。通过本节课的学习使学生掌握大数的改写方法和省略亿后面的尾数求近似数的方法，四舍五入与改写的区别。

.教学重点：大数的改写和略写，掌握改写的方法，掌握求近似数的方法。 4. 教学过程： (1) 复习导入:

在复习铺垫时，由于学生已经学过亿以上数的读法和写法，我出示了一些整亿数和一些非整亿数，让学生先通过读数和写数发现整亿数和非整亿数的特点引出本节课的课题，效果很好。

(2)课前预习

我认为课前预习是非常好的一种学习方法，通过预习可以

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解读马基雅维利笔下的道德与政治

作者：时帅

来源：《法制与社会》2013年第34期

摘 要 尼科洛·马基雅维利是文艺复兴时期意大利一位著名的影响深远的政治思想家，近代资产阶级政治学说奠基人，在马基雅维利的思想中政治与道德的关系构成了他全部理论的核心，长期以来人们对马基雅维利及其思想理论就争议不断，其最大的贡献就是以现实主义的原则出发，使政治活动逐渐开始摆脱神权的控制与束缚，面向真实的人。 关键词 马基雅维利 政治 道德

作者简介：时帅，西北师范大学马克思主义学院，研究方向：比较思想政治教育。 中图分类号：D920.4文献标识码：A文章编号：1009-0592（2013）12-138-02

道德，英语单词为Morality，是指以善恶为标准，通过社会舆论、内心信念和传统习惯来评价人的行为，调整人与人之间以及个人与社会之间相互关系的行动规范的总和。道德作用的发挥有待于道德功能的全面实施。道德具有调节、认识、教育、导向等功能。与政治、法律、艺术等意识形式有密切的关系。政治，英语单词为politics，是指在特定

维数定理与容斥原理

两个有限维子空间的和的维数定理：

dim(U1+U2)=dimU1+dimU2-dim(U1 ∩ U2) 两个有限集合元素个数的容斥原理：

card(U1∪U2)=cardU1+cardU2-card(U1 ∩ U2)

子空间的和类比于集合的并，那么维数定理和容斥原理形式上及其相似。为什么会有如此的巧合？

可以看到子空间的基底构成的集合在维数定理中扮演一个很重要的转换作用：选择U1 ∩ U2的基底并分别扩充到U1和U2的基底之后，设U1和U2的基底构成的集合分别为A1和A2，那么U1+U2, U1 ∩ U2的基底就分别对应A1∪A2和A1∩ A2。因此两个公式相似也就不足为奇。

那么是否可以把维数定理推广到多个子空间的情形呢？考虑三个子空间的情形，类比于三个集合的容斥原理

card(U1∪U2∪U3)=cardU1+cardU2+cardU3-card(U1 ∩ U2)-card(U2 ∩ U3)-card(U1 ∩ U3)+card(U1 ∩ U2∩ U3) 是否也有类似的三个子空间和的维数定理

dim(U1+U2+U3)=dimU1+dimU2+dimU3-dim(U1 ∩ U2)-dim(U2 ∩ U3

马基雅维利政治思想的简要评述

摘要：马基雅维利作为近代资产阶级政治学说的奠基者，他是以匠心独具的深邃洞察力和推

理分析能力在对现实生活中显现的政治现象进行理性思辨。他从传统神学和理论学的束缚中摆脱出来，结合历史经验和生活实践，立足于现实，旗帜鲜明地排斥那些公认的美德，将君主的政治行为和伦理行为截然分开，进而深刻分析了“政治无道德”的权术理论。

关键词：马基雅维利； 政治道德； 权利政治观； 共和制； 政治统治方法

恩格斯曾经在谈到西欧的文艺复兴的时候说过：“这是一次人类从来没有经历过的最伟大、进步的变革，是一个需要巨人而且产生巨人—在思维能力、热情和性格方面，在多才多艺和学识渊博方面的巨人的时代。”而在他所谈及的巨人代表里，马基雅维利位居其中。近五个世纪以来，马基雅维利是一位十分受争议的人物，集极端的毁和誉于一身。恩格斯如此充满赞美之情地评价马基雅维利，而莎士比亚却把这位巨人称之为“凶残的马基雅维利”，近代人也曾称他为“罪恶的导师”，更有甚者，把他的名字与残暴无情、背信弃义、口是心非、阴险狡诈联系在一起，冠名“马基雅维利主义”。 无论褒与贬，无论毁与誉，最后的终结点还是会落在他的“政治无道德”的权术思想这方面。马克思评价马基雅维利使“政治的理论

Unit 1 MECHATRONICS

? Section I Dialogue

- Could you tell me something about “mechatronics” [,mek?'tr?niks]？ -你能告诉我一些关于“机电一体化”的东西吗?

-Sure. Mechatronics is a term for the integration [,inti'ɡrei??n] of mechanical [mi'k?nik?l] and electronic engineering [,end?i'ni?ri?].

-当然可以。机电一体化是一个综合了机械和电子工程的术语。 - It sounds like a new concept ['k?nsept]. -这听起来像是一个新概念。

-I don’t think so. In fact, mechatronics was coins by the Japanese 40 years ago and has been widely used in the world for many years. And mechatronic devices [di'vais] ha