离散数学命题逻辑的基本概念

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离散数学第一章命题逻辑知识点总结

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数理逻辑部分

第1章 命题逻辑 1.1 命题符号化及联结词 命题: 判断结果惟一的陈述句 命题的真值: 判断的结果 真值的取值: 真与假 真命题: 真值为真的命题 假命题: 真值为假的命题

注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题,陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题。

简单命题(原子命题):简单陈述句构成的命题

复合命题:由简单命题与联结词按一定规则复合而成的命题 简单命题符号化

用小写英文字母 p, q, r, … ,pi,qi,ri (i≥1)表示 简单命题

用“1”表示真,用“0”表示假

例如,令 p: 是有理数,则 p 的真值为 0

q:2 + 5 = 7,则 q 的真值为 1

联结词与复合命题 1.否定式与否定联结词“?”

定义 设p为命题,复合命题 “非p”(或 “p的否定”)称

为p的否定式,记作?p. 符号?称作否定联结词,并规定?p 为真当且仅当p为假.

2.合取式与合取联结词“∧”

定义 设p,q为二命题,复合命题“p并且q”(或“p与q”)称为p与q的合取式,记作p∧q. ∧称作合取联结词,并规定 p∧q为真当且仅当p与q同时为真

注意:描述合取

01-离散命题逻辑-1.1~1.3

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第一部分

数理逻辑

2013年8月22日星期四

有一逻辑学家误入某部落,被拘于牢

狱,酋长欲放行,他对逻辑学家说: 逻辑学家手指一门问身旁一名战士说: 这扇门是死 今有两门,一为自由,一为死亡, 你可任意开启一门。为协助你脱逃, 今加派两名战士负责解答你所提的任 何问题。惟可虑者,此两战士中一名 天性诚实,一名说谎成性,今后生死 由你自己选择。 逻辑学家沉思片刻,

亡门,他(指另一名战士)将回答‘是’,对吗?

即向一战士发问,然后开门从容离去。

2013年8月22日星期四

P:被问战士是诚实人。 Q:被问战士的回答是 是 R:另一战士回答的是 是 S:这扇门是死亡门。

P T T F

Q T F F

R T F T

S F T F T

F T F 当被问人回答 是 时,此门是生门

当被问人回答 否 时,此门是死门

S (P∧ Q) ∨( P∧ Q)

(P∨ P) ∧ Q Q (S的真值总与Q的真值相反)

逻辑科学,它分为:

2013年8月22日星期四

逻辑,是研究思维形式及思维规律的科学,也把它称为研究推理的 概念是思维的基本单位 由一个或几个判断推出 通过概念对事物是否具有

辨证逻辑——是研究人的思维中的辩证法。

另一判断的思维形式, 某种属性进行肯定或否定

离散数学概念

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命题演算

? 命题(真值确定但不一定要知道真假,比如“存在外星人”是一个命题,它的真值确定,即使我们不知道真值)

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

原始命题/原子命题 复合命题 逻辑连接词 否定/┐ 合取/∧ 析取/∨

条件/→(┐P∨Q)

双条件(不好意思,双向箭头字符未找到,(P∧Q)∨(┐P∧┐Q)) 真值表 命题公式/公式 命题变元 命题演算

等价(自反性、对称性、传递性,等价变换法俗称“少林派”) 结合律 交换律 分配律

德·摩根律/反演律 双重否定率 代换

蕴含(自反性、反对称性、传递性,蕴含推理法俗称“武当派”,传递法俗称“隔山打牛”) 对偶法则 对偶

不可兼析取(析取符上加一横,异或) 逆条件(条件符上加字母c) 与非/↑ 或非/↓

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

结合力( ⑴┐⑵∧⑶∨、不可兼析取、↑、↓⑷→、逆条件⑸双条件 ) 析取范式 合取范式

主析取范式(∑=m∨…) 主合取范式(∏=M∧…) 直接推演 P规则 T规则

CP规则(俗称“北冥神功”) 间接推演/间接证明/反

离散数学第七章图的基本概念知识点总结

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图论部分 第七章、图的基本概念 7.1 无向图及有向图 无向图与有向图

多重集合: 元素可以重复出现的集合 无序积: A &B ={(x ,y ) | x ∈A ∧y ∈B } 定义 无向图G =, 其中 (1) 顶点集V ≠?,元素称为顶点

(2) 边集E 为V &V 的多重子集,其元素称为无向边,简称边.

例如, G =如图所示, 其中V ={v 1, v 2, …,v 5}, E ={(v 1,v 1), (v 1,v 2),

(v 2,v 3), (v 2,v 3), (v 2,v 5), (v 1,v 5), (v 4,v 5)} ,

定义 有向图D =, 其中

(1) V 同无向图的顶点集, 元素也称为顶点

(2) 边集E 为V ?V 的多重子集,其元素称为有向边,简称边.

用无向边代替D 的所有有向边所得到的无向图称作D 的基图,右图是有向图,试写出它的V 和E

注意:图的数学定义与图形表示,在同构(待叙)的意义下是一一对应的

通常用G 表示无向图, D 表示有向图, 也常用G 泛指 无向图和有向图, 用e k 表示无向边或有向边.

V (G ), E (G ), V (D ), E (D ): G 和D 的顶点集, 边集. n 阶图:

离散数学第七章图的基本概念知识点总结

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图论部分 第七章、图的基本概念 7.1 无向图及有向图 无向图与有向图

多重集合: 元素可以重复出现的集合 无序积: A &B ={(x ,y ) | x ∈A ∧y ∈B } 定义 无向图G =, 其中 (1) 顶点集V ≠?,元素称为顶点

(2) 边集E 为V &V 的多重子集,其元素称为无向边,简称边.

例如, G =如图所示, 其中V ={v 1, v 2, …,v 5}, E ={(v 1,v 1), (v 1,v 2),

(v 2,v 3), (v 2,v 3), (v 2,v 5), (v 1,v 5), (v 4,v 5)} ,

定义 有向图D =, 其中

(1) V 同无向图的顶点集, 元素也称为顶点

(2) 边集E 为V ?V 的多重子集,其元素称为有向边,简称边.

用无向边代替D 的所有有向边所得到的无向图称作D 的基图,右图是有向图,试写出它的V 和E

注意:图的数学定义与图形表示,在同构(待叙)的意义下是一一对应的

通常用G 表示无向图, D 表示有向图, 也常用G 泛指 无向图和有向图, 用e k 表示无向边或有向边.

V (G ), E (G ), V (D ), E (D ): G 和D 的顶点集, 边集. n 阶图:

1.1命题逻辑

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【课题】1.1命题逻辑

【教学目标】

知识目标:

(1)理解命题的概念.知道真命题与假命题的意义; (2)了解简单命题和复合命题的概念;

(3)掌握“且”、“或”、“非”、“如果?,那么?”、“当且仅当”等联结词. 能力目标:

通过简单命题和复合命题的学习,提高学生的数学思维能力.

【教学重点】

命题的真假.

【教学难点】

复合命题的真假.

【教学设计】

(1)通过日常生活、生产中的实例导入命题的概念; (2)引导学生认识命题、真命题和假命题的概念;

(3)通过概括、归纳的方法,让学生理解并掌握逻辑。联结词“且”、“或”、“非”的使用;

(4)通过分析例题,学会应用逻辑连接词的真值表判断命题的真假; (4)通过练习,巩固知识. (5)教学过程符合学生思维特点.

【教学备品】

教学课件.

【课时安排】

2课时.(90分钟)

【教学过程】

教 学 过 程 *第一章引言 我们经常说到一个词叫做“逻辑”,它指的是思维的规律.人们常说“说话要有条有理”,有条有理就是思路清晰,思路清晰就是思维逻辑合理.通常我们说的每一句话都需要合乎逻教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 介绍 说明 倾听 了解 引入教学内容 5

命题逻辑习题

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1. 设命题p1,p2的真值为1,p3,p4真值为0,求命题

(p1?(p2?(p3??p1)))?(p2??p4)的真值。

2. 给定3个命题:p:北京比天津人口多;q:2大于1;r:15是素数。 求复合命题:

(q?r)?(p??r)的真值。

3. 用等值演算法和真值表法判断公式A?((p?q)?(q?p))?(p?q)的类型。 4. 下列问题,若成立请证明,若不成立请举出反例:

已知p?r?q?r,问p?q成立吗? 已知?p??q,问p?q成立吗?

5. 如果厂方拒绝增加工资,那么罢工就不会停止,除非罢工超过一年并且工厂撤换了厂长。

问:若厂方拒绝增加工资,罢工刚开始,罢工是否能够停止。

6. 或者逻辑难学,或者有少数学生不喜欢它;如果数学容易学,那么逻辑并不难学。因此,如

果许多学生喜欢逻辑,那么数学难学。

7. 用反证法证明(p?q),(p?r),(q?s)?s?r。

8. 用CP规则证明p?(q?r),r?(q?s)?p?(q?s)。 9. 用CP规则证明:(s?q)?r,?r?p10. p?q?r?s,s?t?u?p?u

,?p?s??q

离散数学,逻辑学,命题公式求真值表

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离散逻辑学实验

班级:10电信实验班 学号:Q10600132 姓名:王彬彬 一、实验目的

熟悉掌握命题逻辑中的联接词、真值表、主范式等,进一步能用它们来解决实际问题。

二、实验内容

1. 从键盘输入两个命题变元P和Q的真值,求它们的合取、析取、条件和双条件的真值。(A)

2. 求任意一个命题公式的真值表(B,并根据真值表求主范式(C))

三、实验环境

C或C++语言编程环境实现。

四、实验原理和实现过程(算法描述)

1.实验原理

(1)合取:二元命题联结词。将两个命题P、Q联结起来,构成一个新的命题P∧Q, 读作P、Q的合取, 也可读作P与Q。这个新命题的真值与构成它的命题P、Q的真值间的关系为只有当两个命题变项P = T, Q = T时方可P∧Q =T, 而P、Q只要有一为F则P∧Q = F。这样看来,P∧Q可用来表示日常用语P与Q, 或P并且Q。

(2)析取:二元命题联结词。将两个命题P、Q联结起来,构成一个新的命题P∨Q, 读作P、Q的析取, 也可读作P或Q。这个新命题的真值与构成它的命题P、Q的真值间的关系为只有当两个命题变项P = F, Q = F时方可P∨Q =F, 而P、Q只要有一为T则P∨Q = T。这样看来,P∨Q可用

1-12命题逻辑

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离散数学讲义

参考书

离散数学,左孝凌、李为鉴、刘永才编著, 上海科学技术文献出版社离散数学,陈莉、刘晓霞编著,高等教育 出版社 Discrete Mathematical Structures, Kolman, Busby and Ross

2013-5-26

第一篇 数理逻辑

第一章 命题逻辑 第二章 谓词逻辑

2013-5-26

第一章 命题逻辑1-1 命题及其表示法定义 1-1.1 命题(Proposition): 可以辨别真假的语句称为命题。 定义 1-1.2 真值: 命题总是具有一个“值”,称为真值。 真值只有“真”、“假”两种,记作 True(真)和False(假),分别用符号T和F 表示。2013-5-26 4

1-1 命题及其表示法例1: (1) 不在同一直线上的三点确定一个平面。 (T) (2) 煤是白的。 (F) (3) 我学英语,或者我学日语。 (4) 如果天气好,那么我去散步。 以上是命题,其中(3)、 (4) 是复合命题。

2013-5-26

1-1 命题及其表示法例2:别的星球上有生物。到目前为止,人们还不能判断别的星球 上是否有生物,但也许将来的人可以判断, 并且只能是别的星球上有生物或没有两种 情况之一。因此是命题。

2013-

离散数学第三章集合的基本概念和运算知识点总结

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集合论部分

第三章、集合的基本概念和运算

3.1 集合的基本概念集合的定义与表示

集合与元素

集合 没有精确的数学定义

理解:一些离散个体组成的全体组成集合的个体称为它的元素或成员 集合的表示

列元素法 A={ a, b, c, d }

谓词表示法 B={ x | P(x) }

B 由使得 P(x) 为真的 x 构成常用数集

N, Z, Q, R, C 分别表示自然数、整数、有理数、

实数和复数集合,注意 0 是自然数.

元素与集合的关系:隶属关系

属于 ,不属于

实例

A={ x | x R x2-1=0 }, A={-1,1}

1 A, 2 A

注意:对于任何集合 A 和元素 x (可以是集合),

x A和 x A 两者成立其一,且仅成立其一.

集合之间的关系

包含(子集) A B x (x A x B)

不包含 A B x (x A x B)

相等 A = B A B B A

不相等 A B

真包含 A B A B A B

不真包含 A B

思考: