高数同济七版电子课本下册

练习一

一．填空题（每小题4分，共24分）

?xy,(x,y)?(0,0),?221．函数f(x,y)??x?y 在点(0,0)处 ．

?0,(x,y)?(0,0)?（A）有二重极限但不连续．

（C）连续但不可偏导．

（B）不连续但可偏导． （D）连续且可偏导．

2．三元函数u?sin(xy)?cos(yz)在点?1,????,1?处的全微分4?du? ．

?z?x2?2y2, 3．曲线?在点(1,1,3)处的一个单位切向量

x?2y?z?6?为 ．

x2y24．设平面区域D：2?2?1?a?0,b?0?，则??(x?y)5d?? ．

abD5．设曲线L是三角形ABC区域的的正向边界，其中A、B、C的坐标分

别为(?1,0)、(1,0)、(0,1)，则2ycos2xdx?(sinxcosx?x)dy? ．

?L6．设an?（A）

(?1)n?1n?n?1,?2,??，则以下级数中收敛的是 ．

2n??(?1)n?1?n?1an． （B）?a． （C）?anan?1．

n?1n?1（D）

??an?1?

1、向量与空间几何 向量：向量表示((a^b));

向量的模? 向量的大小叫做向量的模? 向量a、?a、AB的模分别记为|a|、|a|、|AB|? 单位向量? 模等于1的向量叫做单位向量?

零向量? 模等于0的向量叫做零向量? 记作0或0? 零向量的起点与终点重合? 它的方向可以看作是任意的?

向量的平行? 两个非零向量如果它们的方向相同或相反? 就称这两个向量平行? 向量a与b平行? 记作a // b? 零向量认为是与任何向量都平行? 向量运算(向量积)； 1． 向量的加法 2. 向量的减法

3．向量与数的乘法

设a?(ax? ay? az)? b?(bx? by? bz)

即 a?axi?ayj?azk? b?bxi?byj?bzk ? ?

则 a?b ?(ax?bx)i?(ay?by)j?(az?bz)k ?(ax?bx? ay?by? az?bz)? a?b? (ax?bx)i?(ay?by)j?(az?bz)k?(ax?bx? ay?by? az?bz)?

?a??(axi?ayj?azk) ?(?ax)i?(?ay)j?(?az)k ?(?ax? ?ay? ?az

习题6?3

1? 由实验知道? 弹簧在拉伸过程中? 需要的力F(单位? N)与伸长量s(单位? cm)成正比? 即F?ks (k为比例常数)? 如果把弹簧由原长拉伸6cm? 计算所作的功?

解 将弹簧一端固定于A? 另一端在自由长度时的点O为坐标原点? 建立坐标系? 功元素为dW?ksds? 所求功为

126 W??ksds?ks?18k(牛?厘米)?

0206 2? 直径为20cm、高80cm的圆柱体内充满压强为10N/cm2的蒸汽? 设温度保持不变? 要

使蒸汽体积缩小一半? 问需要作多少功？ 解 由玻?马定律知?

PV?k?10?(?102?80)?80000??

P(x)?[(?102)(80?x)]?80000?? P(x)?80080?? 设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变? 高度减小x厘米时压强 为P(x)牛/厘米2? 则

?

功元素为dW?(??102)P(x)dx? 所求功为 W??400408001dx?800?ln2(J)?

(??10)?dx?80000??080??80??2 3? (1)证明? 把质量为m

习题12?4

1? 求下列微分方程的通解? (1)

dy?y?e?x? dx?dxdx 解 y?e?(e?x?e?dx?C)?e?x(e?x?exdx?C)?e?x(x?C)?

?? (2)xy??y?x2?3x?2?

解 原方程变为y??1y?x?3?2xx?

1 y?e??1xdx[?(x?3?2?xdxx)?edx?C] ?1x[?(x?3?21x)xdx?C]?x[?(x2?3x?2)dx?C] ?11332x(3x?2x?2x?C)?13x2?3C2x?2?x? (3)y??ycos x?e?sin x?

解 y?e??cosdx(?e?sinx?e?cosxdxdx?C)

?e?sixn(?e?sixn?esinxdx?C)?e?sixn(x?C)?

(4)y??ytan x?sin 2x?

解 y?e??tanxdx(?sin2x?e?tanxdxdx?C)

?elncosx(?sin2x?e?lncoxsdx?C)

?cosx(?2sinxc

习题12?4

1? 求下列微分方程的通解? (1)

dy?y?e?x? dx?dxdx 解 y?e?(e?x?e?dx?C)?e?x(e?x?exdx?C)?e?x(x?C)?

?? (2)xy??y?x2?3x?2?

解 原方程变为y??1y?x?3?2xx?

1 y?e??1xdx[?(x?3?2?xdxx)?edx?C] ?1x[?(x?3?21x)xdx?C]?x[?(x2?3x?2)dx?C] ?11332x(3x?2x?2x?C)?13x2?3C2x?2?x? (3)y??ycos x?e?sin x?

解 y?e??cosdx(?e?sinx?e?cosxdxdx?C)

?e?sixn(?e?sixn?esinxdx?C)?e?sixn(x?C)?

(4)y??ytan x?sin 2x?

解 y?e??tanxdx(?sin2x?e?tanxdxdx?C)

?elncosx(?sin2x?e?lncoxsdx?C)

?cosx(?2sinxc

习题9?1

1. 设有一平面薄板(不计其厚度), 占有xOy面上的闭区域D, 薄板上分布有密度为μ =μ(x, y)的电荷, 且μ(x, y)在D上连续, 试用二重积分表达该板上全部电荷Q.

解 板上的全部电荷应等于电荷的面密度μ(x, y)在该板所占闭区域D上的二重积分 . 2. 设, 其中D 又, 其中D

1

2

={(x, y)|?1≤x≤1, ?2≤y≤2};

1

2

={(x, y)|0≤x≤1, 0≤y≤2}.

2

试利用二重积分的几何意义说明I与I的关系.

1

解 I表示由曲面z=(x+y)与平面x=±1, y=±2以及z=0围成的立体V的体积. I表示由曲面z=(x+y)与平面x=0, x=1, y=0, y=2以及z=0围成的立体V的体积.

2

1

23

223

显然立体V关于yOz面、xOz面对称, 因此V是V位于第一卦限中的部分, 故

1

V=4V, 即I=4I.

1

1

2

3. 利用二重积分的定义证明: (1)∫∫ (其中σ为D的面积);

证明 由二重

第四章复习提要

4.1 不定积分的概念和性质

1、基本积分表 2、公式

??f(x)dx??f(x)和?f?(x)dx?f(x)?C

?12x?C 2?3、注意如下问题：（填空、选择、判断） 若e?x2是f(x)的原函数，则xf(lnx)dx??若f(x)是e?x的原函数，则

?f(lnx)1dx? ?C0lnx?C xx若f(x)的导数为sinx，则f(x)的一个原函数是（B）。 A 1?sinx; B 1?sinx; C 1?cosx; D 1?cosx

4.2 换元积分法

1、第一换元法的原理：g(x)dx

把被积函数g(x)凑成g(x)?f(?(x))??(x)的形式， 因而这种方法也称为凑微分法。

2、一些规律： ①

????f(x)1xdx?2?f(x)(x)??2?f(x)dx

11?f(ax?b)(ax?b)dx?f(ax?b)d(ax?b) ??aa②③

f(ax?b)dx?1f(lnx)dx??f(lnx)(lnx)?dx??f(lnx)d(lnx)

x(2k?1)④sin?xcosnxdx??sin2kxcosnxsinxdx???(1?cos2x)cosnxdcosx xsinnxdx??cos2kxsinnxcosxdx??

1|34

习题4?1

1. 求下列不定积分:

1 (1)?2dx;

x111 解 ?2dx??x?2dx?x?2?1?C???C.

?2?1xx (2)?xxdx; 解 ?xxdx??1x3x2dx?12?12x?C?x2x?C. 35?123 (3)? 解

dx;

?1xdx??x?12dx???11x2?C?2x?C. 1??121 (4)?x23xdx; 解 ?x23xdx??1x27x3dx?17?137?13x?C?333xx?C. 10 (5)? 解

xdx;

?x21xdx??x?52dx???1131x2?C????C. 52xx??125 (6)?mxndx; 解

?mxdx??nnxmdx??11mxm?C?xnn?m?1mnm?nm?C.

(7)?5x3dx;

5 解 ?5x3dx?5?x3dx?x4?C.

4 (8)?(x2?3x?2)dx;

13 解 ?(x2?3x?2)dx??x2dx?3?xdx?2?dx?x3?x2?2x?C.

322|34

(9)?dh2gh(g是常

高数复习题高数复习高数考试高数题目同济高数

一、常数项无穷级数

1. lim un = 0 是级数 ∑ un 收敛的 .n →∞n =1

∞

条件. 条件.

解：必要非充分. 必要非充分.

ln n 3 2. ∑ n = . n=0 2

∞

.

解：公比 q =

ln 3 1 < 1 的等比级数收敛且和 s = . 2 1 ln 3 2∞

1 3.对于无穷级数 ∑ 2 p ,下面中正确的是 [ ]. . . n =1 n (A) 仅当 p > 1 时收敛； 时收敛； (B) 仅当 p < 1 时收敛； 时收敛；(C) 仅当 p = 1 时收敛； 时收敛； (D) 仅当 p > 1 2 时收敛. 时收敛. ∞ 1 时级数收敛. 解： p 级数 ∑ 2 p 仅在 2 p > 1 ,即 p > 1 2 时级数收敛. n =1 n

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4.若 ∑ | un | 收敛，则下面命题中不正确的是 . 收敛，

∞

[

]. .

(A) ∑ un 必收敛； 必收敛；n =1

∞ n =1

(B) | un | 必单调减少； 必单调减少；

(C) lim un = 0 ;n →∞

(D) ∑ ( 1) un 必收敛.

第八章 多元函数的微分法及其应用

§ 1 多元函数概念

一、设f(x,y)?x2?y2,?(x,y)?x2?y2,求:f[?(x,y),y2].

答案：f(?(x,y),y2)?(x2?y2)2?y4?x4?2x2y2?2y4

二、求下列函数的定义域：

x2(1?y)22{(x,y)|y?x?1}; 1、f(x,y)? 221?x?yy2、z?arcsin {(x,y)|y?x,x?0};

x三、求下列极限：

x2siny 1、(x,ylim （0） )?(0,0)x2?y2 2、

y(1?)3x (e6)

(x,y)?(?,2)xlimx2y四、证明极限 (x,ylim不存在. )?(0,0)x4?y2证明：当沿着x轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着y?x趋于（0，0）时，极限为 二者不相等，所以极限不存在

21, 21?,(x,y)?(0,0)?xysin22五、证明函数f(x,y)?