强大数定律和弱大数定律的条件

大数定律和强大数定律的推广

1 引言

大数定律和强大数定律是概率论中两个重要的概念，围绕这两个概念有许多重要的定理，并且许多重要的定理证明和实际问题中都要应用这两个概念及其相关定理，鉴于这些定理在理论推导和实际应用方面的举足轻重的作用，很有必要推广这两个概念及其定理．

2 大数定律

2．1 大数定律的叙述

定义2．1．1 设｛Xn｝为随机变量序列，它们都有有限的数学期望E(Xn)．如果

1nn?[Xk?1k???E(Xk)]?p0，

则称｛Xn｝满足大数定律．

定理2．1．1 （马尔可夫大数定律）设｛Xn｝是方差有限的随机变量列，如果有

1n2nD(?Xn)?0k?1

则｛Xn｝满足大数定律．

推论2．1．2（切贝谢夫大数定律） 若序列｛Xn｝两两不相关且方差有界：D(Xn)?C(n?1)，则｛Xn｝满足大数定律．

推论2．1．3（伯努利大数定律） 设?n为n重伯努利试验中成功次数，

则当n??时有

?nn

???pp．

定理2．1．4（辛钦大数定律） 对于独立同分布随机变量列｛Xn｝，大数定律成立的充分必要条件是E(?n)=a有限．

证明 必要性是大数定律的定义所要求的．只需证明充分性．假定｛Xn｝之共同的特

本 科 毕 业 论 文

( 2013届)

题 目: 大数定律及其应用

学 院: 数学与信息科学学院 专 业: 统计学 班 级: 09统计 姓 名: 学 号: 指导老师:

完成日期: 2013年4月1日

目 录

§1、引言 ......................................................................................... 2 §2、大数定律的发展历程............................................................. 3 §3、常见的大数定律及中心极限定理 ........................................ 4 §3.1常见的大数定律 .........

本 科 毕 业 论 文

( 2013届)

题 目: 大数定律及其应用

学 院: 数学与信息科学学院 专 业: 统计学 班 级: 09统计 姓 名: 学 号: 指导老师:

完成日期: 2013年4月1日

目 录

§1、引言 ......................................................................................... 2 §2、大数定律的发展历程............................................................. 3 §3、常见的大数定律及中心极限定理 ........................................ 4 §3.1常见的大数定律 .........

概率论论文

浅谈大数定律的发展历程与实际应用

学院： 专业： 班级： 姓名： 学号：

浅谈大数定律的发展历程与实际应用

摘要：本文主要分为两部分内容，第一部分介绍了大数定律的发展历程，详细介绍了伯努利大数定律等五个大数定律的内容；第二部分则通过介绍大数定律在抛硬币实验与保险行业的应用简单介绍了大数定律在实际生产生活中的应用。

关键词：大数定律、伯努利、切比雪夫、抛硬币、保险业 正文：

一、大数定律的发展历程

大数定律(law of large numbers)，是一种描述当试验次数很大时所呈现的概率性质的定律。大数定律并不是经验规律，而是在一些附加条件上经严格证明了的定理。在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律。通俗地说，这个定理就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。

1、伯努利大数定律——大数定律的创立

雅各布·伯努利（1654~1705，瑞士）在其著作《猜度术》第四卷中提出了一个定律，此定律的现代表述为：设在n重伯努利试验中，成

本科生毕业论文（设计）

题 目：大数定律及其应用 姓 名：刘胜举 学 号：200702014001 系 别：数学与计算机科学系 年 级：2007级 专 业：数学与应用数学 指导教师 熊国敏 职称： 教授 指导教师 王海英 职称： 讲师

2011年 4 月 28日

目 录

摘 要 ............................................................ I 第一章 绪论 ....................................................... 1 第二章 大数定律 ................................................... 2 2.1大数定律的

本科生毕业论文（设计）

题 目：大数定律及其应用 姓 名：刘胜举 学 号：200702014001 系 别：数学与计算机科学系 年 级：2007级 专 业：数学与应用数学 指导教师 熊国敏 职称： 教授 指导教师 王海英 职称： 讲师

2011年 4 月 28日

目 录

摘 要 ............................................................ I 第一章 绪论 ....................................................... 1 第二章 大数定律 ................................................... 2 2.1大数定律的

论文

２０１０年９月第３０卷第５期

天水师范学院学报

ＪｏｕｍａｌｏｆＴｉａｕｌｓｈｕｉ

Ｓｅｐ．，２０１０Ｖ０１．３０

Ｎｏ．５

Ｎｏ瑚ａｌ

Ｕｎｉｖｅｒｓｉ哆

大数定律及其在保险业中的应用

曹小玲

（长江大学信息与数学学院，湖北荆州４３４０２３）

摘要：在介绍几种常用大数定律的基础上，均危险值等方面的应用．

关键词：大数定律；保费；保险单位中图分类号：Ｆ８４０

文献标识码：Ａ

阐述了它们在制定保费、拟定保险单位数及减少保险个人平

文章编号：１６７１—１３５ｌ（２０１０）０５—００２１—０２

我们知道．概率法则总是在对大量随机现象的考察中才能显现出来．为了研究“大量”的随机现象。常常采用极限的形式．这就引导到极限定理的研究．大数定律就是极限定理研究的成果之一．所谓大数定律．即是用来说明大量的随机现象由于偶然性相互抵消所呈现的必然数量规律的一系列定理的统称．【－ｌ以抛一枚硬币为例．虽然我们不能准确预言每次抛得的是正面还是反面．但若经过独立抛掷充分多次数之后．出现正面的频率与０．５很接近．即在大量的随机现象里．各自的偶然性在一定程度上可以相互抵消。相互补偿．因而有可能显示出某种必然

的法则来．

从而有Ｐ（岳善孝，一寺善以善）｜≥∞≤去专ｏ，刀斗电

从而定律得证．

切比雪夫大数定律在保

第五章 《中心极限定理》测验题

班级： 姓名： 学号： 成绩：

一、单项选择题（每题2分，共10分）

1. 如果离散型随机变量X1,X2,L,Xn相互独立且皆服从参数为????0?的泊松分布，则当n充分大时，离散型随机变量Y?（ ）近似服从标准正态分布.

?XA)

i?1ni?? B)

?Xi?1ni?? C)

?Xi?1ni?n? D)

?Xi?1ni?n?

??n?n?解: 因为 E(Xi)?D(Xi)?? ?i?1,2,?,n?,

又 Sn???????????由李雅普诺夫中心极限定理:

12n?,

??Xi?1ni?????Xi?1ni?n??N(0,1)

Sn故选(D)

n?2. 如果离散型随机变量X1,X2,L,Xn相互独立且皆服从0-1分布B?1,p?，则当n充分大时，离散型随机变量X??Xi?1ni近似服从（ ）分布.

A) E??? B) N?0,1? C) Nnp,np?1?p? D) B?1,p? 解 因为 E?Xi??p,?i?1,2,?

第五章 大数定律和中心极限定理第一节 大数定律 第二节 中心极限定理

第5章概述 章概述 大数定律和中心极限定理就是使用极限方法 大数定律和中心极限定理就是使用极限方法 使用极限 研究大量随机现象统计规律性. 研究大量随机现象统计规律性 阐明大量重复试验的平均结果具有稳定性的 阐明大量重复试验的平均结果具有稳定性的 大量重复试验的平均结果具有稳定性 一系列定律都称为大数定律 一系列定律都称为大数定律. 大数定律 论证随机变量(试验结果) 论证随机变量(试验结果)之和渐进服从某 随机变量 一分布的定理称为中心极限定理. 的定理称为中心极限定理 一分布的定理称为中心极限定理

切比雪夫不等式定理 设随机变量 X 具有数学期望 E ( X ) = µ, 方差 D( X ) = σ 2 , 则对于任意正数 ε , 不等式 σ P{ X µ ≥ ε } ≤ 2 ε 成立.证明 对连续型随机变量的情况来证明. 对连续型随机变量的情况来证明2

设 X 的概率密度为 f ( x), 则有

P{ X µ ≥ ε }=

∫

x µ ≥ε

f ( x)dx ≤ ∫ x µ ≥ ε

x µ ε2

2

f ( x)

第四章 大数定律与中心极限定理答案

一、单项选择

1. 设?(x)为标准正态分布函数，Xi???1,事件A发生；100i?1i?1,2,?,100，且

?0,事件A不发生，P(A)?0.8，X1,X2,?,X100相互独立。令Y??Xi，则由中心极限定理知Y的分

布函数F(y)近似于（ ）

y?80（A）?(y) （B）Ф() （C）?(16y?80) （D）?(4y?80)

4答案：D 二、填空

1. 设X的期望和方差分别为

?和?2，则由切比雪夫不等式可估计

P(X???2?) 。

答案：?

3 42．设随机变量X和Y的数学期望分别为－2和2，方差分别为1和4，而相关系数为－0.5，则根据切比雪夫不等式，有P{|X?Y|?6}?________． 答案：

1 123． 已知随机变量?的均值μ=12，标准差σ=3，试用切比雪夫不等式估计?落在6到18之间的概率为________．与3到21之间

解 由题意得，E??12,D???2?32, 由切比雪夫不等式得

P{6???18}?P{??12?6}D?323?1?2?1?2?466

?P{6???18}?3 4

4． 已知随机变