傅立叶变换的性质及推导

§ 4.5

傅里叶变换的性质 时域的描述 频域的描述

任一信号可以有两种描述方法

本节将研究在某一域中对函数进行某种运算，在另一域中所引起的效应。为简便，用

f ( t ) F ( j )

表示时域与频域之

间的对应关系，即

F( j ) f t f (t )e dt1 j t f (t ) F ( j )e d 2

j t

一、线性若 f ( t ) F ( j ) 1 1

f2 (t) F2 ( j )则对于任意常数 a1和 a 2

,有

a1 f1(t) a2 f2 (t) a1F1( j ) a2F2 ( j )傅里叶变换的线性性质可以推广到有多个信号的情况

线性性质有两个含义：1、齐次性

它表明，若信号f(t)乘以常数（即信号增大

a

倍），则其频谱函数也乘以相同的常数（则其频谱函数也增大2、可加性

它表明，几个信号之和的频谱函数等于各个信号的频谱函数之和。

a倍）；

a

a

二、奇偶性下面研究时间函数与其频谱的奇、偶、虚、实关系。如果 f (t )是时间

t的实函数，那么根据： j t

e

j t

cos( t ) j sin( t )

F( j ) f (t)e dt f (

实验一 快速傅立叶变换

( 信息工程专业 )

一 实验目的

1 在理论学习的基础上，通过本实验加深对快速傅立叶变换的理解； 2 熟悉并掌握按时间抽取FFT算法的程序；

3 了解应用FFT进行信号频谱分析过程中可能出现的问题，例如混淆、泄漏、栅栏效应等，以便在实际中正确应用FFT。

二 实验内容

1 仔细分析教材第六章‘时间抽取法FFT ’的算法结构，编制出相应的用FFT

进行信号分析的C语言（或MATLAB 语言）程序；

2 用FFT程序计算有限长度正弦信号

y(t)?sin(2?ft),0?t?N*T

分别在以下情况下所得的DFT结果并进行分析和讨论：

a） 信号频率f＝50Hz，采样点数N=32,采样间隔T=0.000625s

b） 信号频率f＝50Hz，采样点数N=32,采样间隔T=0.005s

c） 信号频率f＝50Hz，采样点数N=32,采样间隔T=0.0046875s

d） 信号频率f＝50Hz，采样点数N=32,采样间隔T=0.004s

e） 信号频率f＝50Hz，采样点数N=64,采样间隔T=0.000625s

f） 信号频率f＝250Hz，采样点数N=32,采样间隔T=0.005s

g）

第6章 傅立叶变换傅立叶积分 6.2 傅立叶变换 6.3 函数及其傅立叶变换 6.4 傅立叶变换的性质 6.1

傅立叶积分主值意义下的广义积分定义1 设函数 f (t )在实轴的任何有限区间上都 可积.若极限 lim

R

R

R

f (t )dt

存在,则称在主值

) 意义下 f (t ) 在区间 ( , 上的广义积分收敛,

记为

PV . .

f (t )dt Rlim R f (t )dt

R

例1 计算 e ( j ) t dt

( 0, 为实常数)

解

e

( j ) t

dt 2 0

e ( j )t dt

2 2 ( j ) t e 0 j j

例2 设 计算积分 解

f (t ) e

t2

( t )

( 0)

F ( )

1 j t f (t )e dt , 2 dt e e 2

F ( )e j t d

F ( )

f (t )e

j t

t2

(cos t j sin t )dt(

图像傅里叶变换方面的知识

图像变换 主要内容

1、图像变换的目的2、傅立叶变换(公式)

3、频率域图像 (傅立叶谱)

重点

图像傅里叶变换方面的知识

图像变换

变换(transform)一词并不陌生，从初等数学到高等数学，已经学过不少的变换“技巧”,目的是是问题的求解变得简单。在图像处理中，所谓图像变换可以理解为为达到图像处理的某种目的而使用的数学方法，通过这种数学变换，图像处理起来较变换前更加方便和简单。由于这种变换方法是针对图像函数而言，所以称之为图像变换。图像变换可以在图像校正前进行，也可以在图像校正后进行。

图像傅里叶变换方面的知识

图像变换

图像变换的目的：①简化图像处理；②便于图像特征提取；③图像压缩；④从概念上增强对图像信息的理解。

在遥感数字图像处理中，图像变换是一种常用的、有效的分析手段。

图像变换包括两个过程：正变换和逆变换。通过正变换将图像变为新图像，然后进行处理。通过逆变换将处理后的图像还原为原始形式的图像，以便对原始图像进行对比。

图像傅里叶变换方面的知识

图像变换图像变换主要有：傅立叶变换、主成份变换、缨帽变换、代数运算、彩色变换

其中傅立叶(Fourier)变换的应用非常是广泛的，非常有名的变换之一。

图像傅里叶变换方面的知识

2、傅立叶变

傅立叶变换就是将任一个函数展开成一系列正弦函数的形式，从而能够在频域进行频谱分析。而拉 普拉斯变换是复频域，它的的引进主要是对微分方程起到了简便的变换作用，试想2阶的微分方程就够麻烦的了，高阶就别指望手动解了，数学系的牛人别见怪。所 以拉式变换就将时域的微分方程变换成代数方程。而到了离散系统中，又出现了差分方程，因此人们就想既然连续系统中有拉式变换，那么是不是离散系统中也会有 一个方法能够起到相同的简化作用呢？于是Z变化就提了出来。

傅立叶变换：时域变到实频域，主要是想得到频率信息，而且只能得到频域信息。主要用于信号处 理。

拉普拉斯变换：复频域，处理微分方程是一把好手，古典控制就是一个典型的应用。

z变换：现代控制理论的东西，相当于把微分方程离散化了。

第四章 Z变换 1 Z变换的定 义 (1) 序列 的ZT：

(2) 复变函数 的IZT： ， 是复变量。 (3) 称 与 为一对Z变换对。简记为 或

(4) 序列的ZT是 的幂级数。 代表了时延， 是单位时延。 (5) 单边ZT： (6) 双边ZT： 2 ZT收敛域 ROC

定义：使给定序列 的Z变换 中的求和级数收敛的z的集合。 收敛的充要条件是它 (3) 有限长序列的R

一、傅立叶变换的由来

关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解，最近，我偶尔从网上看到一个关于数字信号处理的电子书籍，是一个叫Steven W. Smith, Ph.D.外国人写的，写得非常浅显，里面有七章由浅入深地专门讲述关于离散信号的傅立叶变换，虽然是英文文档，我还是硬着头皮看完了有关傅立叶变换的有关内容，看了有茅塞顿开的感觉，在此把我从中得到的理解拿出来跟大家分享，希望很多被傅立叶变换迷惑的朋友能够得到一点启发，这电子书籍是免费的，有兴趣的朋友也可以从网上下载下来看一下，URL地址是：http://www.dspguide.com/pdfbook.htm

要理解傅立叶变换，确实需要一定的耐心，别一下子想着傅立叶变换是怎么变换的，当然，也需要一定的高等数学基础，最基本的是级数变换，其中傅立叶级数变换是傅立叶变换的基础公式。

二、傅立叶变换的提出

让我们先看看为什么会有傅立叶变换？傅立叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-183

§7-2 傅立叶变换的性质

这一节我们将介绍傅氏变换的几个重要性质。为了叙述方便，假定在这些性质中 凡是需要求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理的条件，在证明这些性质时，不再 重述这些条件，望读者注意。 一。线性性质

设F

F c1 f1 t c2 f 2 t cn f n t 或

f k t Fk c k 是常数(k =1,2,……,n),则有 c1F1 c2 F2 cn Fn c1 f1 t c2 f 2 t cn f n t (7-2-1)

F 1 c1F1 c2 F2 cn Fn (7-2-1)’

该性质的证明可利用积分的线性性质直接由傅氏变换的定义式得到.1

二。位移性质 ： (1) 或 (2)

设F

f t F , (

则有：

F f t a e j a F F 1

F e j 0t f t F 0 ( 为实数) 0 F 1

e

j a

F f t a

实验一 离散时间系统的时域分析

一、实验目的

１. 运用MATLAB仿真一些简单的离散时间系统，并研究它们的时域特性。

２. 运用MATLAB中的卷积运算计算系统的输出序列，加深对离散系统的差分方程、冲激响应和卷积分析方法的理解。

二、实验原理

离散时间系统其输入、输出关系可用以下差分方程描述：

当输入信号为冲激信号时，系统的输出记为系统单位冲激响应

N?dkk?0y[n?k]?M?k?0pkx[n?k]?[n]?h[n]，则系统响应为如下的卷积计算式：

y[n]?x[n]?h[n]?m????x[m]h[n?m]

? 当h[n]是有限长度的（n：[0，M]）时，称系统为FIR系统；反之，称系统为IIR系统。在MATLAB中，可以用函数y=Filter(p,d,x) 求解差分方程，也可以用函数 y=Conv(x,h)计算卷积。 例1

clf; n=0:40; a=1;b=2; x1= 0.1*n;

x2=sin(2*pi*n); x=a*x1+b*x2; num=[1, 0.5,3]; den=[2 -3 0.1];

ic=[0 0]; %设置零初始条件

y1=filter(num,den,x1,ic); %计算输入为x1(n

快速傅立叶变换(FFT)算法实验

摘要：FFT（Fast Fourier Transformation），即为快速傅里叶变换，是离散傅里叶变换的快速算法，它是根据离散傅里叶变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。这种算法大大减少了变换中的运算量，使得其在数字信号处理中有了广泛的运用。本实验主要要求掌握在CCS环境下用窗函数法设计FFT快速傅里叶的原理和方法；并且熟悉FFT快速傅里叶特性；以及通过本次试验了解各种窗函数对快速傅里叶特性的影响等。 引言：

快速傅里叶变换FFT是离散傅里叶变换DFT的一种快速算法。起初DFT的计算在数字信号处理中就非常有用，但由于计算量太大，即使采用计算机也很难对问题进行实时处理，所以并没有得到真正的运用。1965年J.W.库利和T.W.图基提出快速傅里叶变换，采用这种算法能使计算机计算离散傅里叶变换所需要的乘法次数大为减少,特别是被变换的抽样点数N越多,FFT算法计算量的节省就越显著。从此，对快速傅里叶变换（FFT）算法的研究便不断深入，数字信号处理这门新兴学科也随FFT的出现和发展而迅速发展。根据对序列分解与选取方法的不同而产生了FFT的多种算法，基本算法是基2DIT和基2DIF。FF

第四章 快速傅立叶变换

4.1 引言：

DFT 的运算量

1

0()(),0,1,,1N kn N n X k x n W

k N -===???-∑

计算一个N 点的DFT ，所需要的复数乘法和加法的次数分别为

()()()()a jb c jd ac bd j bc ad ++=-++

*,(1)N N N N N N ==-复乘复加

实数乘法和加法的次数分别为

4*,4(1)N N N N N N ==-实乘实加

直接用DFT 算法进行谱分析和信号的实时处理是不切实际的。直到1965年发现了DFT 的发生了根本的变化。

4.2 基2FFT 算法

1、改进的途径：利用旋转因子的性质

（1）旋转因子m N W 的周期性：

22()j m lN j m m lN

m

N N N N W e e W ππ-+-+=== （2）旋转因子m N W 的对称性：

2[]N m m

N m N m m m

N N N N N N W W W W W W +---*===-，， （3）可约性

//m nk nk nk nk m

m N N N N m W W W W ==， /21N N W =-，(/2)k N k

N N W W +=- 利用上述特性,可以将有些项合并,并将DFT 分解为短序