初等变换不改变矩阵的秩

石家庄经济学院本科生毕业论文

摘 要

在数学中矩阵最早来源于方程组的系数及常数所构成的方阵，现在矩阵是线性代数最基本也是最重要的概念之一。在线性代数及其许多的问题中都能看到矩阵的身影，它能把抽象的问题用矩阵表示出来，通过对矩阵进行计算得出结果。作为矩阵的基础及核心，矩阵的初等变换及应用是非常重要的，它能够把各种复杂的矩阵转化成我们需要的矩阵形式，从而使计算变得更加的简便。

本文总结了线性变换在线性代数、初等数论、通信、经济、生物遗传等方面的应用。

关键词：矩阵；初等变换；标准型；逆矩阵；标准型；秩；方程组

ABSTRACT

Matrix derived from the first phalanx of the coefficients and constants of the equations in mathematics, now matrix is the most fundamental and important concepts of linear algebra, in linear algebra and many other questions can be seen the figure of the matri

矩阵的初等变换及其应用
王丹




矩阵的初等变换及其应用

摘 要
矩阵的初等变换是研究矩阵的一种重要手段，是线性代数中应用的核心。本文简单介绍了与矩阵相关的一些概念和性质，以此为基础，求矩阵的秩、判断矩阵是否可逆后求逆矩阵、求方程组的基础解系、求特征值和特征向量、化二次型为标准形等等，并举例说明矩阵的初等变换在以上的应用中是如何发挥作用的。
关键词：矩阵，初等变换，应用
































The elementary transformation of matrix and its applications


Abstract
Elementary transformation matrix is an important means of Matrix is the core linear algebra applications. This article briefly describes some of the concepts and properties associated with the matrix as a basis, the rank of a matrix to determine whether a matrix is reversible after

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信息系刘康泽

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第2-6节矩阵的初等变换

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信息系刘康泽

一、消元法解线性方程组解方程组的过程可视为进行了三种同解变换.引例求解线性方程组 2 x1+ 4 x2 6 x3+ 4 x4= 6, x+ x 2 x+ x= 4, 1 2 3 4 4 x1 6 x 2+ 2 x 3 2 x4= 4, 3 x1+ 6 x2 9 x3+ 7 x4= 9, 1 2 3 4

(1)

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信息系刘康泽解

(1)

1

2

x1+ x2 2 x3+ x4= 4, 2 x+ 4 x 6 x+ 4 x= 8, 1 2 3 4 4 x1 6 x 2+ 2 x 3 2 x 4= 4, 3 x1+ 6 x2 9 x3+ 7 x 4= 9, 1 2 3 4

1 2 3 4

2 2 1 3 4 1 4

3 1

x1+ x2 2 x3+ x4= 4 2 x2 2 x3+ 2 x4= 0 10 x2+ 10 x3 6 x4= 12 3 x2 3 x3+ 4 x4= 3;

1, 1 3 2 2 10 1 4 3

精品

信息系刘康泽1 2, 2 1 4 3

3 4

+ 2 2

x1+ x2 2 x3+ x4= 4 1 x2 x3

第3章

线性方程组

一、高斯—若尔当消元法 二、向量组的线性相关性 三、向量组的秩 四、线性方程组解的判定 五、线性方程组解的结构首页 上 页 下 页 尾 页

第一节 高斯—若尔当消元法

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方程组 AX b a11 a21 其中 A a m1 a12 a22 am 2 a1n x1 b1 a2 n x2 b2 ,X , b x b amn n m

a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 就是 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm 首页 上 页 下 页 尾 页

齐次方程组：AX = 0; 非齐次方程组：AX = b, b 0 (b中至少有一分量不为零) x1 x2 X x n

为AX = b的解： AX =

第三章，矩阵的初等变换3.1 矩阵的初等变换 3.2 矩阵的秩

§1 矩阵的初等变换 2 x1 x2 x3 x4 2 x x 2x x 4 1 2 3 4 引例 解线性方程组： 4 x1 6 x2 2 x3 2 x4 4 3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9 利用消元法，可将上述方程组化为同解方程组

x1 x2 2 x3 x4 4 x2 x3 x4 0 x4 3 0 0

x1 x3 4 x2 x3 3 x 3 4

在上述消元过程中，对方程组所进行的变换 有以下三种： 互换两个方程的位置； 用一个非零的数乘某个方程；

把一个方程的k倍加到另一个方程；称之为线性方程组的初等变换。 易见方程组与对应的增广矩阵是一一对应的。

定义 对矩阵施行下列三种变换称为矩阵的 初 等行变换(1) 互换两行 ( 记作 ri rj ); (2) 以数 k 0 乘以某一行 ( 记作 k × ri ); (3) 将第 j 行各元素乘以数k后加到第 i 行的对应

学号：2008310849

哈尔滨师范大学 学士学位论文

题 目 矩阵初等变换及其应用 学 生 指导教师 副教授 年 级

专 业 数学与应用数学 系 别 数学系 学 院 数学科学学院

年4月25日

哈 尔 滨 师 范 大 学 学士学位论文开题报告 论文题目 矩阵初等变换及其应用 学生姓名 指导教师 副教授 年 级 专 业 数学与应用数学 年11月25日

课题来源： 矩阵初等变换及其应用 课题研究的目的和意义： 由于矩阵的初等变换贯穿着代数学习的始终，那么掌握好矩阵的初等变换对我们学习好高等代数有很大帮助。本文对初等变换的应用做了总结，使读者能够系统地了解初等变换在不同地方的应用。方便读者日后学习中使用初等变换解题。很多复杂、繁琐的问题经过初等变换都可以化为简单、易于解决的问题。所以对于矩阵的初等变换的研究具有非常重要的意义。 国内外同类课题研究现状及发展趋势：

课题研究的主要内容和方法，研究过程中的主要问题和解决办法： 本文主要探究矩阵的初等变换在高等代数、线

２０１１年５月湖北成人教育学院学报Ｍａｙ，２０１１第１７卷第３期ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｕＢｅｉＡｄｕｌｔＥｄｕｃａｔｉｏｎＩｎｓｔｉｔｕｔｅＶ０１．１７ＮＯ．３矩阵的秩例题教学浅析陈洪１，陶燕芳２（１．华中农业大学理学院，湖北武汉，４３００７０；２．长江职业学院公共课部，湖北武汉，４３００７４）［摘要】本文从矩阵的秩的定义和定理出发，对三个矩阵的秩的典型例题进行分析讲解。加深学生对抽象概念的理解和掌握。［关键词】矩阵的秩；不等式；教学方法［中图分类号］０１５１．２１［文献标识码］Ａ［文章编号］１６７３－－３８７８（２０１１）０３—０１２２—＿０１矩阵的秩是线性代数的重要内容，它不仅是矩阵的一分析：引导学生注意最关键的条件ＡＢ＝０。这是一个个本质属性，而且在解线性方程组、判断向量组的线性相矩阵方程，如何将其与矩阵的秩联系起来是解题的关键。关性、求矩阵的特征值等方面有广泛的应用。因此，涉及由于矩阵方程可以通过分块的方法最终转为线性方程组。到此知识点的题目类型较多，且多需要综合运用各种知故通过线性方程组解的讨论将有助于找到条件与结论的识。由于教学中此内容课时较紧，学生往往在解抽象矩阵联系。基本思路如下：ＡＢ＝ＤｊＡ（ｂ１，ｂ：，…，ｂ，）＝ＤｊＡ６１

LUOYANG NORMAL UNIVERSITY

2015届 本科毕业论文

分块矩阵的初等变换及其应用

专 业 名 称 学 生 姓 名 学 号 指 导 教 师 完 成 时 间 院 （系） 名 称

数学与应用数学 韩佳桐 110414148 夏兴无 副教授 2015.5 数学科学学院

洛阳师范学院本科毕业论文

分块矩阵的初等变换及其应用

韩佳桐

数学科学学院 数学与应用数学专业 学号:110414148

指导教师:夏兴无

摘要：初等变换是处理矩阵的重要方法,而分块矩阵又是解决矩阵问题的有力工具,初等变换应用在分块矩阵上,可以有效地简化矩阵的运算.本文主要总结了分块矩阵在求解行列式、证明矩阵的行列式等式、矩阵的秩的等式(以及不等式)、求解矩阵的逆等方面的应用,并通过具体的例子说明了分块矩阵的重要性.

关键词：初等变换;分块矩阵;行列式;矩阵的秩;矩阵的逆

1

洛阳师范学院本科毕业论文

1分块矩阵的产生与意义

分块矩阵的初等变换是线性代数中重要且基本的运算,在运算中巧妙地将高阶矩阵转化为低阶矩阵,常常能够使我们迅速地接近问题的本质,化繁为简,从而

第3章

线性方程组

一、高斯—若尔当消元法 二、向量组的线性相关性 三、向量组的秩 四、线性方程组解的判定 五、线性方程组解的结构首页 上 页 下 页 尾 页

第一节 高斯—若尔当消元法

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方程组 AX b a11 a21 其中 A a m1 a12 a22 am 2 a1n x1 b1 a2 n x2 b2 ,X , b x b amn n m

a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 就是 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm 首页 上 页 下 页 尾 页

齐次方程组：AX = 0; 非齐次方程组：AX = b, b 0 (b中至少有一分量不为零) x1 x2 X x n

为AX = b的解： AX =

几代

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第2 4卷V0. 4 12

第 7期

四川教育学院学报J URNAL OFS C O I HUAN C L GE OF E OL E DUC I AT ON

20 0 8年 7月J12。 8 u 00.

矩阵的初等变换在《线性代数》中的应用倪臣敏，孙逊32 1) 60 4 (仰恩大学数学系概率统计教研室，福建泉州

摘

要：文章总结了初等变换在求矩阵的秩、向量组的秩、逆矩阵，求解线性方程组和多项式的最大公因式

等方面的应用，并通过实例加以说明，而介绍了广义初等变换的思想方法和应用。进 关键词：初等变换；阵的秩；矩逆矩阵；最大公因式；广义初等变换Ap l a o s o e e t y Tr n f r a i n o a rx i Li e r Al e r p i t n fElm n ar a s o m to fM t i n n a g b a c i

Absr c:T i a e t a t h sp p rs umma ie h p l a o so lme t r r n fr t no ma r n s l i gt e r n famarx o e f e— r st ea p i t n fee