高一抽象函数经典例题

经典习题1

3?1. 若函数f(2x?1)的定义域为??1,??,则函数f(log2x)的定义域为( )

?2?1?A. ??,2? B. 2???1??14 C. ,2?,???2??2??12? D.?,4??2?2? ?2. 若f(n?1)?f(n)?1(n?N*),且f(1)=2,则f(100)的值是( ) A．102 B．99 C．101 D．100

3. 定义R上的函数f(x)满足：f(xy)?f(x)?f(y),且f(9)?8,则f(3)?（ ） A．2 B．2 C．4 D．6

2(?a)?1f(?a)0?4. 定义在区间（-1，1）上的减函数f(x)满足：f(?x)??f(x)。若f1恒成立，则实数a的取值范围是___________________.

5. 已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,对正实数x,y,都有:f(xy)?f(x)?f(y)成立.则不等式f(log2x)?0的解集是__

6. 已知函数f(x)是定义在（-∞，3]上的减函数，已知f(a2?sinx)?f(a?1?cos2x)对x?R恒成立，求实数a的取

抽象函数专题讲座

郑严

抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊条件的函数。 一.抽象函数定义域

1．已知f(x)的定义域，求f g(x) 的定义域

其解法是：若f(x)的定义域为a≤x≤b，则在f g(x) 中，a≤g(x)≤b，从中解得x的取值范围即为f g(x) 的定义域．

例1.已知函数f(x)的定义域为 15， ，求f(3x 5)的定义域． 解： f(x)的定义域为 15， ， 1≤3x 5≤5，

故函数f(3x 5)的定义域为 ．

332、已知f g(x) 的定义域，求f(x)的定义域

其解法是：若f g(x) 的定义域为m≤x≤n，则由m≤x≤n确定的g(x)的范围即为f(x)的定义域．

例2 已知函数f(x2 2x 2)的定义域为 0，3 ，求函数f(x)的定义域． 解：由0≤x≤3，得1≤x 2x 2≤5．

2

令u x 2x 2，则f(x 2x 2) f(u)，1≤u≤5．

2

2

410≤x≤． 33

410

故f(x)的定义域为 15， ． 二.抽象函数表达式与函数值

1. 换元法.

例3. 已知f(1+ x2)=2+ x2+x4, 求f(x)

解:令t=1+ x2 t 1x=t-1

原式即为：f(t)=2+t-1+(t-1)

抽象函数常见题型解法综述

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：

一、定义域问题

例1. 已知函数f(x2)的定义域是［1，2］，求f（x）的定义域。

22解：f(x2)的定义域是［1，2］，是指1?x?2，所以f(x2)中的x满足1?x?4

从而函数f（x）的定义域是［1，4］

评析：一般地，已知函数f(?(x))的定义域是A，求f（x）的定义域问题，相当于已知f(?(x))中x的取值范围为A，据此求?(x)的值域问题。

，2]，求函数f[log1(3?x)]的定义域。 例2. 已知函数f(x)的定义域是[?12，2]，意思是凡被f作用的对象都在[?1，2]中， 解：f(x)的定义域是[?1由此可得?1?log1(3?x)?2?()?3?x?()212212?1?1?x?11 4所以函数f[log1(3?x)]的定义域是[1，211] 4评析：这类问题的一般形式是：已知函数f（x）的定义域是A，求函数f(?(x))的定义域。正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题实质上相当于

Ni 高一物理力学例题经典

第一章 力

例题1 把一个大小为10N的力沿相互垂直的两个方向分解,两个分力的大小可能为 (A) 1N,9N (B)6N,8N

(C)(99.99)N,0.1N (D)11N,11N

解:两个分力的平方和应等于10,等于100.选项(B)(C)正确. 例题2 一个大小为1N的力可以分解为多大的两个力? (A) 0.2N,1.2N (B)1N,1N (C)100N,100N (D)1N,1000N

解:大小为0.2N和1.2N的两个力方向相反时合力为1N,选项(A)正确; 大小均为1N的两个力互成120°角时,合力为1N,选项(B)正确;

大小均为100N的两个力互成适当小的角度时,合力可为1N,选项(C)正确; 大小为1N和1000N的两个力的合力大小在999N与1001N之间,不可能为1N,选项(D)不对.

总之选项(A)(B)(C)正确.

例题3 作用于同一质点的三个力大小均为10N.

(1)如果每两个力之间的夹角都是120°角,那么合力多大? (2)如果两两垂直,那么合力多大? 解:

(1)合力为零.

(2)根据题意,可以设F1向东,F2向南,F3向上.F1、F2的合力F12，沿东南方向,大小为

高一物理力学例题经典

第一章 力

例题1 把一个大小为10N的力沿相互垂直的两个方向分解,两个分力的大小可能为 (A) 1N,9N (B)6N,8N

(C)(99.99)N,0.1N (D)11N,11N

解:两个分力的平方和应等于10,等于100.选项(B)(C)正确. 例题2 一个大小为1N的力可以分解为多大的两个力? (A) 0.2N,1.2N (B)1N,1N (C)100N,100N (D)1N,1000N

解:大小为0.2N和1.2N的两个力方向相反时合力为1N,选项(A)正确; 大小均为1N的两个力互成120°角时,合力为1N,选项(B)正确;

大小均为100N的两个力互成适当小的角度时,合力可为1N,选项(C)正确; 大小为1N和1000N的两个力的合力大小在999N与1001N之间,不可能为1N,选项(D)不对.

总之选项(A)(B)(C)正确.

例题3 作用于同一质点的三个力大小均为10N.

(1)如果每两个力之间的夹角都是120°角,那么合力多大? (2)如果两两垂直,那么合力多大? 解:

(1)合力为零.

(2)根据题意,可以设F1向东,F2向南,F3向上.F1、F2的合力F12，沿东南方向,大小为10

函数

1.已知集合{}05≤-=a x x A ，{}06>-=b x x B ,N b a ∈,，且{}2,3,4A B N ??=，则整数对()b a ,的个数为 （ ）

A. 20

B. 25

C. 30

D. 42

解：50x a -≤5a x ?≤；60x b ->6

b x ?>。要使{}2,3,4A B N ??=，则 126455b a ?≤<????≤<??

，即6122025b a ≤<??≤<?。所以数对()b a ,共有116530C C =。 2.已知f(x)是定义在R 上的不恒为0的函数．如果对于任意的a 、b ∈R 都满足

f(ab)＝af(b)＋bf(a)，则函数f(x) （ ）

(A)是奇函数 (B)是偶函数

(C)既是奇函数又是偶函数 (D)既不是奇函数也不是偶函数

解：由f(－1)＝－f(1)＋f(－1)有f(1)＝0，而f(1)＝－2f(－1)，∴f(－1)＝0，

∴f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)＝－f(x)．

3.已知a 为给定的实数，那么集合M ＝{x|x 2－3x

一. 定义型 例1. 已知函数解：由一次函数定义知

是一次函数，求其解析式。

，

，故一次函数的解析式为y=-6x+3。

注意：利用定义求一次函数y=kx+b解析式时，要保证k≠0。如本例中应保证m-3≠0。 二. 点斜型

例2. 已知一次函数y=kx-3的图像过点(2, -1)，求这个函数的解析式。

解： 一次函数 的图像过点(2, -1)，

，即k=1。故这个一次函数的解析式为y=x-3。

变式问法：已知一次函数y=kx-3 ，当x=2时，y=-1，求这个函数的解析式。 三. 两点型

例3.已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是(-2, 0)、(0, 4)，则这个函数的解析式为_____。

解：设一次函数解析式为y=kx+b，由题意得

，

四. 图像型

故这个一次函数的解析式为y=2x+4

例4. 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。

解：设一次函数解析式为y=kx+b由图可知一次函数 的图像过点(1, 0)、(0, 2)

有

五. 斜截型

故这个一次函数的解析式为y=-2x+2

例5. 已知直线y=kx+b与直线y=-2x平行，且在y轴上

幂函数的概念

例1、下列结论中，正确的是( ) A．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1) B．幂函数的图象可以出现在第四象限

1

C．当幂指数α取1,3，2时，幂函数y＝xα是增函数

D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数

解析 当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不通过原点，故选项A不正确；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα (α∈R)，y>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B不正确；而当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但它在定义域上不是减函数．

答案 C

1

例2、已知幂函数f(x)＝(t3－t＋1)x5(7＋3t－2t2) (t∈Z)是偶函数且在(0，＋∞)上为增函数，求实数t的值．

p

分析 关于幂函数y＝xα (α∈R，α≠0)的奇偶性问题，设q (|p|、|q|互质)，

pp

当q为偶数时，p必为奇数，y＝xq是非奇非偶函数；当q是奇数时，y＝xq的奇偶性与p的值相对应．

解 ∵f(x)是幂函数，∴t3－t＋1＝1， ∴t＝－1,1或0.

7

当t＝0时，f(x)＝x5是奇函数；

2

当t＝－1时，f(x)＝x5是偶函数；

828

当t＝1时，f

指数函数

1．指数函数的定义：

函数)1

(≠

>

=a

a

a

y x且叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R

2.指数函数的图象和性质：

在同一坐标系中分别作出函数y=x2，y=

x

?

?

?

?

?

2

1

，y=x

10，y=

x

?

?

?

?

?

10

1

的图象. 我们观察y=x2，y=

x

?

?

?

?

?

2

1

，y=x

10，y=

x

?

?

?

?

?

10

1

图象特征，就可以得到)1

(≠

>

=a

a

a

y x且的图象和性质。

a>1 0<a<1

图

象

6

5

4

3

2

1

-1

-4-2246

1

6

5

4

3

2

1

-1

-4-2246

1

性

质

(1)定义域：R

（2）值域：（0，+∞）

（3）过点（0，1），即x=0时，y=1

（4）在 R上是增函数（4）在R上是减函数

指数函数是高中数学中的一个基本初等函数，有关指数函数的图象与性质的题目类型较多，同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨．

1．比较大小

例1已知函数2

()

f x x bx c

=-+满足(1)(1)

f x f x

+=-，且(0)3

f=，则()x

f b与

()x f c 的大小关系是_____．

分析：先求b c ，的值再比较大小，要注意x x b c ，的取值是否在同一单调区间内．

解：∵(1)(1)f

函数的奇偶性典型例题

一、关于函数的奇偶性的定义.

定义说明：对于函数f(x)的定义域内任意一个x：

⑴f( x) f(x) f(x)是偶函数；

⑵f( x) f(x) f(x)奇函数；

函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要不充分条件。

二、函数的奇偶性的几个性质

①、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；

②、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立；

③、可逆性： f( x) f(x) f(x)是偶函数；

f( x) f(x) f(x)奇函数；

④、等价性：f( x) f(x) f( x) f(x) 0

f( x) f(x) f( x) f(x) 0

⑤、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称；

⑥、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、

非奇非偶函数。

三、函数的奇偶性的判断

判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：

第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查f(x)是否与 f(x)、f(x) 相等，判断步骤如下：

①、定义域是否关于原点对称；

②、数量关系f( x) f(x)哪个成立；

例1：判断下列各函数是否具有奇偶性

⑴、f(x) x 2x ⑵、f(x) 2x 3x