不等式线性规划求最值

利用基本不等式求最值

一、学习目标：

1、理解利用基本不等式求最值的原理

2、掌握利用基本不等式求最值的条件

3、会用基本不等式解决简单的最值问题

二、学习重点与难点：

重点：运用基本不等式求最值

难点：利用基本不等式求最值满足的条件

三、学习方法：自主探究式 四、学习过程：

1、探究一：极值定理

问题1：

a b(a,b R )，已知x y 2(x 0,y 0)，你能求出x y 2

a b(a,b R )，已知x y 2(x 0,y 0)，你能求出x y 2的最小值吗？何时取小值？ 问题2：

的最大值吗？何时取大值？

问题3：已知x 0,y 0

（1）若x y是定值p，求(x y)min，等号何时成立？

（2）若x y是定值s，求(x y)max，等号何时成立？

问题4：你能由问题1—3得出一般结论吗？已知x,y R

则：（1）若积x y p（定值），则和x

y有最小值当日仅当x y时，取“=”号

（2）若和x y s（定值），则积x y有最大值

当日仅当x y时，取“=”号

即：“积为常数，和有最小值；和为常数，积有最大值”。

自主练习1：①若x 0时，求y x s2 41的最小值. x

1②若x 1，求y x 的最小值. x 1

③若0 x 1，求y x (1 x)的最大值.

2、

阜宁县第一高级中学高二复习教案（一）

不等式的解法及应用、线性规划

姓名 班级 学号

教学内容：

不等式解法及应用；线性规划

教学重点：

不等式解法及应用；线性规划

一. 基本知识回顾 1. 不等式的解法

解不等式是求定义域、值域、参数的取值范围时的重要手段，与“等式变形”并列的“不等式的变形”，是研究数学的基本手段之一。

高考试题中，对解不等式有较高的要求，近两年不等式知识占相当大的比例。

同解不等式（1）f(x)?g(x)与f(x)?F(x)?g(x)?F(x)同解； （2）m?0，f(x)?g(x)与mf(x)?mg(x)同解，m?0，f(x)?g(x)与

mf(x)?mg(x)同解；

f(x)?0g(x)（3）与f(x)?g(x)?0(g(x)?0）同解；

2. 一元一次不等式

解一元一次不等式（组）及一元二次不等式（组）是解其他各类不等式的基础，必须熟练掌握，灵活应用。

?(1)a?0?ax?b?分?(2)a?0??(3)a?0情况分别解之。

3. 一元二次不等式

ax2?bx?c?0(a?0)或ax2?bx?c?0(a?0)?分a?0及a?0情况分别解

2之，还要注意??b?4ac三种情况，即??0或??0或??0

用均值不等式求最值的类型及方法

均值不等式是《不等式》一章重要内容之一，是求函数最值的一个重要工具，也是高考常考的一个重要知识点。要求能熟练地运用均值不等式求解一些函数的最值问题。 一、几个重要的均值不等式

a2?b2①a?b?2ab?ab?当且仅当a = b时，“=”号成立； (a、b?R)，222?a?b??②a?b?2ab?ab??当且仅当a = b时，“=”号成立； ?(a、b?R)，2??2a3?b3?c3(a、b、c?R?)，③a?b?c?3abc?abc?当且仅当a = b = c时,“=”号成立；

3333?a?b?c??④a?b?c?3abc?abc???(a、b、c?R) ,当且仅当a = b = c时,“=”号成

3??33立.

注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；

a?b② 熟悉一个重要的不等式链：?ab??112?ab二、函数f(x)?ax?2a2?b2。 2b(a、b?0)图象及性质 xy?b2aba(1)函数f(x)?ax?bx?a、b?0?图象如图： ?a、b?0?性质：

o?2abxbab(2)函数f(x)?ax?x①值域：(??,?2ab]?[2ab,??)；

②单调递增区

用均值不等式求最值的类型及方法

均值不等式是《不等式》一章重要内容之一，是求函数最值的一个重要工具，也是高考常考的一个重要知识点。要求能熟练地运用均值不等式求解一些函数的最值问题。 一、几个重要的均值不等式

a2?b2①a?b?2ab?ab?当且仅当a = b时，“=”号成立； (a、b?R)，222?a?b??②a?b?2ab?ab??当且仅当a = b时，“=”号成立； ?(a、b?R)，2??2a3?b3?c3(a、b、c?R?)，③a?b?c?3abc?abc?当且仅当a = b = c时,“=”号成立；

3333?a?b?c??④a?b?c?3abc?abc???(a、b、c?R) ,当且仅当a = b = c时,“=”号成

3??33立.

注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；

a?b② 熟悉一个重要的不等式链：?ab??112?ab二、函数f(x)?ax?2a2?b2。 2b(a、b?0)图象及性质 xy?b2aba(1)函数f(x)?ax?bx?a、b?0?图象如图： ?a、b?0?性质：

o?2abxbab(2)函数f(x)?ax?x①值域：(??,?2ab]?[2ab,??)；

②单调递增区

《高中数学笔记本》 必修五分册 第三章 不等式 合作才能共赢

1 3.4.1基本不等式

授课类型：新授课

一、新课学习（温故知新）

1、重要不等式：若R b a ∈,，则ab b a 22

2≥+ ,（当且仅当b a =时取“=”） 变形：若R b a ∈,，则2

22b a ab +≤,（当且仅当b a =时取“=”） 2．基本不等式：若,a b R +∈，则ab b a ≥+2

.（当且仅当b a =时取“=”）. 变形如下： ( 1 ) 若,a b R +∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）--------- 积定和最小

( 2 ) 若,a b R +

∈，则22??? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）----------和定积最大 注：利用基本不等式求最值的条件“一正，二定，三相等”.

3、推广：-------均值不等式

2

112a b a b +≤≤≤+，(当且仅当b a =时取“=”）.

注：利用均值不等式求最值的条件“一正，二定，三相等”.

二、专题演练【基本不等式求最值或取值范围】

1.求b= 4a －2

＋a

专题 1 函数与导数、不等式

第5讲 不等式及线性规划

一.瞄准高考

1.不等式的基本性质

(1)对称性：a >b ?b b ,b >c ?a >c .

(3)加法法则：a >b ?a ＋c >b ＋c . (4)乘法法则：a >b ,c >0?ac >bc .a >b ,c <0?ac

(5)同向不等式可加性：a >b ,c >d ?a ＋c >b ＋d .

(6)同向同正可乘性：a >b >0,c >d >0?ac >bd .

(7)幂运算法则：a >b >0?a n >b n (n ∈Q).

2.一元二次不等式

(1)一元二次不等式的解集可以由一元二次方程的解结合二次函数的图象得来,不要死记硬背,二次函数的图象是联系“二次型”的纽带.

(2)与一元二次不等式有关的恒成立问题,通常转化为根的分布问题,求解时一定要借助二次函数的图象,一般考虑四个方面：开口方向、判别式的符号、对称轴的位置、区间端点函数值的符号.

3.基本不等式

(1)?a ,b ∈R,a 2＋b 2≥2ab ,当且仅当a ＝b 时等号成立.

(2)若a ,b 均是正数,则a ＋b 2≥ab ,当且仅当a ＝b 时等号成立. 4.线性规划问题

解决线性规划问题的关键之一是弄清楚目标函数中z 的含义,一般地经过

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例谈应用均值不等式求最值的解法

作者：黄玉凤

来源：《中学教学参考·理科版》2013年第10期

最值问题是中学数学的重要内容之一，它分布在各个知识板块.学生在学到“均值不等式的应用”时，常感觉到“均值不等式a+b2≥ab（a>0，b>0，当且仅当a=b时等号成立）”这一知识极易理解，但在解题过程中却往往不知道如何运用.在教学中，我整理了均值不等式求最值的解法，以解除学生的学习困惑. 一、负化正

在运用均值不等式的时候首先要注意a>0，b>0的条件（即一正）.如下题型，当正数条件不满足时，可以将负数化为正数，产生满足要求的条件. 【例1】求f（x）=4x+9x（x

解：∵x0∴f（x）=-4（-x）+（-9-x）=-[（-4x）+（-9x）] ∵（-4x）+（-9x）≥12，∴f（x）≤-12

当且仅当4（-x）=-9x，即x=-32时，f（x）等号成立，取最大值为-12. 二、构造法 1.配系数 【例2】当0

线性规划求最值问题

一、与直线的截距有关的最值问题

?x?2≤0，?例1 已知点P(x，y)在不等式组?y?1≤0，表示的平面区域上运动，则z?x?y的

?x?2y?2≥0?取值范围是（ ）． （A）［－2，－1］ （B）［－2，1］

（C）［－1，2］ （D）［1，2］

解析：由线性约束条件画出可行域如图1，考虑z?x?y， 把它变形为y?x?z，这是斜率为1且随z变化的一族平行 直线．?z是直线在y轴上的截距．当直线满足约束条件且 经过点（2，0）时，目标函数z?x?y取得最大值为2；

直线经过点（0，1）时，目标函数z?x?y取得最小值为－1．故选（C）．

注：本题用“交点法”求出三个交点坐标分别为（0，1），（2，1），（2，0），然后再一一代入目标函数求出z=x-y的取值范围为［?1，2］更为简单．这需要有最值在边界点取得的特殊值意识．

二、与直线的斜率有关的最值问题

?x?y?2≤0，y?例2 设实数x，y满足?xc?2y?4≥0，，则z?的最大值是__________．

x?2y?3≤0，?

解析：画出不等式组所确定的三角形区域ABC（如图2），z?yx?y?0x?0表示两点

要求z的最大值，即求可行域内的点与原点连线的斜

线性矩阵不等式

第7章线性矩阵不等式7.1线性矩阵不等式的一般表示一个线性矩阵不等式是具有形式F ( x )= F0+ x1 F1+…… x m Fm 0(7.1.1)

的一个表达式。其中 x1,……, x m,是 m个实数变量，称为线性矩阵不等式(7.1.1)的决策变量，

x= ( x1,…,xm ) T∈ R m是由决策变量构成的向量，称为决策向量， Fi= Fi T∈ R n× n,i=0,1,…,m是一组给定的实对称矩阵， (7.1.1)中的不等号“<”指的是矩阵 F(x)是负定的，即对所有非零的向量 v∈ R, v F ( x )v 0或者 F(x)的最大特征值小于零。m

T

线性矩阵不等式

在许多系统与控制问题问题中，问题的变量是以矩阵的形式出现的。例如 Lyapunov矩阵不等式：

F ( X )= AT X+ XA+ Q 0其中：A, Q∈ Rn×n

(7.1.2)n×n

是给定的常数矩阵，且 Q是对称的， X∈ R

是对称的未知矩阵变量因

此该矩阵不等式中的变量是一个矩阵。设 E1,E2,…,EM是 Sn中的一组基，则对任意对称

X∈R

n×n

,存在 x1,x2,…xM,使得 X=

∑x Ei=1 i

高中数学全册各章节的高三年级第一轮复习学案,可以直接打印用于每节的课堂上。(word版)

§6.3 二元一次不等式组与简单的线性规划

【复习目标】

1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；

2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.； 3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。

【基础练习】

1．不等式3x ay 6 0(a 0)表示的平面区域是在直线3x ay 6 0（ ）的集合。 A．左上方

B．右上方

C．左下方

D．右下方

x 4y 3 0

2．目标函数z 2x y，变量x,y满足 3x 5y 25，则有（ ）

x 1

A．zmax 12,zmin 3 C．zmin 3,z无最大值

B．zmax 12,z无最小值 D．z既无最大值，也无最小值

3．4个茶杯和5包茶叶的价格之和小于22元，而6个茶杯和3包茶叶的价格之和大于24元，2个茶杯和3包茶叶的价格比较（ ）

A．2个茶杯贵 B．3包茶叶贵 C．二者相同 D．无法确定 y 0

4．在直角坐标系中，不等式组 y x表示一个三角形区域，则实数k的范围是_ ___。

y