数学圆锥曲线知识点总结

§8.圆锥曲线方程 知识要点

一、椭圆方程.

PF1?PF?PF?PF222?2a?F1F2方程为椭圆,?2a?F1F2无轨迹,?2a?F1F2以F1,F2为端点的线段221. 椭圆方程的第一定义：PF1PF1

⑴①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x轴上：xa?22yb?22?1(a?b?0)22.

.

ii. 中心在原点，焦点在y轴上：yaxb?1(a?b?0)②一般方程：Ax2?By2?1(A?0,B?0).

xa22③椭圆的标准方程：

?yb22?1的参数方程为??x?acos??y?bsin?（一象限?应是属于0????2）.

⑵①顶点：(?a,0)(0,?b)或(0,?a)(?b,0).

②轴：对称轴：x轴，y轴；长轴长2a，短轴长2b. ③焦点：(?c,0)(c,0)或(0,?c)(0,c). ④焦距：F1F2?2c,c?a2?b2. ⑤准线：x??a2c或y??a2c.

⑥离心率：e?⑦焦点半径：

ca(0?e?1).

i. 设P(x0,y0)为椭圆ii.设P(x0,y0)为椭圆

xaxb2222?yb2222?1(a?b?0)上的一点，F1,F?1(a?b?0)上的一点，F1,Fa22为左、右焦点，

§8.圆锥曲线方程 知识要点

一、椭圆方程.

PF1?PF?PF?PF222?2a?F1F2方程为椭圆,?2a?F1F2无轨迹,?2a?F1F2以F1,F2为端点的线段221. 椭圆方程的第一定义：PF1PF1

⑴①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x轴上：xa?22yb?22?1(a?b?0)22.

.

ii. 中心在原点，焦点在y轴上：yaxb?1(a?b?0)②一般方程：Ax2?By2?1(A?0,B?0).

xa22③椭圆的标准方程：

?yb22?1的参数方程为??x?acos??y?bsin?（一象限?应是属于0????2）.

⑵①顶点：(?a,0)(0,?b)或(0,?a)(?b,0).

②轴：对称轴：x轴，y轴；长轴长2a，短轴长2b. ③焦点：(?c,0)(c,0)或(0,?c)(0,c). ④焦距：F1F2?2c,c?a2?b2. ⑤准线：x??a2c或y??a2c.

⑥离心率：e?⑦焦点半径：

ca(0?e?1).

i. 设P(x0,y0)为椭圆ii.设P(x0,y0)为椭圆

xaxb2222?yb2222?1(a?b?0)上的一点，F1,F?1(a?b?0)上的一点，F1,Fa22为左、右焦点，

高中数学圆锥曲线知识

点总结

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高考数学圆锥曲线部分知识点梳理

一、方程的曲线：

在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。

点与曲线的关系：若曲线C 的方程是f(x,y)=0，则点P 0(x 0,y 0)在曲线C 上?f(x 0,y 0)=0；点P 0(x 0,y 0)不在曲线C 上?f(x 0,y 0)≠0。

两条曲线的交点：若曲线C 1，C 2的方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则点P 0(x 0,y 0)是C 1，C 2的交点?{

),(0),(002001==y x f y x f 方程组有n 个不同的实数解，两

条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。 二、圆：

1、定义：点集｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径.

2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)

高中数学圆锥曲线完美总结。

圆锥曲线的方程与性质

1．椭圆

（1）椭圆概念

平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。若M为椭圆上任意一点，则有|MF。 1| |MF2| 2a

x2y2y2x2

椭圆的标准方程为：2 2 1（a b 0）（焦点在x轴上）或2 2 1（a b 0）（焦点在y轴

abab

上）。

注：①以上方程中a,b的大小a b 0，其中b a c；

2

2

2

x2y2y2x22

②在2 2 1和2 2 1两个方程中都有a b 0的条件，要分清焦点的位置，只要看x和y2的分

ababx2y2

1（m 0，n 0，m n）当m n时表示焦点在x轴上的椭圆；当m n时母的大小。例如椭圆

mn

表示焦点在y轴上的椭圆。

（2）椭圆的性质

x2y2

①范围：由标准方程2 2 1知|x| a，|y| b，说明椭圆位于直线x a，y b所围成的矩形里；

ab

②对称性：在曲线方程里，若以 y代替y方程不变，所以若点(x,y)在曲线上时，点(x, y)也在曲线上，所以曲线关于x轴对称，同理，以 x代替x方程不变，则曲线关于y轴对称。若同时以 x代替x， y代替y方程也不变，则

《圆锥曲线》知识点小结

一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数（大于|其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意：2a |F1F2|表示椭圆；2a |F1F2|表示线段F1F2；2a |F1F2|没有轨迹； （2

F1F2|）的点的轨迹。

22xy3．常用结论：（1）椭圆 1(a b 0)的两个焦点为F1,F2，过F1的直线交椭圆于A,B两a2b2

点，则 ABF2的周长= （2）设椭圆

x2y2

2 1(a b 0)左、右两个焦点为F1,F2，过F1且垂直于对称轴的直线2ab

交椭圆于P,Q两点，则P,Q的坐标分别是 |

PQ|

二、双曲线：

（1）双曲线的定义：平面内与两个定点F1,F2|迹。

其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。 注意：|

F1F2|PF1| |PF2| 2a与|PF2| |PF1| 2a（2a |F1F2|）表示双曲线的一支。

2a |F1F2|表示两条射线；2a |F1F2|没有轨迹；

（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：

标准方程

中心在原点，焦点在x轴上

中心在原点，焦点在

y轴上

x2y2

1(a 0,b 0) a2b2

y2

§8.圆锥曲线方程 知识要点

、椭圆方程.

1.椭圆方程的第一定义: PF 2

2a PF 2

2a PF 2 2a PF 1 PF 1 PF 1 ⑴①椭圆的标准方程: i. 中心在原点, 焦点在 F 1F 2方程为椭圆,

F 1F 2无轨迹, F 1F 2以F 1,F 2为端点的线段 x 轴上：兰 a 2 2 y 1(a b b 2 ( 0). ii. 中心在原点,

焦点在 2 y 轴上：_L 2 a 2

右 1(a b

0).

②一般方程：Ax 2 By 2 1(A 0, B 0). ③椭圆的标准方程: 2 2

笃爲1的参数方程为 a 2 b 2

x a cos y b sin （一象限 应是属于0 ②轴：对称轴：x 轴， y 轴；长轴长 ③焦点：(c,0)(c,0)或(0, c)(0, c).

④焦距：F 1F 2 2c, c 2 a b 2 . 2 2

⑤准线：x —或y a

c c

⑥离心率：e -（0 e

a 1).

⑦焦点半径：

2 2

i.设P （x 0,y °）为椭圆务 y 1(a b a b 2 2 2

ii.设 P （x 。,y 。）为椭圆-y y 2 1(

1

高中数学椭圆的知识总结

1.椭圆的定义：

平面内一个动点P 到两个定点12,F F 的距离之和等于常数（12122PF PF a F F +=>），这个动点P 的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.

注意：若1212PF PF F F +=，则动点P 的轨迹为线段12F F ；若1212PF PF F F +<，则动点P 的轨迹无图形.

（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b

y a x （222

a b c =+）?{

cos sin x a y b ??==（参数方程，其中?为参数），焦点在y 轴上时22

22b

x a y +＝1（0a b >>）。

2. 椭圆的几何性质：

（1）椭圆（以

122

22=+b

y

a x （0a

b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)

c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点

(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ； ④离心率：c

e a

=，椭圆?01e <<，e

越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。⑥

（2）.点与椭圆的位置关系：①点00(,)P x y 在椭圆外?2200

221x y a b

+>；

②点00(,)P x

第九章 利用点的坐标处理解析几何问题 解析几何

利用点的坐标处理解析几何问题

有些解析几何的题目，问题的求解不依赖于传统的“设点，联立，消元，韦达定理整体代入”步骤，而是能够计算出交点的坐标，且点的坐标并不复杂，然后以点的坐标作为核心去处理问题。 一、基础知识：

1、韦达定理的实质：在处理解析几何的问题时，韦达定理的运用最频繁的，甚至有的学生将其视为“必备结构”，无论此题是否有思路，都先联立方程，韦达定理。然而使用“韦达定理”的实质是什么？实质是“整体代入”的一种方式，只是因为在解析几何中，一些问题的求解经常与x1?x2,x1x2,y1?y2,y1y2相关，利用“韦达定理”可进行整体代入，可避免因为这几个根的形式过于复杂导致运算繁琐。所以要理解“韦达定理”并不是解析几何的必备工具，只是在需要进行整体代入时，才运用的一种手段。 2、利用点坐标解决问题的优劣：

（1）优点：如果能得到点的坐标，那么便可应对更多的问题，且计算更为灵活，不受

x1?x2,x1x2,y1?y2,y1y2形式的约束

（2）缺点：有些方程的根过于复杂（例如用求根公式解出的根），从而使得点

.

.

?

2

2

圆锥曲线方程 知识要点

一、椭圆方程及其性质.

PF 1 + PF 2 1. 椭圆的第一定义： PF 1 + PF 2 PF 1 + PF 2

= 2a F 1F 2 方程为椭圆,

= 2a F 1F 2 无轨迹,

= 2a = F 1F 2 以F 1,F 2为端点的线段

椭圆的第二定义：= e ， PF d

其中 F 为椭圆焦点，l 为椭圆准线

点 P 到定点 F 的距离,d 为点 P 到直线 l 的距离

椭圆方程图形特征

x

2 y 2

+ 2 = 1(a > b a

2 b y

B

M (x , y ) 2

0 0

A F

O F A

1

1

2

2

B

1

> 0)

x

y 2 x 2

a 2 +

b 2

= 1(a > b > 0) y

A 2

F

2

M B O

B x

1

2

F

1

A

1

范围 | x |≤ a , | y |≤ b

| x |≤ b , | y |≤ a

顶点 ( ± a , 0 ), ( 0 , ± b )

( ± b ,0 ), ( 0 ,± a )

几 焦点 ( ± c ,0 ) ( 0 ,± c )

何 性 准线

对称性

x = ±

a

2

c

关于 x 轴、 y 轴、原点对称

y = ± a 2

c

关于 x 轴、 y 轴、原点对称

质

长短轴离心率 长轴长 | A

第九章 利用点的坐标处理解析几何问题 解析几何

利用点的坐标处理解析几何问题

有些解析几何的题目，问题的求解不依赖于传统的“设点，联立，消元，韦达定理整体代入”步骤，而是能够计算出交点的坐标，且点的坐标并不复杂，然后以点的坐标作为核心去处理问题。 一、基础知识：

1、韦达定理的实质：在处理解析几何的问题时，韦达定理的运用最频繁的，甚至有的学生将其视为“必备结构”，无论此题是否有思路，都先联立方程，韦达定理。然而使用“韦达定理”的实质是什么？实质是“整体代入”的一种方式，只是因为在解析几何中，一些问题的求解经常与x1?x2,x1x2,y1?y2,y1y2相关，利用“韦达定理”可进行整体代入，可避免因为这几个根的形式过于复杂导致运算繁琐。所以要理解“韦达定理”并不是解析几何的必备工具，只是在需要进行整体代入时，才运用的一种手段。 2、利用点坐标解决问题的优劣：

（1）优点：如果能得到点的坐标，那么便可应对更多的问题，且计算更为灵活，不受

x1?x2,x1x2,y1?y2,y1y2形式的约束

（2）缺点：有些方程的根过于复杂（例如用求根公式解出的根），从而使得点