解线性方程组的列主元素高斯消去法和LU分解法

数值试验报告分析

一、实验名称：解线性方程组的列主元素高斯消去法和LU分解法 二、实验目的及要求：

通过数值实验，从中体会解线性方程组选主元的必要性和LU分解法的优点，以及方程组系数矩阵和右端向量的微小变化对解向量的影响。

三、算法描述：

本次试验采用的是高斯列主元消去法和LU分解法求解线性方程组的解。

其中，高斯消去法的基本思想是避免接近于零的数作分母；能进行到底的条件:当A可逆时，列主元Gauss(高斯）消去法一定能进行到底。

优点:具有很好的数值稳定性；具有与顺序Gauss消去法相同的计算量。列主元Gauss(高斯）消去法的精度显著高于顺序Gauss(高斯）消去法。 注意:省去换列的步骤，每次仅选一列中最大的元。

矩阵的三角分解法是A=LU,L是下三角阵，U是上三角阵,Doolittle分解:L是单位下三

角阵，U是上三角阵；Crout分解:L是下三角阵，U是单位上三角阵。矩阵三角分解的条件 是矩阵A有唯一的Doolittle分解的充要条件是A的前n-1顺序主子式非零；矩阵A有唯一的Crout分解的充要条件是A的前n-1顺序主子式非零。三角分解的实现是通过

(1)Doolittle分解的实现； (2)Doolitt

数值试验报告分析

一、实验名称：解线性方程组的列主元素高斯消去法和LU分解法 二、实验目的及要求：

通过数值实验，从中体会解线性方程组选主元的必要性和LU分解法的优点，以及方程组系数矩阵和右端向量的微小变化对解向量的影响。

三、算法描述：

本次试验采用的是高斯列主元消去法和LU分解法求解线性方程组的解。

其中，高斯消去法的基本思想是避免接近于零的数作分母；能进行到底的条件:当A可逆时，列主元Gauss(高斯）消去法一定能进行到底。

优点:具有很好的数值稳定性；具有与顺序Gauss消去法相同的计算量。列主元Gauss(高斯）消去法的精度显著高于顺序Gauss(高斯）消去法。 注意:省去换列的步骤，每次仅选一列中最大的元。

矩阵的三角分解法是A=LU,L是下三角阵，U是上三角阵,Doolittle分解:L是单位下三

角阵，U是上三角阵；Crout分解:L是下三角阵，U是单位上三角阵。矩阵三角分解的条件 是矩阵A有唯一的Doolittle分解的充要条件是A的前n-1顺序主子式非零；矩阵A有唯一的Crout分解的充要条件是A的前n-1顺序主子式非零。三角分解的实现是通过

(1)Doolittle分解的实现； (2)Doolitt

线性方程组解法的探究

摘 要线性方程组源自于生活中一些未知元素的一系列特定的关系而转化成的

一组数据关系。对其进行求解可以解决一些方案的设计问题，例如给以新品的开发的多种原料的成分设计提供多种不同的配方。本文将以多种方法对线性方程组求解，并讲诉线性方程组的类别。

关键词

齐次线性方程组 非齐次线性方程组 克拉默（Cramer）法则

Gauss消去法 广义逆矩阵 减号逆矩阵 增广矩阵 矩阵的初等行变换 矩阵的秩

引言

克莱姆法则，又译克拉默法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。它适用于变量和方程数目相等的线性方程组，是瑞士数学家克莱姆（1704-1752）于1750年，在他的《线性代数分析导言》中发表的。高斯消元法（或译：高斯消去法），是线性代数中的一个算法，可用来为线性方程组求解，求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。当用于一个矩阵时，高斯消元法会产生出一个“行梯阵式”。高斯消元法可以用在电脑中来解决数千条等式及未知数。不过，如果有过百万条等式时，这个算法会十分费时。一些极大的方程组通常会用迭代法来解决。亦有一些方法特地用来解决一些有特别排列的系数的方程组。广义逆的思想可追

高等代数课程设计,

**大学理学院

本科考查（课程论文）专用封面

学年学期：2019-2020学年第1学期

课程名称：高等代数

任课教师：**

论文/作业题目：《线性方程组及其矩阵解法》

年级专业：19数学类

姓名学号：************

提交时间：2019.12.15

评阅成绩：

评阅意见：

阅卷教师签名：2020年1月4日

高等代数课程设计,

运用矩阵解线性方程组

摘要

解方程是代数中一个基本的问题，对于多元一次方程组，用矩阵来求解及讨论其的是否有解，是否只有唯一解和多解之间的解的结构问题是一个相对简便和可行的办法。本文主要列出矩阵和多元线性方程组性质和概念，对其定理进行证明和讨论，然后找出定理的推论进行归纳总结。最后提出个人的思考与留下的疑问。

关键词：高等代数；线性方程组；矩阵；性质；证明；思考

Abstract

Solving equations is a basic problem in algebra. For multivariate linear equations, the matrix is used to solve and discuss whether there is a solution, whether there is only one

本文档介绍了Guass消元法解法的思路与原理,并且包含了matlab程序代码。

西京学院数学软件实验任务书

本文档介绍了Guass消元法解法的思路与原理,并且包含了matlab程序代码。

实验一实验报告

一、实验名称：线性方程组高斯消去法。

二、实验目的：进一步熟悉理解Guass消元法解法思路，提高matlab编程能力。

三、实验要求：已知线性方程矩阵，利用软件求解线性方程组的解。

四、实验原理：

消元过程：

(0)(0)设a11，做（消去第i个方程组的xi） 0，令乘数mi1 ai(10)/a11

操作mi1×第1个方程+第i个方程（i=2，3，.....n）

1)(1)则第i个方程变为ai(2x2 ... ainxn bi1

这样消去第2，3，。。。，n个方程的变元xi后。原线性方程组变

为：

(0)0) a11x1 ... a1(nxn b1(0) (1)(1)(1)a22x2 ... a2x b nn2 .

. (1)(1)(1) ax ... ax bn22nnnn

这样就完成了第1步消元。

回代过程：

(n 1)在最后的一方程中解出xn，得：xn bn(n

线性方程组的解法及其应用

摘要:线性方程组是线性代数的核心内容之一，其解法研究是代数学中经典且重要的研究课题.本文综述了几种不同类型的线性方程组的解法，如消元法、克拉默法则、广义逆矩阵法、直接三角形法、平方根法、追赶法，并以具体例子介绍不同解法的应用技巧. 在这些解法中，广义逆矩阵方法，具有表达式清晰，使用范围广的特点.另外，这些方法利于快速有效地解决线性方程组的求解问题，为解线性方程组提供一个简易平台，促进了理论与实际的结合.

关键词:线性方程组解法广义逆矩阵应用实例

The Solution of Linear Equations and Its Applications

Name: Zhao Tao Student number: 200840510158 Advisor: Chu Yawei

Abstract: Linear equations is one of the core content of linear algebra, the study of its solution is a classic andimportant research topic in algebra. This paper reviews several

一、 用列主元素高斯削去法求解下述线性方程组：

?x1?13x2?2x3?34x4?13?2x?6x?7x?10x??22?1234 ??10x?x?5x?9x?141234????3x1?5x2?15x4??36程序：

function x=gaussa(a)

m=size(a); n=m(1); x=zeros(n,1); for k=1:n-1

[c,i]=max(abs(a(k:n,k))); q=i+k-1; if q~=k

d=a(q,:);a(q,:)=a(k,:);a(k,:)=d end

for i=k+1:n

a(i,:)=a(i,:)-a(k,:)*a(i,k)/a(k,k) end end

for j=n:-1:1

x(j)=(a(j,n+1)-a(j,j+1:n)*x(j+1:n))/a(j,j) end

执行过程：

>> a=[1 13 -2 -34 13;2 6 -7 -10 -22;-10 -1 5 9 14; -3 -5 0 15 -36] a =

-10 -1 5 9 14 2 6 -7 -10

系部 学号 实验题目

数计系

专 业 姓 名

计算机科学与技术

日期 成绩

2010 年 12 月

实验三： 实验三：解线性方程组的迭代法

一.实验目的 1.熟练运用已学过的迭代法求解线性方程组， 包括雅克比迭代法、 迭代法和 SOR 迭代法。 G-S 2.加深对计算方法技巧，选择正确的计算方法来求解各种线性方程组。 3.培养使用电子计算机进行科学计算和解决问题的能力。 二.实验环境 VC++6.0 实验语言：c++ 三.实验内容 1.试用雅克比迭代法和高斯塞德尔迭代法求解如下的线性方程组，设置精度为 1.0e-6:

10 1 1 x1 6.2 1 10 2 x2 = 8.5 2 1 5 x 3.2 3 2. 用 w=1 及 w=1.25 的 SOR 方法求解如下的线性方程组， 设置精度为 0.5e-7(初值为(1,1,1))

4 3 0 x1 24 3 4 1 x2 = 30 0 1 4 x 24 3 四.实验公

3.4 向量和矩阵的范数

为了研究线性方程组近似解的误差估计和迭代法的收敛性，我们需要对Rn(n维

向量空间)中的向量或Rnxn中矩阵的“大小”引入一种度量，——向量和矩阵的范 数。

向量和矩阵的范数

在一维数轴上，实轴上任意一点x到原点的距离用|x|表示。而任意两点x1,

x2之间距离用| x1-x2 |表示。

向量和矩阵的范数

而在二维平面上，平面上任意一点P(x,y)到原点的距离用 x 2 y 2 | OP 表示。而平面上 | 任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离用 表示。 推广到n维空间，则称为向量范数。

| P1 P2 | ( x1 x 2 ) ( y1 y 2 )2

2

向量范数定义3.4.1 设任一向量x R n , 按某一确定的

x ||, 且满足 : 1)非负性： || x || 0,当且仅当x 0时， || x || 0; 2)奇次性： || kx || | k ||| x ||, k R; 3)三角不等式：对任意 x, y R , 都有 || x y || || x || || y || ,法则对应于一非负实数 ||n

则称 || x || 为向量x的范数。

常见的向量范数设向

3.4 向量和矩阵的范数

为了研究线性方程组近似解的误差估计和迭代法的收敛性，我们需要对Rn(n维

向量空间)中的向量或Rnxn中矩阵的“大小”引入一种度量，——向量和矩阵的范 数。

向量和矩阵的范数

在一维数轴上，实轴上任意一点x到原点的距离用|x|表示。而任意两点x1,

x2之间距离用| x1-x2 |表示。

向量和矩阵的范数

而在二维平面上，平面上任意一点P(x,y)到原点的距离用 x 2 y 2 | OP 表示。而平面上 | 任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离用 表示。 推广到n维空间，则称为向量范数。

| P1 P2 | ( x1 x 2 ) ( y1 y 2 )2

2

向量范数定义3.4.1 设任一向量x R n , 按某一确定的

x ||, 且满足 : 1)非负性： || x || 0,当且仅当x 0时， || x || 0; 2)奇次性： || kx || | k ||| x ||, k R; 3)三角不等式：对任意 x, y R , 都有 || x y || || x || || y || ,法则对应于一非负实数 ||n

则称 || x || 为向量x的范数。

常见的向量范数设向