二次函数根分布的总结

一元二次方程根的分布专题

一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。

一．一元二次方程根的基本分布——零分布

所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。

设一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的两个不等实根为x1，x2

????b2??①方程有两个不等正根 x1?0,x2?0 ?x1?x2???x1x2???4ac?0??caba?0

?0②方程两根一正一负 ：x1?0?x2，则ca?0

????b2??③方程有两个不等负根：x1?0,x2?0 ?x1?x2???x1x2???4ac?0??caba?0

?0即时应用：

(1)若一元二次方程(m?1)x?2(m?1)x?m?0有两个不等正根，求m

2(2)k在何范围内取值，一元二次方程kx?3kx?k?3?0有一

一元二次方的应用及根的判别式、韦达定理

一、根的判别式

1.一元二次方程根的判别式的定义：

运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b ac x a a

-+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开

平方得：2b x a += 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ?=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．

2.判别式与根的关系：

在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况(是否有实数根)由24b ac ?=-确定．

判别式：设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ?=-则

①0?>?方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,2x =． ②0?=?方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a

==-

． ③0?

若?为完全平方式，同时b -2a 的整数倍，则方程的根为整数根．

说明: (1)用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值:上述判定方法也可以反过来使用，当方

程有两

2ax bx c 0根的分布情况 一元二次方程

设方程ax bx c 0 a 0 的不等两根为x1,x2且x1 x2，相应的二次函数为f x ax2 bx c 0，

2

方程的根即为二次函数图象与x轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）

表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）

需满足的条件是

根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间 m,n 外，即在区间两侧x1 m,x2 n，（图形分别如下）

f m 0 f m 0

（1）a 0时， ； （2）a 0时，

f n 0 f n 0

对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在 m,n 内有以下特殊情况：

1 若f m 0或f n 0，则此时f m f n 0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n，

可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间 m,n 内，从而可以求出参数的值。如方程mx m 2 x 2 0

2

在区间 1,3 上有一根，因为f 1 0，所以mx2 m 2 x 2 x 1 mx 2 ，另一根为得

22

，由1 3mm

2

m 2即为所求； 3

2 方程有且只有一根，且这个根在区间 m,n

1．抛物线y=﹣x+bx+c的部分图象如图所示，要使y＞0，则x的取值范围是（ ）

2

A．﹣4＜x＜1 B．﹣3＜x＜1 C．x＜﹣4或x＞1 D．x＜﹣3或x＞1

2．如果将二次函数y=2x的图象沿y轴向下平移1个单位，再向右平移3个单位，那么所得图象的函数解析式是___

3．如图，抛物线y1=-x+2向右平移1个单位得到的抛物线y2．回答下列问题：

22

（1）抛物线y2的解析式是_____，顶点坐标为_____； （2）阴影部分的面积_____;

（3）若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3，则抛物线y3的解析式为_____，开口方向_____，顶点坐标为_____．

4.如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．

（1）请直接写出D点的坐标． （2）求二次函数的解析式．

（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．

二次函数的应用——求周长面积问题

1．已知：如图，二次函数的图象与x轴交于A（-2，0），B（4，0）两点，且函数的最大值为9．

（1）求二次函

..

二次函数的最值问题

二次函数y ax2bx c ( a 0)是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基

础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当a0 时，

函数在 x b处取得最小值4ac b2，无最大值；当 a0时，函数在 x b

处取得

2a4a2a 4ac b2

，无最小值．

最大值

4a

本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用．

二次函数求最值（一般范围类）

例 1．当 2 x 2时，求函数

y x22x 3 的最大值和最小值．

分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值．

解：作出函数的图象．当x 1时，

y min4，当 x 2 时，y max5．

例 2．当1 x 2时，求函数yx2x 1 的最大值和最小值．

解：作出函数的图象．当 x 1时，y min 1 ，当x 2时， y max5 ．

由上述两例可以看到，二次函数在自变量 x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高

二次函数常见压轴题型

已知y=x 2x 3

2

和最小，差最大 在对称轴上找一点P，使得PB+PC的和最小，求出P点坐标

在对称轴上找一点P，使得PB-PC的差最大，求出P点坐标

求面积最大 连接AC,在第四象限的抛物线上找一点P，使得 ACP面积最大，求出P

坐标

讨论直角三角 连接AC,在对称轴上找一点P，使得 ACP为直角三角形，求出P坐标

或者在抛物线上求点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形．

讨论等腰三角 连接AC,在对称轴上找一点P，使得 ACP为等腰三角形，求出P坐标

讨论平行四边形 1、点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上，且以B，A，F，

E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F的坐标

2、这里小改动，把C（0，-3）改成C（2，-3）

连接BC,在x轴上找一个点F，抛物线上找一点P，使得以B、C、F、P为顶点的四边形构成平行四边形

和最小差最大

1、如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D(4, ). （1）求抛物线的解析式.

（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同

时点Q由点B出发沿BC边以1cm/s

《二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与字

母系数a、b、c的关系》

说 课 稿

一.教学背景分析： （一）教材分析

本节课的教学内容是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与字母系数a、b、c的关系， 是二次函数图像和性质及一元二次方程与函数的综合性应用，是二次函数教学中的重点、难点之一，它是集图像、符号、文字为一体的问题。同时也是近年来中考命题的热点，在中考试卷中通常以选择题（3分）或填空题（4分）的方式呈现。因为所占的分值少，加之需要学生有良好的学习基础，所以教学中未能引起教师和学生的足够重视。学生在识图的过程中往往容易忽略特殊点、对称轴问题，不去归纳和总结解决这类问题的模型，所以其中一个选择支的误判，就会增加失分，而且影响学生对后面二次函数综合性问题解决的能力的提升。因此通过这一教学内容做专题性的研讨，尝试寻求建立解决这一问题的模型，优化解决问题的方法。从而提高学生分析和解决问题的能力。 （二）学情分析：

学生已经学习了二次函数图像及性质等相关内容，具有一定的知识储备，能运用图像和性质对简单的问题进行分析和解答，但部分学生的计算能力、推理能力较弱，对这类问题的数形结合思想、特殊点函数值的利用、式子的变形技巧等，不能结

二次函数应用

1.（2012?聊城）某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=-2x+100．（利润=售价-制造成本） （1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？

（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？ 2.（2010?武汉）某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价增加x元（x为10的正整数倍）．

（1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式；

（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利

二次函数

【教学目标】

1．了解二次函数的意义，会用待定系数法求二次函数的解析式．

2．会用描点法画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，并运用二次函数的性质解决相关问题．

3．了解二次函数与一元二次方程的关系，进一步体会数形结合、转化等思想方法．

【教学重难点】

二次函数的图象和性质的应用．

【教学过程】

一、基础训练

1．二次函数y ax2 bx c（a 0）图象如图所示．

（1）你能根据图中的信息得出哪些结论？

（2）若抛物线与x轴交点的横坐标为-1和5，则该抛物线的对称轴为 ，方程ax2 bx c 0的根为；

（3）若抛物线的顶点坐标为（2，9），则方程ax bx c m有实数根的条件是 ；

（4）在（2）的条件下，若抛物线与y轴交于点（0，5），请求出该二次函数解析式．

2

二、合作交流

1．二次函数y ax2 bx c（a≠0）图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a b＝

220；③当m≠1时，a b＞am2 bm；④a b c＞0；⑤若ax1 bx1＝ax2 bx2，且x1

≠x2，则x1 x2＝2．其中正确的有（ ）．

A．①②③

C．②⑤ B．②④ D．②③⑤

2．若抛物线y mx (m 2)x 1m

§3.3 二次函数

A组 2015年全国中考题组

一、选择题

1．(2015·山东泰安，19，3分)某同学在用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c图象时，列出了下面的表格：

x y … … －2 －11 －1 －2 0 1 1 －2 2 －5 … … ( )

由于粗心，他算错了一个y值，则这个错误的数值是 A．－11

B．－2

C．1

D．－5

解析 由表格知二次函数的对称轴为x＝0，且过点(0，1)，(1，－2)，∴b?－2a＝0，

?a＝－3，?

解得?b＝0，∴二次函数解析式为y＝－3x2＋1.当x＝2时，?c＝1，

??a＋b＋c＝－2.?c＝1.y＝－3×22＋1＝－11，故选D. 答案 D

2．(2015·四川巴中，10，3分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x＝－1，下列结论：①abc<0 ②2a＋b＝0 ③a－b＋c>0 ④4a－2b＋c

B．只有①

( ) C．③④

D．①④

b

解析 由图象可知：a>0，b>0，c<0所以abc<0；故①正确；对称轴－2a＝－1，可得b＝2a，故②错误；当x＝－1时，a－b＋c<0，故③错误；当x＝－2时，4a－2b＋c<0，故④正确． 答案 D

3．(2015·四川泸州，9，3分)若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象经过点(2，0)，且其对称轴为x＝－1，则使函数值y＞0成立的x的取值范围是( )

A．x<－4或x>2