函数极限与连续

第一章 函数、极限与连续

第一讲：函数

一、是非题

1．y? （ ） x2与y?x相同；

2.y?(2x?2?x)ln(x?1?x2)是奇函数； （ 3.凡是分段表示的函数都不是初等函数； （ 4. y?x2(x?0)是偶函数； （ 5.两个单调增函数之和仍为单调增函数； （ 6.实数域上的周期函数的周期有无穷多个； （ 7.复合函数f[g(x)]的定义域即g(x)的定义域； （ 8.y?f(x)在(a,b)内处处有定义，则f(x)在(a,b)内一定有界。 （ 二、填空题

1.函数y?f(x)与其反函数y?

专插本数学复习题（兰 星）

第一章 函数、极限与连续

第一讲：函数

一、是非题

1．y? （ ） x2与y?x相同；

2.y?(2x?2?x)ln(x?1?x2)是奇函数； （ ） 3.凡是分段表示的函数都不是初等函数； （ ） 4. y?x2(x?0)是偶函数； （ ） 5.两个单调增函数之和仍为单调增函数； （ ）

6.实数域上的周期函数的周期有无穷多个； （ ） 7.复合函数f[g(x)]的定义域即g(x)的定义域； （ ） 8.y?f(x)在(a,b)内处处有定义，则f(x)在(a,b)内一定有界。

专插本数学复习题（兰 星）

第一章 函数、极限与连续

第一讲：函数

一、是非题

1．y? （ ） x2与y?x相同；

2.y?(2x?2?x)ln(x?1?x2)是奇函数； （ ） 3.凡是分段表示的函数都不是初等函数； （ ） 4. y?x2(x?0)是偶函数； （ ） 5.两个单调增函数之和仍为单调增函数； （ ）

6.实数域上的周期函数的周期有无穷多个； （ ） 7.复合函数f[g(x)]的定义域即g(x)的定义域； （ ） 8.y?f(x)在(a,b)内处处有定义，则f(x)在(a,b)内一定有界。

数列、函数极限和函数连续性

数列极限

定义1（??N语言）：设?an?是个数列，a是一个常数，若???0，?正整数N，使得当n?N时，都有an?a??，则称a是数列?an?当n无限增大时的极限，或称?an?收敛于a，记作liman?a，或an?a?n????.这时，也称?an?的极限

n???存在.

定义2（A?N语言）：若A?0,?正整数N，使得当n?N时，都有an?A,则称

??是数列?an?当n无限增大时的非正常极限，或称?an?发散于??，记作

liman???n???或an????n????，这时，称?an?有非正常极限，对于??,?的定

义类似，就不作介绍了.为了后面数列极限的解法做铺垫，我们先介绍一些常用定理.

1.2 数列极限求法的常用定理

定理1.2.1（数列极限的四则运算法则） 若?an?和?bn?为收敛数列，则

?an?bn?,?an?bn?,?an?bn?也都是收敛数列，且有

lim?an?bn??liman?limbn, lima?b?lima?limb.?nn?nnn??n??n??n??n??n??

?an?若再假设bn?0及limbn?0，则??也是收敛数列，且有

第一章、函数、极限和连续（约20%）

一、函数

（一）．理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值，会作出一些简单的分段函数图像。

1、函数的概念：

设x和y是两个变量，D是一个给定的数集，如果对于给定的每个数x?D，变量y按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作y?f(x)，数集D叫做这个函数的定义域，x叫做自变量，y叫做因变量。y的取值范围叫函数的值域。已知函数

f(x)的定义域，求函数f(g(x))的定义域。

2、定义域的求法原则

（1）分母不为零 （2）x，x?0 （3）lnx,x?0 （4）arcsinx,arccosx,?1?x?1

（5）同时含有上述四项时，要求使各部分都成立的交集 例1、 求的定义域：（1）y?4?x2?ln?x2?1?

（2） y?1+x?ln?4?x??（3）y?【提升】

1 x?3x2?4?1 x?1例2、 当0?x?1是函数f(x)的定义域，求f(sin2x)的定义域。 例3、当0?x?4是函数f(x?2x?4)的定义域，求f(x)的定义域。

3、表达式、函数值

例4、下列各对函数中，两个函数相等的是 ———————

《高等数学》（微积分）教案

【教学内容】§1.1 函数

【教学目的】理解并掌握函数的概念与性质 【教学重点】函数的概念与性质 【教学难点】函数概念的理解 【教学时数】2学时 【教学过程】

一、组织教学，引入新课

极限是微积分学中最基本、最重要的概念之一，极限的思想与理论，是整个高等数学的基础，连续、微分、积分等重要概念都归结于极限. 因此掌握极限的思想与方法是学好高等数学的前提条件. 本章将在初等数学的基础上，介绍极限与连续的概念。 二、讲授新课 （一）实数概述 1、实数与数轴 （1）实数系表 （2）实数与数轴关系

?封闭性??有序性（3）实数的性质： ?

?稠密性?连续性?2、实数的绝对值

?x,x?0（1）绝对值的定义：x??

?x,x?0?（2）绝对值的几何意义 （3）绝对值的性质

练习：解下列绝对值不等式：① x?5?3，② x?1?2 3、区间

（1）区间的定义：区间是实数集的子集 （2）区间的分类：有限区间、无限区间 ① 有限区间：长度有限的区间

设a与b均为实数，且a?b，则

1

《高等数学》（微积分）教案

数集{xa?x?b}为以a、b为端点的闭区间，记作[a，b] 数集{xa?x?b}为以a、b为端点的开区间，记作（

一、函数、极限、连续重要概念公式定理

（一）数列极限的定义与收敛数列的性质

数列极限的定义：给定数列{}n x ,如果存在常数A ,对任给0ε>,存在正整数N ,使当n N >时,恒有n x A ε-<,则称A 是数列{}n x 的当n 趋于无穷时的极限,或称数列{}n x 收敛于A ,记为lim n n x A →∞=.若{}n x 的极限不存在,则称数列{}n x 发散.

收敛数列的性质：

(1)唯一性：若数列{}n x 收敛,即lim n n x A →∞

=,则极限是唯一的． (2)有界性：若lim n n x A →∞

=,则数列{}n x 有界,即存在0M >,使得对n ?均有n x M ≤. (3)局部保号性：设lim n n x A →∞

=,且()00A A ><或,则存在正整数N ,当n N >时,有()00n n x x ><或.

(4)若数列收敛于A ,则它的任何子列也收敛于极限A .

（二）函数极限的定义

（三）函数极限存在判别法 (了解记忆)

1．海涅定理：()0lim x x f x A →=?对任意一串0n x x →()0,1,2,n x x n ≠=L ,都有 ()lim n n f x A →∞

=． 2.充要条件：(1)()()000lim ()lim lim x x x x x x f x A f x f x A +-→→→=?==;

(2)lim ()lim ()lim ()x x x f x A

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第一部分 函数、极限、连续

[选择题]

容易题 1—47，中等题48—113，难题114—154。 1．设f(x)的定义域是[0,4]，则f(x)的定义域是( ) A. [0,4] C. [0,16]

B. [-2,2] D. [0,2]

22．设函数y?f(x)的定义域为[0,2]，a?0，则y?f(x?a)?f(x?a) 的定义域为( ) A.[?a,2?a]?[a,2?a] B. ?

C. 当a?1时，定义域：a?x?2?a；当a?1时，?； D. [?a,2?a]?[a,2?a] 3．若Z?3y?f(3x?1)，且已知当y?1时，z?x.则f(x)?（）

A.(x?1)?1 B.x?1 C.(t?1)?1 D.t?1 4．下列不正确的是（）

A.f,g在(??,??)上都为单调增（减）函数，则f?g,f?g,f?g,为单调增（减）函数

B.f,g在(??,??)上都为单调增（减）函数，则f?g,max(f,g),min(f,g)都 为单调增（减）函数

3f(g?

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高等数学—第二章

极限与连续基础课教学部 数学教研室

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第八节

函数的连续性

一、函数改变量 二、连续函数的概念 三、函数的间断点 四、连续函数的运算法则 五、在闭区间上连续函数的性质 六、利用函数连续性求函数极限

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一、函数改变量 定义2.11 变量t由初值 t1 改变到终值 t 2 , 则称 t t 2 t1 为变量t的改变量。 等价定义：设函数 y= f (x) U ( x , ) 有定义，若自变量x 在 x 0 改变到 x 0 x ( x 0 ), 则函数 y 的改变量为 从 y f ( x 0 x ) f ( x ). 函数的增量0

yy f (x)

y y

y f (x)

y x0

x

x0

x0 x

x

0

x0

x0 x

x

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例1 设正方形边长为x,求边长改变量为Δx 时， 面积的增量。 2 y x 解： 设正方形的面积： 当边长变为x+Δx时，面积为： 2 y1 x x . 则面积的改

高等数学函数的极限与连续习题精选及答案

1、函数

f x x2

x3 1

x 1与函数g x x 1相同．

错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴

f x x2

x3 1

x 1与g x 函数关系相同，但定义域不同，所以f x 与g x

x 1

是不同的函数。

2、如果f x M（M为一个常数），则f x 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在．

错误 如：数列xn 1 是有界数列，但极限不存在

n

4、n

liman a，liman a．

n

n

n

n

错误 如：数列an 1 ，lim( 1)

x

1，但lim( 1)n不存在。

n

5、如果limf x A，则f x A （当x 时， 为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果 ～ ，则 o ．

1，是

∴lim lim 1 0，即 是 的高阶无穷小量。

2

7、当x 0时，1 cosx与x是同阶无穷小．

2

xx 2sin2sin

1 cosx1 1 lim lim2 正确 ∵limx 0x 0x 04