复变函数的积分例题及解析

第三章、复变函数的积分 习题课：

1、 分别计算沿（1）直线段；（2）单位圆（

（3）单位圆的右半圆的下列积分：

|z|?1）的左半圆；

I??|z|dz。

?ii

2、 计算积分：

I??Rezdz，

L在这里L分别表示：（1）单位圆（按反时针方向从1到1取积分）；（2）从1沿直线段到2。

3、 设函数

zzf(z)当|z?z0|?r0(0?r0?1)时是连续

的。令M(r)表示|f(z)|在|z?z0|?r?r0上的最

大值，并且假定

r???试证明

limM(r)?0。

r???Kr在这里

lim?f(z)dz?0

Kr是圆|z?z0|?r。

4、 如果满足上题条件的函数

析，那么对任何

f(z)还在|z?z0|?r0内解

r?r0，

?

5、 计算积分：

Krf(z)dz?0

1?|z|?2z4?1dz。

6、 设

f(z)及g(z)在单连通区域D内解析，证明：

??????

?f(z)g'(z)dz?f(z)g(z)|??f'(z)g(z)dz

在这里从的。

?到?的积分是沿D内连接?及?的一条简单曲线取

7、 计算积分： （1）

I??Cdz； （2）I?lnzdz，

?CzC表示单位圆（按反时针方向从1到1取积分），而被积函

数分别取为按下列各

单项选择题：

以下各题只有一个正确答案，请将它选择出来（4分/题）。

1. 复数8－6 i的模等于 ( )。 A. –10 B. 10 C. ?10 D. 10

2. 复数－6－8i的主辐角等于 ( )。

A. arctan(4/3) B. π– arctan(4/3) C.–π– arctan(4/3) D. –π + arctan(4/3)

3. ( 2 + i ) ( 2 –i ) = ( )。

A. 5 B. 3 C. 1 D. 4 i

4. ( 1 –i )6 = ( )。

A. 8 i B. 64 i C. – 8 i D. – 64 i

5. 以下( )不是方程z5 – 32 i = 0 的根。 A. 2e

i9?10B. 2i C. 2e-i3?10 D. 2ei11?10

6. 以下不等式中，能够确定一个有界单连通域的是( )。 A. Imz> 1 B. |arg z| <π/4 C. | 1/z | > 0.5 D. |z| > 2

7. 将圆周|z+i | = 2向左平移一个单位，再向下

重庆大学《复变函数与积分变换》（理工班）课程试卷 第 1 页 共 5 页

重庆大学 复变函数与积分变换（理工班） 课程试卷

s26．函数f(s)?2的拉氏逆变换L?1[f(s)]? 【 】

s?1A．?(t)?cost B．?(t)?cost

2009 ~2010学年 第 1 学期

课程号命题人： 名姓 密 弊号学作 绝 拒 、 纪 考 肃 严 级、年信 守 实封 诚 、 争 竞 平班、公业专 线 院学开课学院： 数理学院 ：10020930

考试日期： 201001

考试方式：

考试时间： 120 分钟 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总 分 得 分

一、单项选择题(每小题2分，共16分)

1．设z为复数，则方程z?z?2?i的解是 【 】 A．?34?i

复变函数积分方法总结

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复变函数积分方法总结

数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数： z=x+iy i2=-1 ，x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。 arg z=θ? θ?称为主值 -π＜θ?≤π ，Arg=argz+2kπ 。利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ ，y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ。z=reiθ。

1.定义法求积分：

定义：设函数w=f(z)定义在区域D内，C为区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线，把曲线C任意分成n个弧段，设分点为A=z0 ，z1，…，zk-1，zk，…，zn=B，在每个弧段zk-1 zk(k=1,2…

nn)上任取一点?k并作和式Sn= nk?1f(???)(zk-zk-1)= k?1f(???)?zk记

?zk= zk- zk-1，弧段zk-1 zk的长度 δ=1max{?Sk}(k=1,2…,n),当 δ→0≤k

基本要求

1． 正确理解复变函数积分的概念；

?Cf(z)dz?lim?f(?k)?zk

??0k?1n2． 掌握复变函数积分的一般计算法；

?Cf(z)dz??(u?iv)(dx?idy)??f(z(t))z?(t)dt

C??3． 掌握并能运用柯西—古萨基本定理和牛顿—莱布尼茨公式来计算积分；

??Cf(z)dz?0，?f(z)dz?G(z1)?G(z0)

z0nz14． 掌握闭路变形定理、复合闭路定理，并能运用其计算积分；

??Cf(z)dz??(dz)，??f(z)dz????f(z)dz ?fzC1Ck?1Ck5． 掌握并能熟练运用柯西积分公式；

??Cf(z)dz?2?if(z0) z?z06． 掌握解析函数的高阶导数公式，理解解析函数的导数仍是解析函数，会用高阶导数公式

计算积分。

2?if(z0)f(z)dz? ??C(z?z0)n?1n!一、填空题

1．

dz； ??|z|?1z2?2z?2?（ ）

z2?12．?； ?|z?1|?1z2?1dz?（ ）

3．

cosz； ??|z|?1(z??)2dz?（ ）

4．设

复变函数与积分变换解

读

Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

复变函数与积分变换

课程名称：复变函数与积分变换

英文译名：Complex Function and Integral Transformation

课程编码：070102B06

适用专业：信息与计算科学

课程类别：专业必修

学时数：48 学分：3

编写执笔人：韩仲明审定人：刘晓华

编写日期：2005年4月

一、本课程的内容、目的和任务：

复变函数与积分变换是高等师范院校数学专业的基础课程之一，是数学分析的后续课程，其任务是使学生获得复变函数与积分变换的基本理论与方法。它在微分方程、概率论、力学等学科中都有应用，其方法是自动控制、自动化、信号处理的常用方法之一，本课程主要讨论复变函数和积分变换。内容主要包括：复数运算，解析函数，初等函数，复变函数积分理论，级数展开及留数理论，保形映射，拉普拉斯变换，富里叶变换。复变函数与积分变换是微积分学在复数域上的推广和发展，通过本课程的学习能使学生对微积分学的某些内容加深理解，提高认识。复变函数与积分变换在联系和指导中

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全国2009年4月自考复变函数与积分变换试题

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

1．设z=1-i,则Im(1z2)=（ ）

A．-1 B．-12

C．12 D．1

2．复数z=3?i2?i的幅角主值是（ ）

A．0 B．π4

C．π2 D．3π4

3．设n为整数，则Ln（-ie）=（ ） A．1-π2i

B．(2nπ?π2)i

C．1+2(nπ?π2)i

D．1+2(nπ?π2)i4．设z=x+iy.若f (z)=my3+nx2y+i(x3-3xy2)为解析函数，则（ A．m=-3,n=-3 B．m=-3,n=1 C．m=1,n=-3 D．m=1,n=1

i5．积分?2ieπzdz?（ ）

A．1?(1?i) B．1+i C．

2i

D．

2??

6．设C是正向圆周z?1?1,则?sin(?z/3)Cz2?1dz=（ ） A．?32?i B．?3?i C．

34?i D．

32?i 7．设C是正向圆周z?3，则

?sinzCdz=（ ） (z??2)3A．?2?i B．??i C．?i

D．2?i

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重庆大学 复变函数与积分变换（理工班） 课程试卷

s26．函数f(s)?2的拉氏逆变换L?1[f(s)]? 【 】

s?1A．?(t)?cost B．?(t)?cost

2009 ~2010学年 第 1 学期

课程号命题人： 名姓 密 弊号学作 绝 拒 、 纪 考 肃 严 级、年信 守 实封 诚 、 争 竞 平班、公业专 线 院学开课学院： 数理学院 ：10020930

考试日期： 201001

考试方式：

考试时间： 120 分钟 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总 分 得 分

一、单项选择题(每小题2分，共16分)

1．设z为复数，则方程z?z?2?i的解是 【 】 A．?34?i

实用标准文案 复变函数与积分变换试题（一）

一、填空（3分×10）

1．ln(?1?3i)的模 ，幅角 。

2．-8i的三个单根分别为： ， ， 。 3．Lnz在 的区域内连续。 4．f(z)?z的解极域为： 。 。

5．f(z)?x2?y2?2xyi的导数f?(z)? ?sinz?6．Res?3,0?? ?z? 。 。 。 。 。

7．指数函数的映照特点是： 8．幂函数的映照特点是： 9．若F(?)=F [f(t)]，则f(t)= F ?1f[(?)] 10．若f（t）满足拉氏积分存在条件，则L [f(t)]= 二、(10分)

11已知v(x,y)??x2?y2，求函数u(x,y)使函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)为

22解析函数，且f(0)=0。

三、（10分）应用留数的相关定理计算

dz?|z|?2z6(z?1)(z?3)

四、计算积分（5分×2） 1．?|z|?2dz

复变函数与积分变换试题与答案 1．若

u(x,y)与v(x,y)都是调和函数，则f(z)?u(x,y)?iv(x,y)是解析函数。

（ ） 2．因为

|sinz|?1，所以在复平面上sinz有界。

（ ）

3．若

f(z)在z0解析，则f(n)(z)也在z0解析。

2

（ ）

（ ）

4．对任意的z，Lnz?2Lnz

二 填空（每题3分）1．2．

ii?arg??2?2i ， ?2?2i 。

ln(?3i)? ， ii? 。

2f(z)?2z?4z下，曲线C3.在映照在

z?i处的伸缩率是 ，旋转角

是 。

1?e2z44.z?0是z1?e2zRes[4,0]?z的 阶极点， 。

三 解答题（每题7分） 设

f(z)?x2?axy?by2?i(cx2?dxy?y2)。问常数a,b,c,d13为何值时

f(z)在复平面上处处解

析？并求这时的导数。

求

(?1)C的所有三次方根。

其中C是z?3．

4．

z2dz?0到z?3?