微积分解决物理问题

用微积分知识解决的经济问题 第 一 章 常见经济函数

1. 需求函数与供给函数

需求量是指在特定时间内,消费者打算并能够购买的某种商品的数量,用Qd表示.影响需求的因素很多,主要有：商品的价格P,与此商品有关的其他商品的价格P1, P2 ,?,Pn,个人的收入M,消费者对未来商品价格的预期pe,个人的偏好h等等.

若除商品的价格P外,影响需求的其他因素不变,则Qd是P的一元函数

Q d = f (P)

它通常是一个单调减函数,常见的需求函数有

Qd?a?bP(a,b?0)

?b Qd?aP(a,b?0)

?1P?f(Qd)称为需求函 有时,也把Qd = f (P)的反函数

数.

如果影响需求的各种因素均变化,则Qd是各因素的多元函数

Qd?f(P；P1,P2,?,Pn；pe；M；h)

供给量是指在特定时间内,厂商愿意并且能够出售的某种商品的数量,用Qs表示.影响供给的主要因素有：商品的价格P,与此商品有关的其他商品的价格P1, P2 ,?,Pn,厂商对未来商品价格的预期Pe,生产投入的的要素成本C及厂商的技术状况ρ等.

高中物理学的几个微积分解释

河南省汤阴县一中 张淑强

在普通高中数学课程中，有关于对函数求导和简单微积分知识的应用。而“应用数学知识解决物理问题”是要求高中学生所具备的能力，也是高考中所要求的“五种能力”之中很重要的一种。在物理教学中，教师可以大胆尝试，创新教法，利用简单微积分知识解释和解决一些物理学问题，既锻炼了学生的思维能力，又使一些复杂问题变得简单易懂。

一．转动金属棒电磁感应问题：

长为l 的金属棒在磁感应强度为B 的匀强磁场中垂直磁感线方向转动，角速度为ω，则该金属棒产生的感应电动势为：

ωωω20200B 21B 21d d E l l l l B l Bv l l l ====??

若围绕棒所在直线上的任一点转动，由以上积分式容易看出结果相同。

二．航天器变轨过程中能量变化问题

21121-2-2

P 2121212

1d d E r GMm r GMm r GMm r GMm r GMm GMmr r GMmr r r GMm r r r r r r r r -=???? ??--=-=-===??? 根据万有引力提供向心力公式，有关系：

r mv r GMm 2

2

= 所以轨道半径为r 的航天器的动能r GMm mv E 2212k ==

容易得

主要介绍江苏高考历年的微积分

摘要：通过高等数学中对于微积分这一工具的学习和大学物理中微积分与物理模型应用的训练，让笔者不禁想到高中物理中所遇到的难题，用无限元细想解决问题。

关键词：微积分 导体棒切割磁感线

为了更好的说明利用高等数学这个工具去解决曾经的难题，下面笔者选取三个例题做演示说明。（由06、07、08年江苏高考物理卷中试题改编，原答案可以通过网络搜索，在这里就不赘述了。）

如图所示，间距为L的两条足够长的平行金属导轨与水平面的夹角为θ，导轨光滑且电阻忽略不计．场强为B的条形匀强磁场方向与导轨平面垂直，磁场区域的宽度为d1，间距为d2．两根质量均为m、有效电阻均为R的导体棒a和b放在导轨上，并与导轨垂直，重力加速度为g，若a进入第2个磁场区域时，b恰好离开第1个磁场区域；此后a离开第2个磁场区域时，b 又恰好进入第2个磁场区域．且a．b在任意一个磁场区域或无磁场区域的运动时间均相．求在以上所描述的运动情况下，当a穿出第k个磁场区域时的速率v。 解析：

设a刚好进入第k个磁场区域的速度为v2 此时b刚好离开第k-1个磁场，设其速度为

v1。当a刚好离开磁场，b刚好进入磁场， 依题意，两者速度互换，并把这个过程记为 一个整体，为事件A。

在无磁场区

1.高等数学概念

微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。 定义

设函数f(x）=0在[a,b]上有解，在[a，b]中任意插入若干个分点 a=x0

把区间[a，b]分成n个小区间

[x0，x1]，...[xn-1，xn]。

在每个小区间[xi-1，xi]上任取一点ξi(xi-1≤ξi≤xi），作函数值f（ξi）与小区间长度的乘积f（ξi）△xi，并作出和

如果不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间上的点ξi怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和S总趋于确定的极限I，

这时我们称这个极限I为函数f(x）在区间[a,b]上的定积分， 记作

定积分 即：

展开式 编辑本段微积分学的建立

从微积分成为一门

篇一：微积分入门

校 本 课 程

论文题目：微积分初步

作 者：高红桃

日 期：2011-09-11

序

中国战国时代（公元前7世纪），我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，即老庄哲学中所有的无限可分性和极限思想；公元前4世纪《墨经》中有了有穷、无穷、无限小（最小无内）、无穷大（最大无外）的定义和极限、瞬时等概念。这是朴素的、也是很典型的极限概念。而极限理论便是微分学的基础。

古希腊时期（公元前3世纪），阿基米德用内接正多边形的周长来穷尽圆周长，而求得圆周率愈来愈好的近似值，也用一连串的三角形来填充抛物线的图形，以求得其面积。这是穷尽法的古典例子之一，可以说是积分思想的起源。

17世纪，许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。

17世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。

19世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认

1.高等数学概念

微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。 定义

设函数f(x）=0在[a,b]上有解，在[a，b]中任意插入若干个分点 a=x0

把区间[a，b]分成n个小区间

[x0，x1]，...[xn-1，xn]。

在每个小区间[xi-1，xi]上任取一点ξi(xi-1≤ξi≤xi），作函数值f（ξi）与小区间长度的乘积f（ξi）△xi，并作出和

如果不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间上的点ξi怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和S总趋于确定的极限I，

这时我们称这个极限I为函数f(x）在区间[a,b]上的定积分， 记作

定积分 即：

展开式 编辑本段微积分学的建立

从微积分成为一门

高中物理中微积分思想

伟大的科学家牛顿，有很多伟大的成就，建立了经典物理理论，比如：牛顿三大定律，万有引力定律等；另外，在数学上也有伟大的成就，创立了微积分。

微积分（Calculus）是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。微积分最重要的思想就是用\微元\与\无限逼近\，好像一个事物始终在变化你很难研究，但通过微元分割成一小块一小块，那就可以认为是常量处理，最终加起来就行。 微积分学是微分学和积分学的总称。 它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。在高中物理中，微积分思想多次发挥了作用。

1、解决变速直线运动位移问题

匀速直线运动，位移和速度之间的关系x=vt；但变速直线运动，那么物体的位移如何求解呢？ 例1、汽车以10m/s的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等减速2m/s2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少公里？

【解析】 现在我们知道

高等数学

第六章 一元微积分的应用第 三 节 微积分在物理学中的应用

一、变力沿直线作功二、液体的静压力

三、连续函数的平均值

高等数学

一、变力沿直线作功设变力 f ( x) : 其方向沿 x 轴正向, 大小随 x 值 的变化而变化. 变力 f ( x) 推动物体, 从点 x a 处沿 x 轴正向运动到点 点 x b 处 (a b) 所作的功为:y

x (a, b], x 0.

当 x 很小时, 可视物体在区间

f (x)O

[ x, x x] 上, 以变力在点 x 处的值x x x b x

f ( x) 按常力 作功, 其值为

a

W f ( x) x.

于是, 变力沿直线作功问题的微分元素为: d W f ( x) d x.

高等数学

由于功对区间具有可加性, 故变力 f ( x) 沿直线移动物体所做y

y f (x)

的功为:积分区间: x [a, b].微分元素: d W f ( x) d x.b b

WO ab x

变力作功的几何表示

功的计算 : W d W f ( x) d x.a a

高等数学

例1

直径为0.20 (m), 长为1 (m) 的气缸内 充满了压强 ,为9.8 105 ( N /

高等数学初步之一

微积分

物理学研究的是物质的运动规律,因此我们以常遇到的物理量大多数是变量,而我们要研究的正是一些变量彼此间的联系.这样,微积分这个数学工具就成为必要的了.读者在学习基础物理课时若能较早地掌握微积分的一些基本知识,对于物理学的一些基本概念和规律的深入理解是非常有好处的.所以我们在这里先简单地介绍一下微积分中最基本的概念和简单的计算方法,在讲述方法上较多地借助于直观并密切地结合物理课的需要.这里的讲解为将为读者更系统和更深入地掌握微积分的知识和方法奠定坚实的基础.

§1 函数

本节中的不少内容读者在初等数学及中学物理课中已经学过了,现在我们只是把它们联系起来复习一下.

1.1 函数 自变量和因数量 绝对常量和任意常量

在数学中函数的功能是这样定义的:有两个互相联系的变量x和y,如果每当变量x取定了某个数值后,按照一定的规律就可以确定y的对应值,我们就称y是x的函数,并记作:

y f(x) (A.1) 其中x叫做自变量,y叫做因变量,f是一个函数记号,它表示y和x数值的对应关系.有时把y f(

微积分入门

一.微商（导数）

1.用来分析变化的工具 2.斜率=dy/dx

3.极限：一个值无限接近另一个值的状态。表示：lim(x→0)f(x)=b 4.正向接近（+∞）与负向接近（-∞）。当从两侧接近的结果不同时，不存在极限

5.极限的模式：?lim(x→a)f(x) 不存在（如lim(x→a)1/x) ?lim(x→a)f(x)存在，但不 是f(a)(如lim(x→1)（x^2-3*x+2)/(x-1)) ?lim(x→a)f(x)存在，是f(a). 6.求导公式：lim(h→0)( f(x+h) -f(x))/h 二．导函数

1对f(x)求导得到的导函数也是函数。f ’(x)=lim(h→0)( f(x+h) -f(x))/h=lim(dx→0)dy/dx 2.导数表示的两种方式:A.如上 B.(莱布尼茨法）dy/dx df(x)/dx F’’(x)=(d/dx)*(d/dx)*y 3.求导基本公式：?p=C p’=0(p为常数）?(px)’=p ?{f(x)+g(x)}’=f’(x)+g’(x) 4.常用求导公式：?（x^n)’=lim(h→0)((x+h) ^n-x^