离散数学第二章一阶逻辑思维导图

2.1 等值式

一、等值式的概念

两公式什么时候代表了同一个命题呢？抽象地看，它们的真假取值完全相同时即代表了相同的命题。

设公式A,B共同含有n个命题变项，可能A或B有哑元，若A与B有相同的真值表，则说明在2n个赋值的每个赋值下，A与B的真值都相同。于是等价式AB应为重言式。

定义2.1 设A,B式两个命题公式，若A,B构成的等价式A

B是等值的，记作A

B.

B为重言式，则称A与

定义中给出的符号不是联结词符，它是用来说明A与B等值（AB是重言式）的一种记法，因而是元语言符号。此记号在下文中频繁出现，千万不要将它与混为一谈，同时也要注意它与一般等号=的区别。 判断等值式有如下方法： 1.真值表

2.等值演算

3.范式

二、用真值表判断公式的等值

例2.1 判断下面两个公式是否等值：

┐(p∨q)与┐p∧┐q

解 用真值表法判断┐(p∨q)

(┐p∧┐q)是否为重言式。此等价式的真值表如表2.1

(┐p∧┐q)。

所示，从表中可知它是重言式，因而┐(p∨q)与┐p∧┐q等值，即┐(p∨q)

其实，在用真值表法判断AB是否为重言式时，真值表的最后一

逻辑思维

逻辑思维的重要性

人类的活动离不开思维，思维能力的发展程度是整个智力发展的缩影和标志。由于数学自身的特点，数学教育承载着“发展儿童的思维”的重任，现代教育观点认为，数学教学就是指数学思维活动的教学，数学教学实质上就是学生在教师指导下，通过数学思维活动，学习数学家思维活动的成果，并发展数学思维，使学生的数学思维结构向数学家的思维结构转化的过程。

逻辑思维对学习的影响

《小学数学教学大纲》中明确规定，要“使学生具有初步的逻辑思维能力。”这一条规定是很正确的。下面试从两方面进行一些分析。首先从数学的特点看。数学本身是由许多判断组成的确定的体系，这些判断是用数学术语和逻辑术语以及相应的符号所表示的数学语句来表达的。并且借助逻辑推理由一些判断形成一些新的判断。而这些判断的总和就组成了数学这门科学。小学数学虽然内容简单，没有严格的推理论证，但却离不开判断推理，这就为培养学生的逻辑思维能力提供了十分有利的条件。再从小学生的思维特点来看。他们正处在从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段。这里所说的抽象逻辑思维，主要是指形式逻辑思维。因此可以说，在小学特别是中、高年级，正是发展学生抽象逻辑思维的有

利时期。由此可以看出，《小学数学教学大纲》中把培养初步

逻辑思维

逻辑思维的重要性

人类的活动离不开思维，思维能力的发展程度是整个智力发展的缩影和标志。由于数学自身的特点，数学教育承载着“发展儿童的思维”的重任，现代教育观点认为，数学教学就是指数学思维活动的教学，数学教学实质上就是学生在教师指导下，通过数学思维活动，学习数学家思维活动的成果，并发展数学思维，使学生的数学思维结构向数学家的思维结构转化的过程。

逻辑思维对学习的影响

《小学数学教学大纲》中明确规定，要“使学生具有初步的逻辑思维能力。”这一条规定是很正确的。下面试从两方面进行一些分析。首先从数学的特点看。数学本身是由许多判断组成的确定的体系，这些判断是用数学术语和逻辑术语以及相应的符号所表示的数学语句来表达的。并且借助逻辑推理由一些判断形成一些新的判断。而这些判断的总和就组成了数学这门科学。小学数学虽然内容简单，没有严格的推理论证，但却离不开判断推理，这就为培养学生的逻辑思维能力提供了十分有利的条件。再从小学生的思维特点来看。他们正处在从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段。这里所说的抽象逻辑思维，主要是指形式逻辑思维。因此可以说，在小学特别是中、高年级，正是发展学生抽象逻辑思维的有

利时期。由此可以看出，《小学数学教学大纲》中把培养初步

2.13 设解释I为：个体域DI ={-2,3,6},一元谓词F（X）：X（X）：X>5,R(X):X（1） 解：

x(F(x)x(F(x)(F(-2) ((-2((1 00

(2)

x(R(x)

F(x))

G(5) G(5)

F(3)) (( 3

(R(6)7)

(3

F(6))3))

03)

7。在I下求下列各式的真值。

3，G

G(x)) G(x)) G(-2))

(F(3) ((3((0 G(3)) 3)

(F(6) (3>5)) 0))

G(6)) ((6

3)

(6<5))

(-2>5))

0))

0))((1 0

解：x(R(x)(R(-2)((-2

F(x))

F(-2)) (R(3)7)

(-2

3))

G(5)

7)

(( 6

(63)) (5>5) (1 10

1) 1

(1 0

1) 0

(1

0)

0

(3)解：

x(F(x)x(F(x)

G(x)) G(x))

(F(3)

((3 (0

G(3)) 3) 1)

(F(6) (3>5))

G(6)) ((6

3)

(6>5))

(F(-2) ((-2(1

G(-2)) 3)

(-2>5)) (1

0)

0)

1 1

1 1

2.14 求下列各式的前束范式，要求

第二章 谓词逻辑

习题与解答

1. 将下列命题符号化：

(1) 所有的火车都比某些汽车快。

(2) 任何金属都可以溶解在某种液体中。 (3) 至少有一种金属可以溶解在所有液体中。 (4) 每个人都有自己喜欢的职业。 (5) 有些职业是所有的人都喜欢的。

解 (1) 取论域为所有交通工具的集合。令

T(x):x是火车， C(x):x是汽车， F(x,y):x比y跑得快。

“所有的火车都比某些汽车快”可以符号化为?x(T(x)??y(C(y)?F(x,y)))。 (2) 取论域为所有物质的集合。令

M(x):x是金属， L(x):x是液体， D(x,y):x可以溶解在y中。

“任何金属都可以溶解在某种液体中” 可以符号化为?x(M(x)??y(L(y)?D(x,y)))。 (3) 论域和谓词与(2)同。“至少有一种金属可以溶解在所有液体中” 可以符号化为

?x(M(x)??y(L(y)?D(x,y)))。

(4) 取论域为所有事物的集合。令

M(x):x是人， J(x):x是职业， L(x,y):x喜欢y。

“每个人都有自己喜欢的职业” 可以符号化为?x(M(x)??y(J(y)?L(x,y))) (5)论域和谓词与(4)同。“有些

第一篇 数理逻辑

数理逻辑是应用数学方法引进一套符号系统来研究思维的形式结构和规律的学科，它起源于公元十七世纪。十九世纪英国的德·摩根和乔治·布尔发展了逻辑代数，二十世纪三十年代数理逻辑进入了成熟时期，基本内容（命题逻辑和谓词逻辑）有了明确的理论基础，成为数学的一个重要分支，同时也是电子元件设计和性质分析的工具。冯·诺意曼，图灵，克林，? 等人研究了逻辑与计算的关系。基于理论研究和实践，随着1946年第一台通用电子数字计算机的诞生和近代科学的发展，计算技术中提出了大量的逻辑问题，逻辑程序设计语言的研制，更促进了数理逻辑的发展。除古典二值（真，假）逻辑外，还研究了多值逻辑、模态逻辑、概率逻辑、模糊逻辑、非单调逻辑等。不仅有演绎逻辑，也还有归纳逻辑。计算机科学中还专门研究计算逻辑、程序逻辑、时序逻辑等。现代数理逻辑分为四论：证明论，递归论（它们与形式语言语法有关），模型论，公理化集合论（它们与形式语言的语义有关）。

第1-1章 命题逻辑

学习要求: 掌握命题，命题公式，重言式，等价式，蕴涵式等基本概念，能利用逻辑联结词或真值表，等价式与蕴涵式进行命题演算和推理；学习范式时与集合的范式进行对比。

表述客观世界的各种现象，表述人们的思想，表

第一篇 数理逻辑

数理逻辑是应用数学方法引进一套符号系统来研究思维的形式结构和规律的学科，它起源于公元十七世纪。十九世纪英国的德·摩根和乔治·布尔发展了逻辑代数，二十世纪三十年代数理逻辑进入了成熟时期，基本内容（命题逻辑和谓词逻辑）有了明确的理论基础，成为数学的一个重要分支，同时也是电子元件设计和性质分析的工具。冯·诺意曼，图灵，克林，? 等人研究了逻辑与计算的关系。基于理论研究和实践，随着1946年第一台通用电子数字计算机的诞生和近代科学的发展，计算技术中提出了大量的逻辑问题，逻辑程序设计语言的研制，更促进了数理逻辑的发展。除古典二值（真，假）逻辑外，还研究了多值逻辑、模态逻辑、概率逻辑、模糊逻辑、非单调逻辑等。不仅有演绎逻辑，也还有归纳逻辑。计算机科学中还专门研究计算逻辑、程序逻辑、时序逻辑等。现代数理逻辑分为四论：证明论，递归论（它们与形式语言语法有关），模型论，公理化集合论（它们与形式语言的语义有关）。

第1-1章 命题逻辑

学习要求: 掌握命题，命题公式，重言式，等价式，蕴涵式等基本概念，能利用逻辑联结词或真值表，等价式与蕴涵式进行命题演算和推理；学习范式时与集合的范式进行对比。

表述客观世界的各种现象，表述人们的思想，表

第2章一阶逻辑典型

习题

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收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 第二章 一阶逻辑

1. 用谓词表达式写出下列命题:

(1) 王文不是学生;

(2) 2是素数且是偶数;

(3) 若m 是奇数,则2m 不是奇数;

(4) 河北省南接河南省;

(5) 若2大于3.则2大于4.

解 (1) P(x)：x 是学生 a ：王文

于是（1）为：）（a P ?.K

(2 ) H(x)：x 是素数 M （x ）：x 是偶数 a ：2

于是（2）为：H （a ））（a M ∧

(3) R(x) ：x 是奇数

于是（3）为：R （m ））（m R 2?→.

(4) L(x,y) ：x 南接y c ：河北省 d ：河南省

于是（4）为L （c,d ）.

(5) S(x,y)：x 大于y a ：2 b ：3 c ：4

于是（5）为：S （a,b ））（c a S ,→.

说明 从语法上看，每个被视为命题的语句，是由主语和谓语两部分组成的。其中，主语是语句中的主动者，称为个体。谓语是用来表明主语的性质或用来说明几个主语之间的关系，称为谓词。

例如前例（1）中的“王文”，（4）中的“河北省”、“河南省”都是个体；

第一篇 数理逻辑

数理逻辑是应用数学方法引进一套符号系统来研究思维的形式结构和规律的学科，它起源于公元十七世纪。十九世纪英国的德·摩根和乔治·布尔发展了逻辑代数，二十世纪三十年代数理逻辑进入了成熟时期，基本内容（命题逻辑和谓词逻辑）有了明确的理论基础，成为数学的一个重要分支，同时也是电子元件设计和性质分析的工具。冯·诺意曼，图灵，克林，? 等人研究了逻辑与计算的关系。基于理论研究和实践，随着1946年第一台通用电子数字计算机的诞生和近代科学的发展，计算技术中提出了大量的逻辑问题，逻辑程序设计语言的研制，更促进了数理逻辑的发展。除古典二值（真，假）逻辑外，还研究了多值逻辑、模态逻辑、概率逻辑、模糊逻辑、非单调逻辑等。不仅有演绎逻辑，也还有归纳逻辑。计算机科学中还专门研究计算逻辑、程序逻辑、时序逻辑等。现代数理逻辑分为四论：证明论，递归论（它们与形式语言语法有关），模型论，公理化集合论（它们与形式语言的语义有关）。

第1-1章 命题逻辑

学习要求: 掌握命题，命题公式，重言式，等价式，蕴涵式等基本概念，能利用逻辑联结词或真值表，等价式与蕴涵式进行命题演算和推理；学习范式时与集合的范式进行对比。

表述客观世界的各种现象，表述人们的思想，表

班别： 姓名： 学号： 评分： ★ 离散数学第一第二次作业答案 ★

第1部分 命题逻辑

一、单项选择题

1．下列哪个语句是真命题（ ）。

(A) 我正在说谎 (B) 如果1+2 = 3，则雪是黑色的 (C)如果1+2 = 5，则雪是黑色的 (D)上网了吗 2．命题公式为P?(Q?P)（ ）。

(A)重言式 (B) 可满足式 (C)矛盾式 (D)等值式 3．设命题公式P?(Q??P)，记作G，则使G的真值指派为1的P，Q的取值是（ ）。

(A) (0,0) (B) (0,1) (C) (1,0) (D) (1,1)

4．与命题公式P?（Q?R）等值的公式是（ ）。 (A)(P?Q)?R (B)(P?Q)?R (C)(P?Q)?R (D)P?(Q?R) 5．命题公式(P?Q）?P是（ ）。

(A) 永真式 (B) 永假式 (C) 可满足式 (D) 合取范式 二、填空题

1．P，Q为两个命题，当且仅当 时，P?Q的真值