高等数学第二章导数和微分

第二章 导数与微分

【考试要求】

1．理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数．

2．会求曲线上一点处的切线方程与法线方程．

3．熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法．

4．掌握隐函数的求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法，会求分段函数的导数．

5．理解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数．

6．理解函数的微分概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分．

【考试内容】

一、导数

（一）导数的相关概念

1．函数在一点处的导数的定义

设函数y当自变量x在x0处取得增量?x（点?f(x)在点x0的某个邻域内有定义，

x0??x仍在该邻域内）时，相应的函数取得增量?y?f(x0??x)?f(x0)；如果

?y与?x之比当?x?0时的极限存在，则称函数y?f(x)在点x0处可导，并称这

个极限为函数y?f(x)在点x0处的导数，记为f?(x0)，即

f(x0??x)?f(x0)?y， f?(x0)?lim?lim?x?0?x?x?0?x也可记作y?x?x0，

dydxx?x0或

df(x)dxx?x0．

说明：导数的定义式可取不同的形式，常见的有

f(x0?

范文 范例 指导 参考

第二章 导数与微分

一、判断题

,其中x0是函数f(x)定义域内的一个点。 （ ） 1. f'(x0)??f(x0)?'

2. 若f(x)在x0处可导，则f(x)在x0处连续。

（ ）

3. 因为f(x)?x在x?0处连续，所以f(x)在x?0处可导。 （ ）

4. 因为f(x)?x在x?0处的左、右导数都存在，所以f(x)在x?0处可导。（ ） 5. f(x)在x0处可导的充要条件左、右导数存在且相等。 6. 若曲线y?f(x)在x0处存在切线，则f'(x0)必存在。

（ ） （ ）

7. 若f(x)在点x0处可导，则曲线f(x)在点x0处切线的斜率为f??x0?。（ ）

?cosx?sinx???sinx??????cotx。 8. ?tanx????cosx?sinx???cosx?? （ ）

??sinx??cosx??cosx??sinxsinx???9. ?tanx????sec2x。 ??2cosx?cosx?（ ）

10. 若f(x)，g(x)在x处均可导，则?f(x)g(x)???f(x)?g(x)?。 （

范文 范例 指导 参考

第二章 导数与微分

一、判断题

,其中x0是函数f(x)定义域内的一个点。 （ ） 1. f'(x0)??f(x0)?'

2. 若f(x)在x0处可导，则f(x)在x0处连续。

（ ）

3. 因为f(x)?x在x?0处连续，所以f(x)在x?0处可导。 （ ）

4. 因为f(x)?x在x?0处的左、右导数都存在，所以f(x)在x?0处可导。（ ） 5. f(x)在x0处可导的充要条件左、右导数存在且相等。 6. 若曲线y?f(x)在x0处存在切线，则f'(x0)必存在。

（ ） （ ）

7. 若f(x)在点x0处可导，则曲线f(x)在点x0处切线的斜率为f??x0?。（ ）

?cosx?sinx???sinx??????cotx。 8. ?tanx????cosx?sinx???cosx?? （ ）

??sinx??cosx??cosx??sinxsinx???9. ?tanx????sec2x。 ??2cosx?cosx?（ ）

10. 若f(x)，g(x)在x处均可导，则?f(x)g(x)???f(x)?g(x)?。 （

高等数学教案 第二章 导数与微分

第二章 导数与微分

教学目的：

1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。

2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 3、 了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。 4、 会求分段函数的导数。

5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。 教学重点：

1、导数和微分的概念与微分的关系；

2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则； 3、基本初等函数的导数公式； 4、高阶导数；

6、 隐函数和由参数方程确定的函数的导数。 教学难点：

1、复合函数的求导法则； 2、分段函数的导数； 3、反函数的导数

4、隐函数和由参数方程确定的导数。

§2. 1 导数概念 一、引例

第二章 导数与微分

数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学. 微分学与积分学统称为微积分学.

微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一.

恩格斯（1820-1895）曾指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”. 微积分的发展历史曲折跌宕，撼人心灵，是培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材（本部分内容详见光盘）.

积分的雏形可追溯到古希腊和我国魏晋时期，但微分概念直至16世纪才应运萌生. 本章及下一章将介绍一元函数微分学及其应用的内容.

第一节 导数概念

从15世纪初文艺复兴时期起，欧洲的工业、农业、航海事业与商贾贸易得到大规模的发展，形成了一个新的经济时代. 而十六世纪的欧洲，正处在资本主义萌芽时期，生产力得到了很大的发展. 生产实践的发展对自然科学提出了新的课题，迫切要求力学、天文学等基础科学的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动了数学的发展. 在各类学科对数学

第二章 导数与微分测试题

一、填空题

1.设一质点按s t sin2 wt 作直线运动，则质点在时刻t的速度v t =__________，加速度a t =__________________． 2.若f (xx0 h) f(x0 h)

0)

12

，则lim

f(h

．

h 0

3.若f(x) x(x 1)(x 2) (x 2012)，则f (0) ． 4.若f(x)

x(x 1)(x 2) (x 2012)，求f (0) ．

(x 1)(x 2) (x 2012)

5.设函数f(x) xex，则f (0) ．

6.曲线y x2 2x 8上点x轴，点x轴正向的交角为

4

．7.d e xdx．

8.设f(x) x2x，则f (x) ． 9.设y 3x ln2，则y ．

10.设f(x) exsinx，则它的图像在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为 二、选择题

1.在x 0处，连续但不可导的函数是 1

A.y x B.y (x 1)3 C.y lnx 1 D.y arctanx 2

第二章 导数与微分总结

一、导数与微分概念 1．导数的定义

设函数y?f?x?在点x0的某领域内有定义，自变量x在x0处有增量?x，相应地函数增量?y?f?x0??x??f?x0?。如果极限 limf?x0??x??f?x0??y ?lim?x?0?x?x?0?x，

存在，则称此极限值为函数f?x?在x0处的导数（也称微商），记作f??x0?，或y?x?x0dydf?x?，等，并称函数y?f?x?在点x0处可导。如果上面的极限不存在，

dxx?x0dxx?x0则称函数y?f?x?在点x0处不可导。

导数定义的另一等价形式，令x?x0??x，?x?x?x0，则

f??x0??limx?x0f?x??f?x0?

x?x0f?x??f?x0?f?x0??x??f?x0??lim? ?x?0x?x0?xf?x??f?x0?f?x0??x??f?x0??lim? ?x?0x?x0?x 我们也引进单侧导数概念。 右导数：f???x0??lim?x?x0 左导数：f???x0??lim?x?x0 则有

f?x?在点x0处可导?f?x?在点x0

第二部分 一元函数微分学

一、导数与微分

? 内容要点

一、导数与微分概念 二、导数与微分计算

? 典型例题

一、用导数定义求导数

例1 设f(x)?(x?a)g(x)，其中g(x)在x?a处连续，求f?(a) 解：f?(a)?limf(x)?f(a)x?a?lim(x?a)g(x)?0x?ax?0x?ax?a?g(a)

?1，求f(0),f?(0),f??(0)的值

? 例2 设f(x)在x=0处二阶可导，且lim（2005）

f(x)1?cosx二、分段函数在分段点处的可导性

例1 设函数

?x2,x?1f(x)??

ax?b,x?1?试确定a、b的值，使f(x)在点x?1处可导。

xe2n(x?1)例2 设f(x)?lim?ax?b?1n??en(x?1)，问a和b为何值时，f(x)可导，且求f?(x)

解：∵x?1时，limen??n(x?1)???， ?0

x?1时，limen??n(x?1)?x2,x?1，??a?b?1,x?1， ∴ f(x)??2?ax?b,x?1，??1

由x?1处连续性，limf(x)?limx?1，f(1)?x?1?2a?b?12x?1??1，可知a?b?1

再由x?1处可导性， f??(1)?

第二部分 一元函数微分学

一、导数与微分

? 内容要点

一、导数与微分概念 二、导数与微分计算

? 典型例题

一、用导数定义求导数

例1 设f(x)?(x?a)g(x)，其中g(x)在x?a处连续，求f?(a) 解：f?(a)?limf(x)?f(a)x?a?lim(x?a)g(x)?0x?ax?0x?ax?a?g(a)

?1，求f(0),f?(0),f??(0)的值

? 例2 设f(x)在x=0处二阶可导，且lim（2005）

f(x)1?cosx二、分段函数在分段点处的可导性

例1 设函数

?x2,x?1f(x)??

ax?b,x?1?试确定a、b的值，使f(x)在点x?1处可导。

xe2n(x?1)例2 设f(x)?lim?ax?b?1n??en(x?1)，问a和b为何值时，f(x)可导，且求f?(x)

解：∵x?1时，limen??n(x?1)???， ?0

x?1时，limen??n(x?1)?x2,x?1，??a?b?1,x?1， ∴ f(x)??2?ax?b,x?1，??1

由x?1处连续性，limf(x)?limx?1，f(1)?x?1?2a?b?12x?1??1，可知a?b?1

再由x?1处可导性， f??(1)?

第二章 导数与微分

重点：导数与微分的概念、关系、导数的几何意义、函数的可导性与连续性之间的关系、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则、基本初等函数的导数公式。

难点：隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数、对数求导法、一阶微分形式的不变性。

第一节 导数概念

1．填空题.

2??x, x?0（1） 已知f?x???，则 f?(0)= 0 .

2???x, x?01及x2?3的两点，作过这两点的割线，则抛物（2） 在抛物线y?x2上取横坐标为x1?`线y?x2上在点 (2, 4) 处的切线平行于这条割线.

（3） 已知f'(3)?2，则limh?0f?3??f?3?h?? 1 . 2h?x2, x?1b? -1 . （4）欲使函数使f?x??? 在x?1处可导，则 a? 2 ，?ax?b, x?12．选择题. （1）设y?f(x)在x?a处可导，则

x?0 lim'f?a?x??f?a?x??（ B ）

x''A. f(a)； B. 2f(a) ； C. 0 ； D. f(2a). （2）设 f(x)为可导