曲线上一点处的切线方程

曲线上一点处的切线执教者： 执教者：金志春常熟市梅李中学

1.什么叫做平均变化率 什么叫做平均变化率 一般地，函数 在区间[x 一般地，函数f(x)在区间 1,x2]上的平均变化率 在区间 上的平均变化率

曲线y=f(x) 上两点 曲线 几何意义： 几何意义： 连线的斜率。 连线的斜率。 平均变化率近似地刻画了曲线在某个区间上的 平均变化率近似地刻画了曲线在某个区间上的 近似地刻画了曲线在某个区间上 变化趋势

如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？ 如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？ 精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢

.P

如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？ 如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？

.P .P放大

.P .P

放大

.P

1)观察“点P附近的曲线”,随着图形放大，你看 )观察“ 附近的曲线” 随着图形放大， 附近的曲线 到了怎样的现象？ 到了怎样的现象？ 曲线有点像直线 2)这种现象下，这么一条特殊位置的曲线从其趋势 )这种现象下， 看几乎成了 直线 这种思维方式就叫做“逼近思想”。 这种思维方式就叫做“逼近思想”

P放大

P放大

P

P放大

P放大

P

从上面的图形来看： 1).曲线在点 P附近看上去几乎成了直线l 附近看

运用联想探究圆锥曲线的切线方程

现行人教版统编教材高中数学第二册上、第75页例题2，给出了经过圆x2?y2?r2上一点M(x0,y0)的切线方程为x0x?y0y?r2；当M(x0,y0)在圆外时，过M点引切线有且只有两条，过两切点的弦所在直线方程为x0x?y0y?r2。那么，在圆锥曲线中，又将如何？我们不妨进行几个联想。

联想一：（1）过椭圆x0xa2xa22?yb22?1(a?b?0)上一点M(x0,y0)切线方程为

xa22?y0yb2（2）当M(x0,y0)在椭圆?1；

x0xa2?yb22过M引切线有两条，?1的外部时，

过两切点的弦所在直线方程为：

xa22?y0yb2?1

2xa2证明：（1）?yb22?1的两边对x求导，得?2yy?b2?0，得y?x?x0??bx0ay022，由

点斜式得切线方程为y?y0??xa22bx0ay022(x?x0)，即

x0xa2?y0yb2?x0a22?y0b22?1 。

（2）设过椭圆?yb22?1(a?b?0)外一点M(x0,y0)引两条切线，切点分别

xxyy为A(x1,y1)、B(x2,y2)。由（1）可知过A、B两点的切线方程分别为：12?12?1、

abx1x0y1y0x2xy2yM(x,y)。又

利用导数求曲线的切线和公切线

一.求切线方程

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【例1】.已知曲线f(x)=x-2x+1.

(1)求在点P（1,0）处的切线l1的方程；

(2)求过点Q（2,1）与已知曲线f(x)相切的直线l2的方程.

提醒：注意是在某个点处还是过某个点！

二. 有关切线的条数

【例2】．（2014?北京）已知函数f（x）=2x3﹣3x．

（Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；

（Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围； （Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y=f（x）相切？（只需写出结论）

【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=2x3﹣3x得f′（x）=6x2﹣3， 令f′（x）=0得，x=﹣∵f（﹣2）=﹣10，f（﹣

或x=）=

， ，f（

）=﹣．

，f（1）=﹣1，

∴f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值为

（Ⅱ）设过点P（1，t）的直线与曲线y=f（x）相切于点（x0，y0）， 则y0=2

﹣3x0，且切线斜率为k=6

﹣3，

∴切线方程为y﹣y0=（6∴t﹣y0=（6

﹣3）（x﹣x0），

﹣6

+t+3=0，设g（x）=4x3﹣6x2+t+3，

﹣3）（1﹣x0），即4

则“过点

椭圆外一点引椭圆的两条切线互相垂直问题巧解

x2y2 问题： 已知椭圆c: 2?2?1(a?b?0)，点P（x0 ，y0)是椭圆外一点，且由点P引椭

ab圆的两条切线互相垂直，则点P（x0，y0）的轨迹方程为解：设两切点为A（x1，y1），B（x2，y2），

则pA?PB?0,即：（x1-x0）（x2-x0）+（y1-y0）（y2-y0）=0

22所以，x1x2?x0(x1?x2)?x0?y1y2?(y1?y2)?y0?0 (1)

22x0?y0?a2?b2。

由椭圆的切线、切点弦知识可得直线AB的方程为：将（2）代人椭圆c消去y得：

x0xy0y?2?1 (2) a2b?1b2x0?22b2x0b2??a2?a4y2??x?ay2x?y2?1?0

0?200?22a2b2x0a4b2?a4y0所以：x1?x2?22 (3) ,x1x2?2222bx0?a2y0bx0?a2y0将（2）代人椭圆c消去x得：

222a2y0a2?x01a2y02(2?42)y?22y??0 2bbx0bx0x0242a2b2yoa2b4?x0b所以：y1?y2?22 (4) ,yy?12222bx0?a2y0b2x0?a2y02222将（3）、（

篇一：少一点抱怨,多一点宁静

少一点抱怨，多一点宁静

姬建民

《 人民日报 》（ 2010年10月14日04 版）

不时耳闻目睹有些人心不平、气不顺、看不惯，怨这怨那，横挑鼻子竖挑眼。或怨风气不正，流弊盛行，造成人心不古；或怨社会不公，贫富不均，导致“端碗吃肉，撂碗骂娘”；或怨前途渺茫、际遇不顺，感到没有奔头；或怨提拔太慢、待遇不高，认为人生总是失意；或怨丈夫无能、妻子不贤、孩子无为等等。凡此种种，怨气十足，心情愤懑，火气很大，要么急火攻心，要么抑郁成疾，全无一点快乐与宁静。

平心而论，抱怨作为一种不满情绪的宣泄与调节，是可以理解的。人们不平则鸣、不满则怨，敢于畅所欲言，也体现了政治的清明、民主的发展。为政者或可从抱怨中洞悉民情民意，发现一些亟待解决的问题，采取必要的改进措施，不失为一件好事。

问题在于，倘若抱怨一旦成习成风，成为一种泛滥的负面情绪，不仅会给心灵蒙上阴影，而且也常常于事无补。一味抱怨，以貌似“正确”的眼光挑剔事物，但更多的却是否定态度，要么以偏概全、全盘否定，要么求全责备、推倒重来。抱怨虽反映了客观问题，但靠抱怨却解决不了问题。毕竟，“要照亮他人，自己身上要有光明；要点燃他人，自己身上要有火种。”

抱怨过后，还需走出抱怨，探索继续前行的道路

一阶线性微分方程教学中的一点体会

摘要：通过对一个一阶线性微分方程组的求解，既让学生能够掌握简单的一阶线性微分方程组求解方法，又可以让学生较好地体会到《线性代数》课程的重要性。

关键词：一阶线性微分方程组；特征值；特征向量；线性变换 中图分类号：g642.1 文献标志码：a 文章编号：1674-9324（2013）19-0168-01

本学期，由于课程设置的调整，部分新生第一学期就开始学习《线性代数》这门课程了。在和他们交谈的过程中，部分学生反映这门课程没有什么作用，内容上主要是一些具体的运算，比如：计算行列式的值，计算矩阵的和、积、逆，求方阵的特征值、特征向量以及将方阵对角化等等。好像与实际应用一点关联也没有。 事实上，《线性代数》是一门非常重要的课程，其在很多专业课程中都有广泛的应用，只是学生没有认识到这一点。因此，我们有必要选择一些较为合适的例题，通过这些例题的讲解，既能够让学生易于接受，又可以让学生认识到《线性代数》课程的重要性，从而更好地激发他们的学习热情。为此，在一阶线性微分方程的教学当中，可以通过下面这个例题的讲解来达到我们的目的。 例：求一阶线性微分方程组

■=-x1（t）+2x2（t）■=3x1（t）-2x2（t） （1）

那些躺在草地上发呆的孩子，那些在路上边走边聊的老人，那些享受慢生活的人，怎么都不见了呢？

舒马赫有一句话小，即美好。而我则认为：慢，则美好。无论出于感情或理性，我都十分支持这句话。

快，正在让城市的时间迅速消失，青春日渐凋零。我们空闲的日常生活越来越少。一个不懂得慢生活的人，无异于一架上了发条的机器。

爱上层楼，欣赏窗外景物的人没了，在苹果下树下发呆的人没了，放学路上踢石子的孩子都关在家里做作业了。

我们不再有属于自己的生活，我曾想收藏一架躺椅。它快成古董了吧？就像乡下的磨盘和犁具那样。

分秒之间的差距，令我们望而却步，不得不提高自己的速度，无休止的高速工作。

没人再把生活当成一种生活了，而是当成生”和活”了，当成一个绝不能输的比赛了。生活只能用赛车来形容，咻”地一下闪过，转眼就没影了，甚至连一阵风都没有留下，任由人们回望，自己却仍旧马不停蹄地跑着，直到永远。

快”编制的复杂和诡秘，让我们无端地疲作文劳着，也使得一切休息”都变得艰巨、可疑，近乎于无用。

由于太快，任何人都只能消费极小一部分的生活，无法从整体上参与它、拥有它。在无解的快”面前，生活是短暂的，所有的人都会感到恐惧。这是一个永

随着现代社会的发展，人们的步伐开始渐渐快了起来，最能体现这种现象的可就是北京了，车辆从三环堵到五环。人们的身体愈来愈疲惫，甚至没有时间用来吃早饭，全市各地的房价一路飙升，人们朝九晚五地工作，却怎么也开心不起来。当人们静下心来，扪心自问，顿觉恍惚，自己究竟在忙些什么？

从何时起，我们习惯了低头行走，脚步匆匆，不再留意眼前的美丽风景？

我们的生活富裕了，汽水饮料已不再能满足我们舌尖上的渴望，我们开始喝起了进口的葡萄酒，品起了国外的咖啡；我们开始认为什么东西都是国外的好，渐渐地不再走进中国的商店，而是托人代购；我们脱下了衬衫毛衣，换上了西装，戴上了领带。

你恳求上帝多给你一些光明，上帝不回答，反而笑着说：光明就在你眼前。你便加作文快脚步追逐光明，却和夸父一般饮干大河中的水，只能累死在途中。你看到什么了，光明？不，你看到的只是脚下的路，你何曾仔细欣赏过路旁比光明更耀眼的风景呢？

你不解，为什么我走得这么快，还是追不上光明？

有一个虚无却有力的声音在空中回荡：因为你走得太快了，快到模糊了路旁的风景，快到迷失了原来的路。

其实光明就在眼前，何须去追逐。你要试着停下脚步，转身，回头，细细观察，光明就在眼前，风景就在身边。

正如木心先生的《从前慢》中所写：从前的日色变得慢

　　 好久没写点东西了，越不写越觉得沒法写，越觉得不想写，也越觉得无话可说。真是一种怪现象啊，有些东西越攒越没有了，经常使唤着，却能生机焕发，一旦蹇涩，便觉无味，也懒得动脑更懒得动手。对以前的所做也有了一股涩涩的酸味，一种莫可名状的思绪便填满心头，让人久久难以拂去。

　　 下坡路好走，走着走着就堕落了；退堂鼓好敲，放任了自己就响叫了。走正道好难，对一个人来说，正路好象只有一条，而旁门左道、歪门邪道却很多。稍不谨慎便误入歧途，不能自拔。要改邪归正，拔乱反正却不容易，如吸烟上瘾、玩麻将贪迷。“慎于始”，需不时地检点自己，一旦有了苗头，就要严肃对待，及早调整，否则养小错成大过，积小恶成大恶，成几何倍数的增长，到后来便无可救药，滑入万丈深渊，就是神仙再来也无济于事啊！

　　 坚持是一种品质，是生命里最可贵的元素。无论小成绩还是大成功都是坚持结的硕果，不是一时冲动和偶然的脑热。聪明人不坚持，至多出出金点子，于自己毫无裨益；而愚笨人一直努力，不能说就能惊天动地，但一定能有所成就。――――这些话有些大，却是事实，任何事都这样。比如锻炼身体，三个月一小成三年一大成，是一种积累、一种潜移默化、一种在不知不觉中获得的成功。

　　 在我们生活的世界里，坚持是最美丽最实在

导数的应用一：求切线方程

一、选择题1．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于( )

A．1 C．3 [答案] D

[解析] y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′ ＝2(x＋1)·(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1， ∴y′|x＝1＝4.

2．(2014～2015·贵州湄潭中学高二期中)曲线f(x)＝xlnx在点x＝1处的切线方程为( ) A．y＝2x＋2 C．y＝x－1 [答案] C

[解析] ∵f ′(x)＝lnx＋1，∴f ′(1)＝1，

又f(1)＝0，∴在点x＝1处曲线f(x)的切线方程为y＝x－1.

13．设函数f(x)＝xm＋ax的导数为f ′(x)＝2x＋1，则数列{}(n∈N*)的前n项和是( )

f?n?nA. n＋1nC．

n－1[答案] A

[解析] ∵f(x)＝xm＋ax的导数为f ′(x)＝2x＋1， ∴m＝2，a＝1，∴f(x)＝x2＋x， ∴f(n)＝n2＋n＝n(n＋1)，

1

∴数列{}(n∈N*)的前n项和为：

f?n?

11?1111111

1－?＋?－?＋…＋?n－Sn＝＋＋＋…＋＝?2??23??n＋1? 1×22×33×4n?n＋1??1n

＝1－＝，