含有绝对值的不等式教案选修4-5

上海鸿文职业高级中学教案

解集的错误.

不等式 的教学 目标.

【练习】解下列不等式：1 (1) x 5 ; 2

让同学在下面自己做一 下

(2) x 7 解：画出数轴

1 1 (1) x 5 x 5 2 2 (2) x x 7或x 7 【设问】如果在 x 2 中的 x 换成 x 5 ,也就是

在将x 5

看成一 个整体 的关键

x 5 2 怎样解？【点拨】 可以把 x 5 看成一个整体， 也就是把 x 5 看成 x ,按照 x 2 的解法来解.

处点 拨、启 发，使

x 5 2 2 x 5 2 3 x 7

学生主 动地进 行练 习.

所以，原不等式的解集是

x

3 x 7

【设问】如果 x 2 中的 x 是 3 x +1 ,也就是

继续强 化将3 x +1

3x+1 2 怎样解？【点拨】 可以把 3 x +1 看成一个整体， 也就是把 3 x +1 看成 x ,按照 3x+1 2 的解法来解.

看成一 个整体 继续强

3x+1 23 x +1 2 ,或 3x +1 2 ,

化解不 等式

3x+1 2时不要 犯3x +1 2

由 3 x +1

第一讲绝对值不等式回顾

一、思维导图

二.例题

例1 已知190,01x y x y

>>+=，，求x y +的最小值. 【知识点】基本不等式

【解答过程】因为190,01x y x y >>+=，，所以199()1()()10y x x y x y x y x y x y

+=+?=++=++ 1016≥+=，当且仅当

9y x x y =，即4,12x y ==时，等号成立. 【思路点拨】在用基本不等式求最值时，“正数”“相等”等条件往往容易从题设中获得或验证，而“定值”则需要一定的技巧和方法.常用的方法有“加－项、减－项”“配系数”“拆项法”“1的代换”等.

【答案】16

例2 解不等式|1||2|3x x x -+->+.

【知识点】含绝对值不等式的解法

【数学思想】零点分段法

【解答过程】解：令|1|0x -=，得1x =；令|2|0x -=，得2x =.

这样，1，2的对应点把数轴分成了三个部分.

(1)当1x <时，10x -<，20x ->，

所以原不等式变为123x x x -+->+，解得0x <.所以0x <.

(2)当12x ≤≤时，10x -≥，20x -≥，

所以原不等式变为123x x x -+->+，解得2x <-.所以无解.

(3)当2x >时，10x ->，20x -<，

所以原

不等式选讲（选修4-5）

目 录

(5．0不等式的性质…………………………………) 5．1含有绝对值的不等式……………………………1 5．2不等式的证明……………………………………9 5．3几个重要的不等式………………………………21 5．4数学归纳法………………………………………30 5．5不等式的简单应用………………………………38

小结与复习………………………………………48 复习参考题………………………………………52

1

导言：

不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。《列子?汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。

本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等

高中数学教案 第一章 集合与简易逻辑

1.4 绝对值不等式的解法

一、复习引入

1、什么叫不等式？什么叫不等式组的解集？

2、初中已学过的不等式的三条基本性质是什么？你能用汉语语言叙述这三条性质吗？

3、实数的绝对值是如何定义的？几何意义是什么？ 绝对值的定义：

|a|的几何意义： |x－a|(a≥0)的几何意义：

实例：按商品质量规定，商店出售的标明500g的袋装食盐，按商品质量规定，其实际数与所标数相差不能超过5g，设实际数是xg，那么，x应满足怎样的数量关系呢？能不能用绝对值来表示？ 二、讲解新课：

1．x?a(a?0)与x?a(a?0)型的不等式的解法

Teacherli 第 1 页 2013-4-11

高中数学教案 第一章 集合与简易逻辑

2．ax?b?c,与ax?b?c(c?0)型的不等式的解法

三、讲解范例：

例1、（1）解不等式x?500?5.（2）解不等式2x?5?7

例2、求使3?x有意义的取值范围

2x?1?4

例3、解不等式 1? | 2x－1 | < 5.

例4、解

绝对值不等式

解绝对值不等式

1.不等式x?1?x?3≥0的解集是 ．[1,??)．

x?1?x?3≥0 ?x?1≥x?3?(x?1)2≥(x?3)2?x≥1

2.对于x?R，不等式x?10?x?2?8的解集为_______ 答案：{xx?0} 解析：两种方法，方法一：分三段，

（1）当x??10时，不等式为(?x?10)?(2?x)?8，此时不等式无解； （2）当?10?x?2时，不等式为(x?10)?(2?x)?8，解得：0?x?2 （3）当x?2时，不等式为(x?10)?(x?2)?8，解得：x?2

x?0 综上：方法二：用绝对值的几何意义，可以看成到两点?10和2的距离差大于等于8的所有点的集合，画出数轴线，找到0到

?10的距离为d1?10，到2的距离为d2?2，d1?d2?8，并当x往右移动，距离差会大于8，所以满足条件的x的

范围是x?0. 3.x?|2x?1|?3．

11??141?x??x?解：原不等式可以化为?2，或?2，解得?x?或?2?x?

232??3x?41?x?3??综合得：?2?x?4?，所

2020届高考数学例解绝对值不等式

例1 解不等式2321-->+x x

分析：解含有绝对值的不等式，通常是利用绝对值概念?

??<-≥=)0()0(a a a a a ，将不等式中的绝对符号去掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式〔组〕，再去求解．去绝对值符号的关键是找零点〔使绝对值等于零的那个数所对应的点〕，将数轴分成假设干段，然后从左向右逐段讨论．

解：令01=+x ，∴ 1-=x ，令032=-x ，∴2

3=x ，如下图． 〔1〕当1-≤x 时原不等式化为2)32()1(--->+-x x

∴2>x 与条件矛盾，无解．

〔2〕当2

31≤

<-x 时，原不等式化为2)32(1--->+x x ． ∴ 0>x ，故230≤

3>x 时，原不等式化为 2321-->+x x ．∴6

60<

讲明：要注意找零点去绝对值符号最好画数轴，零点分段，然后从左向右逐段讨论，如此做条理分明、不重不漏． 典型例题二

例2 求使不等式a x x <-+-34有解的a 的取值范畴．

分析：此题假设用讨论法，能够求解，但过程较繁；用绝对值的几何意义去求解十分简便．

解法一：将数轴分为(]),4(],4,3[,3,+∞∞-三个区间

当3<-+-有解的条件为327<-a ，即1>a ；

当43≤≤x 时，得a x x <-+-)3()4(，即1>a ；

当4>x 时，得a x x <-+-)3()4(，即27

+<

a x ，有解的条件为42

7>+a ∴1>a ． 以上三种情形中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为1>a ．

解法二：设数x ，3，4在数轴上对应的点分不为P

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

教材： 绝对值不等式与一元二次不等式练习课

目的： 通过练习逐步做到能较熟练掌握上述两类不等式的解法。 过程：

一、复习：绝对值不等式与一元二次不等式的复习。 二、例题：

例1、解不等式 2?1?3?5x3?5x?2和② 1???2 4497解①：x?? 解②： x?

557979∴原不等式的解集是{x|x?? }∪{x|x?}={x|x??或x?}

55552?5x15?? 例2、解不等式 34652?5x15解：原不等式可化为：???? ??10??20x?11?10

6346121121 ∴ ∴原不等式的解集是{x| } ?x??x?202020203?5x4

解：原不等式可化为：① 1?

5?2?5x1????46（略） 或解：原不等式化为 ?32?5x15???346?例3、解关于x的不等式 2x?3?1?a (a?R)

解：原不等式可化为：2x?3?a?1

当 a+1>0 即a>?1时 ?(a+1)<2x+3?1时 原不等式的解集是 {x|?当a≤?1时 解集为?

例4、解不等式 2?1?4x?7

解一：原不等式可化为：2?4x?1?7

13?x??或x??4x?1?2?44 ??3?x??1或3?x?2 ? ???3244????x?

教材： 绝对值不等式与一元二次不等式练习课

目的： 通过练习逐步做到能较熟练掌握上述两类不等式的解法。 过程：

一、复习：绝对值不等式与一元二次不等式的复习。 二、例题：

例1、解不等式 2?1?3?5x3?5x?2和② 1???2 4497解①：x?? 解②： x?

557979∴原不等式的解集是{x|x?? }∪{x|x?}={x|x??或x?}

55552?5x15?? 例2、解不等式 34652?5x15解：原不等式可化为：???? ??10??20x?11?10

6346121121 ∴ ∴原不等式的解集是{x| } ?x??x?202020203?5x4

解：原不等式可化为：① 1?

5?2?5x1????46（略） 或解：原不等式化为 ?32?5x15???346?例3、解关于x的不等式 2x?3?1?a (a?R)

解：原不等式可化为：2x?3?a?1

当 a+1>0 即a>?1时 ?(a+1)<2x+3?1时 原不等式的解集是 {x|?当a≤?1时 解集为?

例4、解不等式 2?1?4x?7

解一：原不等式可化为：2?4x?1?7

13?x??或x??4x?1?2?44 ??3?x??1或3?x?2 ? ???3244????x?

学业分层测评（三）

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．已知正数x ，y ，z ，且x ＋y ＋z ＝6，则lg x ＋lg y ＋lg z 的取值范围是( )

A ．(－∞，lg 6]

B ．(－∞，3lg 2]

C ．[lg 6，＋∞) D.[3lg 2，＋∞)

【解析】 ∵6＝x ＋y ＋z ≥33xyz ，

∴xyz ≤8.

∴lg x ＋lg y ＋lg z

＝lg(xyz )≤lg 8＝3lg 2.

【答案】 B

2．已知x ∈R ＋，有不等式：x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥33x 2·x 2·4x 2＝

3，….启发我们可能推广结论为：x ＋a x n ≥n ＋1(n ∈N ＋)，则a 的值为( )

A ．n n

B ．2n

C ．n 2

D ．2n ＋1

【解析】 x ＋a x n ＝

＋a x n ，要使和式的积为定值，则必须n n ＝a ，故选A.

【答案】 A

3．设0

A.18 B ．1 C.3183 D.427

【解析】 ∵0

∴0<1－x <1，

∴x (1－x )2＝12·2x ·(1－x )·(1－x )

≤12??????2x ＋(1－x )＋(1－x )33＝427

. 当且