高中数学椭圆的简单几何性质

1 椭圆的简单的几何性质（1）

一、选择题

1．如果方程x 2a 2＋y 2

a ＋6

＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( ) A ．(3，＋∞)

B ．(－∞，－2)

C ．(3，＋∞)∪(－∞，－2)

D ．(3，＋∞)∪(－6，－2) [答案] D

[解析] 由于椭圆的焦点在x 轴上，所以????? a 2>a ＋6，a ＋6>0，即????? a ＋a －，a >－6.解得a >3或－6

2．若焦点在y 轴上的椭圆x 2m ＋y 22＝1的离心率为12

，则m 的值为( ) A ．1

B ．32 C. 3

D ．83

[答案] B [解析] 由题意得a 2＝2，b 2＝m ，∴c 2＝2－m ，又c a ＝12，∴2－m 2

＝12，∴m ＝32. 3．椭圆C 1：x 225＋y 29＝1和椭圆C 2：x 29－k ＋y 2

25－k

＝1 (0

B ．相等的焦距

C ．相等的离心率

D ．等长的短轴 [答案] B

4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33

，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )

A.x 2

2.1.2 椭圆的简单几何性质

第1课时 椭圆的简单几何性质

(教师用书独具)

●三维目标 1.知识与技能

掌握椭圆的简单几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义，明确其相互关系． 2．过程与方法

能够画出椭圆的图形，会利用椭圆的几何性质解决相关的简单问题． 3．情感、态度与价值观

从离心率大小变化对椭圆形状的影响，体现数形结合，体会数学的对称美、和谐美． ●重点、难点

重点：由标准方程分析出椭圆几何性质． 难点：椭圆离心率几何意义的导入和理解．

对重难点的处理：为了突出重点，突破难点，应做好①让学生自主探索新知，②重难点之处进行反复分析，③及时巩固

(教师用书独具)

●教学建议

根据教学内容并结合学生所具备的逻辑思维能力，为了体现学生的主体地位，遵循学生的认知规律，宜采用这样的教学方法：启发式讲解，互动式讨论，研究式探索，反馈式评价．

●教学流程

创设问题情境，引出问题：椭圆有哪些简单几何性质？

?

引导学生结合椭圆的图形，观察、比较、分析，导出焦点在x轴上的椭圆的简单几何性质.?

引导学生类比导出焦点在y轴上椭圆的简单几何性质.

???

通过例1及其互动探究，使学生掌握已知椭圆方程求几何性质的方法.通过例2及其变式训练，使学生掌握由椭圆的

椭圆（1）

1 椭圆的一个顶点为A?2，0?，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．

2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．

3 已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线x?y?1?0交于A、B两点，M为

AB中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．

x2y?9???1上不同三点A?x1，y1?，B?4，?，C?x2，y2?与焦点F?4，0?的距离4椭圆

259?5?成等差数列．

（1）求证x1?x2?8；

（2）若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k．

2x2y??1，F1、F2为两焦点，问能否在椭5 已知椭圆

43圆上找一点M，使M到左准线的距离是与的等比中项？若存在，则求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

1 / 5

2

6 已知椭圆，求过点且被平分的弦所在的直线方程．

7 求适合条件的椭圆的标准方程．

（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点；

（2）在轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6．

8 椭圆的右焦点为，过点，点在椭圆上，当为最小值时，求点的坐标．

9 求椭圆上的点到直线的距离的最小值．

椭圆的简单几何性质

《椭圆的简单几何性质》教学

一. 教材分析

1. 教材的地位和作用

本节课是普通高中课程标准实验教科书数学选修1-1第二章2.1.2第1课时：椭圆的简单几何性质。

在此之前，学生已经掌握了椭圆的定义及其标准方程，这只是单纯地通过曲线建立方程的探究。而这节课是结合椭圆图形发现几何性质,再利用椭圆的方程探讨椭圆的几何性质,是数与形的完美结合，让学生在了解如何用曲线的方程研究曲线的性质的基础上，充分认识到“由数到形，由形到数”的转化，体会了数与形的辨证统一，也从中体验了学数学的乐趣，受到了数学文化熏陶，为后继研究解析几何中其它曲线的几何性质奠定了重要基础。

2. 教材的内容安排和处理

本课为“椭圆的简单几何性质”这部分内容的第一课时，主要介绍椭圆的简单几何性质及其初步运用，在解析几何中，利用曲线的方程讨论曲线的几何性质对学生来说是第一次，因此可根据学生实际情况及认知特点，改变了教材中原有研究顺序，引导学生先从观察课前预习所作的具体图形入手，按照通过图形先发现性质，在利用方程去说明性质的研究思路，循序渐近进行探究。在教学中不仅要注重对椭圆几何性质的理解和运用，而且更应重视对学生进行这种研究方法的思想渗透，通过教师合理的情境创设，师

数学

数学

标准方程 范围 对称性 顶点坐标

x2 y 2 2 1(a b 0) 2 a b

x2 y 2 2 1(a b 0) 2 b a

|x|≤ a,|y|≤ b关于x轴、y轴成轴对称； 关于原点成中心对称

|x|≤ b,|y|≤ a 同前 (b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c) 同前 同前

焦点坐标半轴长 a、b、c的关 系

(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) 长半轴长为a,短半 轴长为b. a>b

a2=b2+c2

数学

如下图，观察不同的椭圆，我们发现，椭圆的扁平程 度不一，在图1中你能发现a、b、c发生怎样的变化呢？

离心率

图1

c 椭圆的焦距与长轴长的比：e a

叫做椭圆的离心率。

数学

练习:比较下列每组中椭圆的形状，哪一个更圆， 哪一个更扁？为什么？(即课本P48《练习》5.)

答案： 2 2 x y 2 2 (1)椭圆 1更圆, 椭圆9 x y 36更扁. 16 12 2 2 x y 2 2 (2)椭圆 1更圆, 椭圆 x 9 y 36更扁. 6 10

x y 1; (1) 9 x

选修２—１ 2.2.2 椭圆的简单几何性质（教案）

（第1课时）

【教学目标】

1．掌握椭圆的几何图形、椭圆的范围、对称性、顶点的几何性质；

2．掌握标准方程中的a、b、c的几何意义，会用代数的方法来研究曲线的几何性质． 【重点】

椭圆的几何性质． 【难点】

如何用代数方法去研究椭圆的几何性质．

【预习提纲】

（根据以下提纲，预习教材第43页～第46页） 1．完成下表 标准方程 xa22?yb22?1?a?b?0? xb22?ya22?1?a?b?0? yPyPF2OF1 图形 焦点 焦距 性 质 范围 对称性 顶点 长短轴 a、b、c的关系 【基础练习】 ?a?x?a,?b?y?b F1OF2xxF1(?c,0),F2(c,0) 2c F1(0,?c),F(0,c) ?b?x?b,?a?y?a 关于两坐标轴和坐标原点对称 (?a,0),(0,?b) (?b,0),(0,?a) 长轴长：2a；短轴长：2b． a2?b?c 22 1．经过点Ｐ（－３，０）、Ｑ（０，－２）的椭圆的标准方程为

x29?y24?1．

1

2．椭圆

xa22?y

选修２—１ 2.2.2 椭圆的简单几何性质（教案）

（第1课时）

【教学目标】

1．掌握椭圆的几何图形、椭圆的范围、对称性、顶点的几何性质；

2．掌握标准方程中的a、b、c的几何意义，会用代数的方法来研究曲线的几何性质． 【重点】

椭圆的几何性质． 【难点】

如何用代数方法去研究椭圆的几何性质．

【预习提纲】

（根据以下提纲，预习教材第43页～第46页） 1．完成下表 标准方程 xa22?yb22?1?a?b?0? xb22?ya22?1?a?b?0? yPyPF2OF1 图形 焦点 焦距 性 质 范围 对称性 顶点 长短轴 a、b、c的关系 【基础练习】 ?a?x?a,?b?y?b F1OF2xxF1(?c,0),F2(c,0) 2c F1(0,?c),F(0,c) ?b?x?b,?a?y?a 关于两坐标轴和坐标原点对称 (?a,0),(0,?b) (?b,0),(0,?a) 长轴长：2a；短轴长：2b． a2?b?c 22 1．经过点Ｐ（－３，０）、Ｑ（０，－２）的椭圆的标准方程为

x29?y24?1．

1

2．椭圆

xa22?y

精编文档 两个不同的交点 A ，B ．（Ⅰ）求椭圆 M 的方程；（Ⅰ）若 k=1，求|AB| 的最大值； （I ）求直线 FM 的斜率； （II ） 求椭圆的方程；

1.已知椭圆 a >b >0）的离心率为 ，焦距为 2 ．斜率为 k 的直线 l 与椭圆 M 有 2 x

2.设椭圆 E 的方程为 2 a 2 2 y

b 2 1a b 0 ，点O 为坐标原点，点 A 的坐标为 a ，0 ，点B 的坐标为 0，b ，点

M 在线段 AB 上，满足

BM 2 MA ，直线 OM 的斜率为 5 10

I ）求 E 的离心率 e ；

II ）设点 C 的坐标为

0， b ， N 为线段 AC 的中点，点 N 关于直线 AB 的对称点的纵坐标为 7 ，求 E 的方程 . 2

22

3. 已知椭圆 x 2 + y 2 =1(a b 0) 的左焦点为 F( ab c,0） ,离心率为 ，点 M 在椭圆上且位于第一象限，直线 FM

被圆 x 2 +y 2

b 4 b 截得的线段的长为 4

c ， |FM|= 4 3 3

精编文档

>0）．（1）证明： k <﹣ ；

2）设 F 为 C 的右焦点， P 为C 上一点，且 + + = ，证明： 2| |=| |+| |． I

XX教育，让每个孩子更优秀!

XX教育学科教师辅导讲义

组长签字：

金色前程 始于博学 金色梦想 全力拼搏

1

x

F 1

F 2

o y

P A 2

B 2B 1

A 1

一、导入目录

椭圆是一个动点到两个定点之和等于定长的点的轨迹.

即：)(,221是定值a a PF PF =-

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

二、课前自主学习

椭圆的画法与椭圆的一般解析式：

)0(12

2

2

2a b b

y a x <<=+

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

三、知识梳理+经典例题

椭圆及其标准方程

? 1．椭圆的定义

在平面内与两定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于F F 12)的点的轨迹叫椭圆． 这两定点叫做椭圆的焦点， 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 点P 满足2MF MF a +=12，其中F F c =122，a ，c 为正常数

(1)若______，则点P 的轨迹为椭圆；(2)若______，则点P 的轨迹为线段；(3)若______，则点P 的轨迹不存在．

练习：1

▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌

▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓ ●教学目标

1.掌握双曲线的几何性质

2.能通过双曲线的标准方程确定双曲线的顶点、实虚半轴、焦点、离心率、渐近线方程. ●教学重点

双曲线的几何性质

●教学难点

双曲线的渐近线 ●教学方法

学导式

●教具准备

幻灯片、三角板

●教学过程

I.复习回顾：

师：上一节，我们学习了双曲线的标准方程，这一节，我们要根据它来研究双曲线的几何性质.同学们可以按照研究椭圆几何性质的方法和步骤，自己推出双曲线的几何性质，然后与课文对照，所以，我们来回顾一下研究椭圆的几何性质的方法与步骤.（略） II.讲授新课：

1.范围：

双曲线在不等式x ≥a 与x ≤－a 所表示的区域内

2.对称性：

双曲线关于每个坐标轴和原点都对称，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫双曲线中心.

3.顶点：

双曲线和它的对称轴有两个交点A 1(－a ,0)、A 2(a ,0)，它们叫做双曲线的顶

点.

线段A 1A 2叫双曲线的实轴，它的长等于2a ,a 叫做双曲线