小学数学分析法和综合法

2 . 2

直接证明与间接证明 2.2.1 综合法与分析法

综合法和分析法

综合法

分析法

定义

利用 已知条件 和某 从要证明的 结论出发 ， 些数 逐步寻求使它成立 充分条件 ，直至最 学 公理 、 定义 、 的 后，把要证明的结论归结 定理 等，经过一 系列的 推理论证 ， 为判定一个明显成立的条 件(已知条件、 最后推导出所要证明 定义、公理 等),这种证 的结论成立，这种证 定理、 明方法叫做综合法 明方法叫做分析法

综合法

分析法

框图 表示(P表示 已知条件 、已有的 定义、公理、定理 等， Q表示所要证明的结论 ) 特点 顺推证法或由因导果法 逆推证法或执果索因法

[例 1] +b+c).

1 2 已知 a, b, c>0.求证： a +b +c ≥ (a +b2+c2)(a 33 3 3

[分析] 不等式中的a,b,c为对称的，所以 从基本的不等式定理入手，先考虑两个正数 的均值定理，再根据不等式的性质推导出证 明的结论.

[证明] ∵a2+b2≥2ab,a>0,b>0, ∴(a2+b2)(a+b)≥2ab(a+b). ∴a3+b3+a2b+ab2≥2ab(a+b)=2a2b+2ab2. ∴a3+b3≥a2b+ab2. 同理：b3+c3≥

§2.2.1综合法与分析法

曹县一中 杨玉啟

一、学习目标

（一）知识与技能目标

1. 了解直接证明的两种基本方法：分析法、综合法 2. 了解综合法和分析法的思维过程和特点

（二）过程与方法目标

1. 通过对实例的分析、归纳与总结的过程，发展学生的理性思维能力。

2. 通过实际演练，使学生体会证明的必要性，并发展他们的分析问题、解决问题的能力。

（三）情感、态度与价值观目标

通过本节课的学习，正确认识综合法和分析法在证明过程中的重要作用，养成勤于观察、认真思考的数学品质和言之有理、论证有据的思维习惯，正确认识与理解综合法和分析法的关系，及辩证分析问题的观点。

二、学习重点、难点

重点：分析法与综合法的思维过程及特点 难点：分析法与综合法的应用

三、学习过程

（一）知识链接

问题1. 由 1+3=4=2 1+3+5=9=3 1+3+5+7=16=4 1+3+5+7+9=25=5 …………….

猜想： 1+3+5+7+…+(2n-1)=n

上面运用的是哪一种推理？结论正确吗？如何验证你的判断

2．2.1 综合法与分析法

教材分析 《直接证明与间接证明》是在学习了推理方法的基础上学习的，研究的是如何正确利用演绎推理来证明问题．本节课是《直接证明与间接证明》的第一节，主要介绍了两种证明方法的定义和逻辑特点，并引导学生比较两种证明方法的优点，进而灵活选择证明方法，规范证明步骤．本节课的学习需要学生具有一定的认知基础，应尽量选择学生熟悉的例子．

教学目标 1．知识与技能目标

(1)了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法． (2)了解分析法和综合法的思维过程和特点． 2．过程与方法目标

(1)通过对实例的分析、归纳与总结，增强学生的理性思维能力．

(2)通过实际演练，使学生体会证明的必要性，并增强他们分析问题、解决问题的能力． 3．情感、态度及价值观 通过本节课的学习，了解直接证明的两种基本方法，感受逻辑证明在数学及日常生活中的作用，养成言之有理、论之有据的好习惯，提高学生的思维能力．

重点难点

重点：分析法和综合法的思维过程及特点． 难点：分析法和综合法的应用．

教学过程

创设情境、引入新课

提出问题1：前面我们学习了两种重要的推理方法，请同学们回忆，我们学习了什么推理方法，它们各自的特点和作用各是什

证明不等式的基本方法

一、比较法比较法是证明不等式最基本的方法也是最常用的方法。 ①作差法：a b a b 0,a b a b 0;

a a 当b 0时,a b 1,a b 1; ②作商法： b b

1、作差法作差变形

判断 (与？比较大小)

下结论

2、作商法作商 变形 判定 (与？比较大小) 下结论

例1、求证： x 3 3x2

例2、 已 知 a , b, m 都 是 正 数 ， 并 且 a b, 求 证 ： a m a b m b

例3、 已 知 a , b是 正 数 ， 且 a b, 求 证 ： a b a b ab3 3 2 2

二、综合法与分析法综合法

从已知条件出发,利用定义、定理、公理、 性质等,经过一系列的推理、论证而得出命 题成立,这种证明方法叫做综合 法.由叫顺 推证法或由因导果法 则综合法用框图表示为:P Q1Q1 Q 2Q2 Q3

…

Qn Q

问题： 已知a、b、c > 0,且不全相等，求证 a(b + c )+ b(c + a )+ c(a + b ) > 6abc2 2 2 2 2 2

问题： 已知a1 ,a 2 , a

不等式证明一（比较法）

比较法是证明不等式的一种最重要最基本的方法。比较法分为：作差法和作商法 一、 作差法w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

若a，b∈R，则： a－b＞0?a＞b；a－b＝0?a＝b；a－b＜0?a＜b 它的三个步骤：作差——变形——判断符号（与零的大小）——结论.

作差法是当要证的不等式两边为代数和形式时，通过作差把定量比较左右的大小转化为定性判定左—右的符号，从而降低了问题的难度。作差是化归，变形是手段，变形的过程是因式分解（和差化积）或配方，把差式变形为若干因子的乘积或若干个完全平方的和，进而判定其符号，得出结论.

例1、求证：x2 + 3 > 3x

证：∵(x2 + 3) ? 3x = x?3x?()?()?3?(x?)? ∴x2 + 3 > 3x

例2、 （课本P22例2）已知a, b, m都是正数，并且a < b，求证：

23223223223?0 4a?ma? b?mb 证：

a?mab(a?m)?a(b?m)m(b?a)??? b?mbb(b?m)b(b?m)∵a,b,m都是正数，并且a 0 , b ? a > 0 ∴

a?mam(b?a)? ?0 即：b?mbb(b?m)

【成才之路】2015-2016学年高中数学 2.2.1综合法与分析法练习

新人教A 版选修2-2

一、选择题

1．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．不确定 [答案] B

[解析] 由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，所以，sin(B ＋C )＝sin 2A ，∴sin A

＝sin 2A ，而sin A >0，∴sin A ＝1，A ＝π2

，所以△ABC 是直角三角形． 2．(2015·长春外国语学校高二期中)若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系是( )

A ．P >Q

B ．P ＝Q

C ．P

D ．由a 的取值确定 [答案] C

[解析] 取a ＝1得P ＝1＋8<4，Q ＝2＋5>4，

∴P

证明如下：要证P

只要证2a ＋7＋2a a ＋7 <2a ＋7＋2 a ＋3 a ＋4 ，

只要证a 2＋7a

只要证0<12，

∵0<12成立，∴P

3．若a 、b 、c ∈R ，且ab ＋bc ＋ca ＝1，则下列不等式成立的是( )

A ．a 2＋b 2＋c 2≥2

B ．(

▇ ▇ 数学分析

《数学分析Ⅰ》第2讲 教学内容：实数系的连续性

第二章 数列极限

§2.1实数系的连续性

一． 实数系的产生（历史沿革）

从人类历史的开始，人类就逐步认识了自然数，1，2，3，?，n，?

自然数集 整数集 有理数集 实数集

解决的减法解决对除法?????????? ? 的封闭性的封闭性解决对开方?????的封闭性? ? ?

对加法封闭 对加减乘封闭 对加减乘除封闭 对减法不封闭 对除法不封闭 对开方不封闭

2000多年前，毕达哥拉斯学派认为：有理数集是最完美的数集；世界上的万事万物都可以用有理数表示。

但是，毕达哥拉斯的一个“叛逆”的学生，发现了边界为1的正方形的对角线长度不是一个有理数，即

数轴上点c不是一个有理数点。

例2.1.1设c?2，试证明：c不是一个有理数。

2p，则q222p2?c2q2?2q2，所以2|p，不妨设p?2p1，故(2p1)?2q，所以2p1?q， 所以2|q，记q?2q1，即p?2p1，q?2q1，这与 (p,q)

《数学分析Ⅱ》期中考试题

一、选择题（每小题3分，共30分）

1、曲线2x2 +3y2 + z2 =9, z2 =3x2 + y2 在点 ( 1, -1, 2 )的法平面方程是（ 1 ）

A、8x+10y+7z-12=0； B、8x+10y+7z+12=0；C、8x -10y+7z-12=0； D、8x+10y+7z+12=0 2、L为单位圆周，则

??Lyds?（ 4 ）

A、1 B、2 C、3 D、4 3、L为从( 1, 1, 1 )到( 2, 3, 4 )的直线段，则

?Lzdx?xdz= （ 3 ）

A、3 B、5 C、7 D、9 4、

??x?y?13?x?y?dxdy=（ 2 ）

A、2 B、4 C、6 D、8 5、

?0?12dy?21?y1?x0f(x,y)dx，改变积分顺序得（ 1 ） f(x,y)dy B、?dx?121?x?11?x?1A、C、

??12dx?dx?f(x,y)dy f(x,y)dy

1?x01f(x,y)dy D、?dx?126、V=[-2, 5]?[

第十三章 函数项级数 应用题

第十三章

函数项级数 计算题

1．设S(x)=?ne?nx x>0，计算积分?ln3ln2S(t)dt

2．.判断级数?(?1)nxnn1?xn(x>0)的敛散性.

第十三章 函数项级数 计算题答案

1．?ne?nx在[ln2,ln3]上连续且一致收敛

?它在[ln2,ln3]可逐积分 (得4分)

??ln3?s(t)dt?ln3ne?nxdxln2?? (得6分)

n?1ln2? =?[(1)n?(1)n23]?1?1?1 (得8分)

n?11?121?12 32． 对交错级数?(?1)nn 由莱布尼兹判别法知它收敛 (得3分)

而

xn1?xn 当x>1时,单增有界 ; x=1时,值为

12 ; 当x<1时,单降为界 (得6分)

故由阿贝尔判别法知?(?1)nxnnn收敛

光学分析法是利用待测定组分所显示出的吸收光谱或发射光谱，既包括原子光谱也包括分子光谱。利用被测定组分中的分子所产生的吸收光谱的分析方法，即通常所说的可见与紫外分光光度法、红外光谱法；利用其发射光谱的分析方法，常见的有荧光光度法。利用被测定组分中的原子吸收光谱的分析方法，即原子吸收法；利用被测定组分的发射光谱的分析方法，包括发射光谱分析法、原子荧光法、X射线原子荧光法、质子荧光法等。

（一）比色法

分光光度法的前身是比色法。比色分析法有着很长的历史。1830年左右，四氨络铜离子的深蓝色就被用于铜的测定。奈斯勒的氨测定法起源于1852年，大约在同一年，硫氰酸盐被用来分析铁。1869年，舍恩报道说钛盐与过氧化氢反应会产生黄色，1882年，韦勒（Weller）将此黄色反应改进成一种钛的比色法。钒也能与过氧化物发生类似的反应，生成一种橙色络合物。1912年，梅勒一方面利用1908年芬顿发现的一个反应（二羟基马来酸与钛反应呈橙黄色，与钒反应无此色），另一方面利用与过氧化物的反应，得出了一种钛和钒这两种元素的比色测定法。

吸收光度分析法提供了非化学计量法的一个很好例子。有色化合物的光吸收强弱随着所用辐射波长的大小而变化。因此早期的比色法主要凭经验将